نمایش مبدأ برای هندسه جبری

{{بهبود منبع|date=اوت ۲۰۲۱}}
[[پرونده:Togliatti surface.png|جایگزین=رویهٔ Togliatti|بندانگشتی|[[:en:Algebraic_Geometry|رویهٔ Togliatti]] یک [[رویه جبری|رویهٔ جبری]] درجه پنج است. این تصویر نشان دهندهٔ بخشی از مکان هندسی آن در اعداد حقیقی است.]]
{{هندسه عمومی|شاخه‌ها}}
'''هندسهٔ جبری''' شاخه‌ای از [[ریاضیات]] است که به‌طور سنتی به مطالعهٔ صفرهای [[چندجمله‌ای]]های چند متغیره می‌پردازد. هندسهٔ جبری مدرن بر اساس استفاده از تکنیک‌های [[جبر مجرد]] بنا شده که اساساً از [[جبر جابجایی]] استفاده می‌کند تا مسائل [[هندسه|هندسی]] مربوط به این مجموعه صفرها (ریشه این چند جمله‌ای‌ها) را مطالعه کند.

اشیای بنیادی که در مطالعه هندسه جبری استفاده می‌شوند واریته‌های جبری‌اند که بیان هندسی حل دستگاهی از معادلات چند جمله‌ای‌اند. بیشترین واریته‌های جبری مطالعه شده خم‌های جبری صفحه‌اند که شامل [[خط مستقیم (هندسه)|خطوط]]، [[دایره]]ها، [[سهمی]]ها، [[بیضی]]ها، [[هذلولی]]ها، خم‌های مکعبی مثل [[منحنی بیضوی|خم‌های بیضوی]] و خم‌های درجه چهار مثل [[:en:Lemniscate_of_Bernoulli|lemniscate]]ها و [[:en:Cassini_oval|Cassini oval]]ها می‌باشند. یک نقطه از صفحه به خم بیضوی متعلق است اگر مختصات آن در یک معادلهٔ چند جمله‌ای داده‌شده صدق کند. سوالات بنیادی مربوط به مطالعهٔ نقاط خاصی مثل [[نقطه تکین|نقاط تکین]]، [[نقطه عطف|نقاط عطف]] و [[نقطه در بینهایت|نقاط در بی‌نهایت]] می‌باشد. سوالات پیشرفته‌تر مرتبط می‌شوند به [[توپولوژی]] خم و معادلات بین خم‌های داده شده به‌وسیله معادلات مختلف.

هندسه جبری نقش محوری در ریاضیات مدرن ایفا کرده و پیوندهای مفهومی چندگانه‌ای با شاخه‌های گسترده‌ای از ریاضیات چون [[آنالیز مختلط]]، [[توپولوژی]] و [[نظریه اعداد]] دارد. در ابتدا مطالعهٔ دستگاه معادلات [[چندجمله‌ای|چند جمله‌ای]]های چند متغیره موضوع هندسه جبری بود، آنجا که حل معادله از نظر خارج شده و فهمیدن خواص ذاتی جواب دستگاه معادلات اهمیت بیشتری پیدا می‌کند، آنجاست که هندسه جبری ظاهر می‌شود؛ چرا که در این مرحله دیگر یک جواب خاص اهمیت چندانی در مقابل آن خواص ندارد، این ما را به برخی قلمروها می‌کشاند که برخی از آن‌ها جزو عمیق‌ترین قلمروهای ریاضی هستند، چه از نظر مفهومی یا تکنیکی.

در قرن بیستم، هندسه جبری به چندین زیرمجموعه تقسیم‌بندی شدند:
* جریان اصلی هندسه جبری به مطالعه نقاط مختلط واریته‌های جبری و به‌طور عمومی‌تر نقاطی که مختصات آن‌ها در [[میدان بسته جبری]] قرار دارند می‌پردازد.
* هندسه جبری حقیقی به مطالعه نقاط حقیقی یک واریته جبری می‌پردازد.
* هندسه سیاله‌ای و به‌طور عمومی‌تر هندسهٔ حساب به مطالعهٔ نقاط یک واریته جبری که مختصاتشان در میدان‌های غیر بسته قرار دارند می‌پردازد، مثل میدان‌هایی که در [[نظریه جبری اعداد]] بحث می‌شوند چون اعداد گویا، میدان‌های عددی، میدان‌های متناهی، میدان توابع و میدان p-adicها.
* بخش عمده نظریه تکینگی به تکینگی‌های واریته‌های جبری می‌پردازد.
* هندسه جبری محاسباتی قلمرویی است که با ظهور [[رایانه]]ها از برخورد هندسه جبری و جبر رایانه‌ای به‌وجود آمده‌است. این قلمرو عمدتاً شامل [[طراحی الگوریتم]] و [[توسعه نرم‌افزار]] برای مطالعه خواص بارز یک واریته داده شده می‌باشد.

بسیاری از پیشرفت‌های جریان اصلی هندسه جبری در قرن بیستم در چارچوب جبر مجرد، صورت گرفت، با افزایش تأکید بر روی خواص «ذاتی» واریته‌های جبری که وابسته به هیچ‌کدام از روش‌های متفاوت جاسازی آن واریته در فضای مختصاتی اطرافیش (ambient) وابسته نباشد؛ این هدف موازی با پیشرفت در شاخه‌هایی چون [[توپولوژی]]، [[هندسه دیفرانسیل]] و هندسه مختلط می‌باشد. یکی از دستاوردهای کلیدی این هندسه جبری مجرد، نظریه [[اسکیم (ریاضیات)|اسکیم]] گروتندیک است که اجازه استفاده از نظریه شیف‌ها برای مطالعهٔ واریته‌های جبری را داده به طوری که این نحوه استفاده، شباهت بسیاری به استفاده از آن در مطالعه [[منیفولد (هندسه)|منیفلد]]های دیفرانسیل و تحلیلی دارد. این دستاورد با توسعهٔ مفهوم نقطه به‌وجود آمد؛ در هندسه جبری کلاسیک، یک نقطه از واریته آفین را از طریق قضیه صفرهای هیلبرت می‌توان شناسایی کرد، به‌وسیله یک ایده‌آل ماکسیمال حلقه مختصاتی، در حالی که نقطه متناظر با آن در اسکیم آفین، همگی ایده‌آل‌های اولی از این حلقه می‌باشند. این بدین معناست که یک نقطه از چنین اسکیمی می‌تواند یا یک نقطه عادی، یا یک زیرواریته باشد. همچنین این رویکرد موجب اتحاد زبان و ابزارهای هندسه جبری کلاسیک گشته که به‌طور عمده با نقاط مختلط، و نظریه جبری اعداد مرتبط می‌گردد. اثبات [[اندرو وایلز|وایلز]] بر حدس فرما به نام [[قضیه آخر فرما]] که به مدت طولانی، حل‌ناشدنی باقی مانده بود، اثباتی بر قدرت این رویکرد می‌باشد.

== تاریخچه ==
=== قبل از [[سده ۱۶ (میلادی)|قرن شانزدهم]] ===
برخی از ریشه‌های هندسه جبری به قبل از کارهای [[عصر هلنیستی|یونانیان هلنی]] قرن پنجم قبل از میلاد می. رسد. به عنوان مثال، مسئله [[تضعیف مکعب]] این بود که چگونه می‌توان پاره خطی به طول x ساخت به گونه‌ای که حجم مکعبی به ضلع x برابر مکعب مستطیلی به ابعاد ''a''<sup>2</sup>''b'' باشد که در آن ''a'' و ''b'' به ما داده شده‌اند. [[منایخموس]] (حدود ۳۵۰ قبل از میلاد) این مسئله را به صورت هندسی، با بررسی دو [[مخروط]] ''ay'' = ''x''<sup>2</sup> و ''xy'' = ''ab'' مورد بررسی قرار داد.<ref name="Dieudonné">{{Cite journal |last=Dieudonné |first=Jean |authorlink=Jean Dieudonné |title=The historical development of algebraic geometry |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1972-10_79_8/page/827 |journal=The American Mathematical Monthly |volume=79 |issue=8 |year=1972 |pages=827–866 |doi=10.2307/2317664 |jstor=2317664}}</ref> اتفاق بعدی، در قرن سوم قبل از میلاد، مطالعهٔ نظام‌مند [[ارشمیدس]] و [[آپولونیوس]] بر روی مسائل [[مقطع مخروطی|مقاطع مخروطی]] بود<ref>Kline, M. (1972) ''Mathematical Thought from Ancient to Modern Times'' (Volume 1). Oxford University Press. pp. 108, 90.</ref> که در آن از مفهوم مختصات استفاده شد.<ref name="Dieudonné"/> ریاضیدانان [[مردم عرب|عرب]] قادر بودند برخی [[معادله درجه سه|معادلات مکعبی]] را صرفاً با روش‌های خالص جبری حل کرده، سپس نتایج را به وسیله هندسه، تفسیر کنند. این کار توسط [[ابن هیثم]] نیز در قرن ۱۰ بعد از میلاد انجام شد.<ref>Kline, M. (1972) ''Mathematical Thought from Ancient to Modern Times'' (Volume 1). Oxford University Press. p. 193.</ref> سپس ریاضی‌دان فارسی‌زبان، [[خیام]] (متولد ۱۰۴۸ پس از میلاد) روشی برای حل معادلات مکعبی با استفاده از تقاطع یک دایره و سهمی کشف کرد<ref>Kline, M. (1972) ''Mathematical Thought from Ancient to Modern Times'' (Volume 1). Oxford University Press. pp. 193&ndash;195.</ref> و به نظر می‌رسد که اولین شخصی بود که نظریه عمومی [[معادله درجه سه|معادلات درجه سوم]] را درک کرده باشد.<ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Khayyam.html/ St Andrews] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171112123436/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Khayyam.html# |date=2017-11-12}} "Khayyam himself seems to have been the first to conceive a general theory of cubic equations."</ref> چند سال پس از عمر خیام، کتاب [[شرف‌الدین طوسی]] به عنوان ''المعادلات'' به عنوان «آغاز راه هندسه جبری» توصیف گشت.<ref>Rashed ([[#CITEREFRashed1994|1994]], pp.[https://archive.org/stream/RoshdiRashedauth.TheDevelopmentOfArabicMathematicsBetweenArithmeticAndAlgebraSpringerNetherlands1994/Roshdi%20Rashed%20(auth.)-The%20Development%20of%20Arabic%20Mathematics_%20Between%20Arithmetic%20and%20Algebra-Springer%20Netherlands%20(1994)#page/n111/mode/1up 102-3])</ref>

=== [[رنسانس]] ===
چنین تکنیک‌هایی از کاربرد ساختارهای هندسه در مسائل جبری توسط برخی ریاضی‌دانان [[رنسانس|عصر رنسانس]] نیز چون [[جرلامو کاردانو]] و [[نیکولو تارتالیا|نیکلو تارتالیا]] نیز در مطالعاتشان بر روی معادلات مکعبی به کار گرفته شد. ریاضی‌دانان قرن شانزدهم و هفدهم، رهیافت هندسی برای ساخت مسائل را در مقابل روش‌های جبری ترجیح می‌دادند، به‌خصوص [[بلز پاسکال|بلیز پاسکال]] که در مقابل استفاده از روش‌های جبری و تحلیلی در هندسه موضع می‌گرفت.<ref>Kline, M. (1972) ''Mathematical Thought from Ancient to Modern Times'' (Volume 1). Oxford University Press. p. 279.</ref> ریاضیدانان فرانسوی چون [[فرانسوا ویت]] و سپس [[رنه دکارت]] و [[پیر دو فرما]] انقلابی در روش قراردادی تفکر در مورد ساخت مسائل از طریق [[هندسه تحلیلی]] به‌وجود آوردند. آن‌ها در آغاز، علاقه‌مند به خواص خم‌های جبری، مانند آن خم‌هایی که در [[معادله سیاله|معادلات سیاله‌ای]] (در مورد فرما) تعریف می‌شوند و همچنین به فرمول‌بندی جبری کارهای یونانیان در مقاطع مخروطی و درجه سه (در مورد دکارت) علاقه نشان می‌دادند.

در همین دوره بود که بلیز پاسکال و [[ژرار دوسارگ|ژرارد دوسارگ]] به هندسه از رهیافت دیگری وارد شده و به توسعه مفاهیم [[هندسه تصویری|هندسهٔ تصویری]] پرداختند. پاسکال و دزارگ نیز به مطالعه خم‌ها پرداختند؛ اما از دیدگاه صرفاً هندسی آن، یعنی مشابه روش یونانیان، ساخت (رسم) با [[خط‌کش]] و [[پرگار]]. در نهایت، هندسه تحلیلی دکارت و فرما ازین نبرد پیروز درآمد؛ چرا که برای ریاضی‌دانان قرن هجدهم ابزارهای کمی ملموس مورد نیاز آن‌ها را برای مطالعه مسائل فیزیکی با استفاده از [[حسابان]] نیوتون و لایبنیز فراهم نمود. با این حال، در پایان قرن هجدهم، اکثر جنبهٔ جبری هندسه تحلیلی (هندسه مختصاتی) توسط لاگرانژ و اویلر تحت عنوان حساب بی‌نهایت کوچک‌ها طبقه‌بندی شد.

=== [[قرن نوزدهم]] و اوایل [[سده ۲۰ (میلادی)|قرن بیستم]] ===
دو رده تحقیقات هم‌زمان بر روی [[هندسه نااقلیدسی]] و انتگرال‌های آبلی در قرن نوزدهم موجب شدند تا ایده‌های جبری این دفعه به سوی هندسی خود بازگردند. اولین تلاش‌ها توسط ادموند لاگر و [[آرتور کیلی]] صورت گرفت که تلاش کردند تا خواص [[فضای متری|متری]] تعمیم‌یافتهٔ [[هندسه تصویری|فضای تصویری]] را تعیین کنند. کیلی ایده فرم‌های چندجمله‌ای [[همگن]] را معرفی کرد، به‌ویژه فرم‌های درجه دو بر روی فضای تصویری. سپس [[فلیکس کلاین]] هندسهٔ تصویری (به همراه انواع دیگر هندسه) را از این نقطه نظر، مورد مطالعه قرار داد که اطلاعات هندسه روی یک فضا در تبدیل‌های آن فضا کدگذاری شده‌اند. در پایان قرن نوزدهم، هندسه‌دانان تصویری انواع عمومی‌تری از تبدیل‌ها را روی شکل‌های فضای تصویری مطالعه می‌کردند. به جای [[نگاشت خطی|تبدیل‌های خطی]] تصویری که معمولاً به عنوان ایجاد کنندهٔ هندسه کلاینی بنیادی روی فضای تصویری در نظر گرفته می‌شدند، آن‌ها خود را درگیر تبدیلات دوسرگویا (birational)ی درجه بالاتر نیز کردند. این مفهوم تناسب ضعیف‌تر بعدها در قرن بیستم موجب شد که اعضای مکتب هندسه جبری ایتالیایی رویه‌های جبری را در حد یک‌ریختی دوسرگویا (birational isomorphism) طبقه‌بندی کنند.

پیشرفت‌های اوایل قرن نوزدهم، یعنی انتگرال‌های آبلی منجر شد که [[برنهارت ریمان]] [[سطوح ریمانی|رویه‌های ریمانی]] را توسعه دهد.

در همان دوره، جبری‌سازی هندسه جبری از طریق [[جبر جابجایی]] صورت گرفت. نتایج عمدهٔ این جهت‌گیری قضیهٔ پایه هیلبرت و قضیه صفرهای هیلبرت بود که پایه ارتباط بین هندسه جبری و جبر جابه‌جایی بوده، و همچنین برآیندهای (resultants) چند متغیره که پایه نظریهٔ حذف (elimination) می‌باشد. احتمالاً به دلیل حجم محاسباتی که برآیندهای چند متغیره طلب می‌کنند، نظریهٔ حذف در طی قرن بیستم به فراموشی سپرده شد تا این که توسط نظریهٔ تکینگی و هندسهٔ جبری محاسباتی مجدداً احیا گشت.{{efn|شاهدی بر این نسیان، این حقیقت است که ون در واردن فصل مربوط به نظریه حذف را از ویرایش سوم (و تمام ویرایش‌های بعدی) کتاب خویش، یعنی رساله جبر مدرن حذف نمود.}}

=== [[سده ۲۰ (میلادی)|قرن بیستم]] ===
[[بارتل لیندرت وان در واردن|ون در واردن]]، [[اسکار زاریسکی]] و [[آندره وی|آندره ویل]] بنیان هندسه جبری را بر اساس [[جبر جابجایی]] معاصر بنا نهادند که شامل نظریه ارزیافت و نظریه ایده‌آل‌ها می‌شد. یکی از هدف‌هایشان ارائه چارچوبی محکم برای اثبات نتایج مکتب ایتالیایی هندسه جبری بود. به‌خصوص این که این مکتب به‌طور نظام‌مند از مفهوم نقطه جنریک استفاده کرد؛ در حالی که هیچ تعریف دقیقی برای آن ارائه ندادند؛ آن‌ها اولین تعریفی که برای این گونه نقاط ارائه دادند در طی دهه ۱۹۳۰ بود.

در دهه ۵۰ و ۶۰ میلادی، [[ژان-پی‌یر سر|ژان پیر سر]] و [[الکساندر گروتندیک]] بنیان‌ها را مجدداً قالب‌بندی کردند و در این مسیر از نظریه شیف، استفاده کردند. سپس از حدود ۱۹۶۰ همراه با دستگاه ابزارهای پالوده شدهٔ تکنیک‌های هومولوژی، روی ایدهٔ [[اسکیم (ریاضیات)|اسکیم]]ها کار شد که بیشتر این تلاش‌ها به رهبری گروتندیک بود. پس از یک دهه پیشرفت سریع، این شاخه در دهه ۱۹۷۰ پایدار گشت، و کاربردهای جدیدی ایجاد شد، هم در نظریه اعداد و هم در سوالات کلاسیک‌تری که در هندسه در مورد واریته‌های جبری، تکینگی‌ها، فضاهای مدولی، و فضاهای مدولی فرمال وجود داشت.

یک دسته مهم از واریته‌ها که به راحتی، مستقیماً از معادلاتی که آن‌ها را تعریف می‌کنند شناخته نمی‌شوند، واریته‌های آبلی هستند، که واریته‌های تصویری هستند که نقاطشان یک [[گروه آبلی]] تشکیل می‌دهند. مثال‌های نوعی اینگونه واریته‌های [[منحنی بیضوی|خم‌های بیضوی]] می‌باشند که برای خود نظریهٔ غنی ای دارند. این واریته‌ها در اثبات آخرین قضیه فرما نقش کلیدی داشته و همچنین در [[رمزنگاری]] با خم‌های بیضوی مورد استفاده قرار گرفته‌اند.

موازی با روند مجرد هندسه جبری که به دنبال احکام عمومی واریته هاست، روش‌های محاسباتی مؤثری برای واریته‌های ملموس نیز توسعه یافته‌اند که منجر به عصر جدیدی از هندسه جبری محاسباتی می‌گردد. یکی از روش‌های بنیادی این قلمرو نظریه [[پایه گروبنر|پایه‌های گروبنر]] است که توسط برونو بوچبرگر در ۱۹۶۵ معرفی گشت. یکی دیگر از روش‌های پایه‌ای، به‌طور خاص به هندسه جبری حقیقی اختصاص دارد، این روش تجزیه جبری استوانه‌ای می‌باشد که توسط جورج ای. کالینز در ۱۹۷۳ معرفی شده‌است.

== مفاهیم پایه ای ==
=== صفرهای همزمان چند جمله ای‌ها ===
[[پرونده:Slanted circle.png|چپ|بندانگشتی|[[کره (هندسه)|کره]] و دایرهٔ اریب|جایگزین=|راست]]
در هندسه جبری کلاسیک، علاقه اصلی بر روی اشیایی بود که به‌طور هم‌زمان مجموعه‌ای از چند جمله‌ای‌ها را ناپدید می‌کنند (صفر می‌کنند)، یعنی مجموعه نقاطی که هم‌زمان در یک یا تعداد بیشتری از معادلات چندجمله‌ای صدق می‌کنند. به عنوان مثال، کره دوبُعدی با شعاع ۱ در فضای اقلیدسی <math>\mathbb{R^{3}}</math> را می‌توان به صورت مجموعه تمام نقاط (''x'',''y'',''z'')ی تعریف کرد که در این معادله، صدق می‌کنند:
:<math>x^2+y^2+z^2-1=0.\,</math>

یک دایرهٔ «اریب» در <math>\mathbb{R^{3}}</math> را می‌توان به صورت مجموعه نقاط (''x'',''y'',''z'') تعریف کرد که در دو معادلهٔ چندجمله‌ای زیر، هم‌زمان، صدق می‌کنند:
:<math>x^2+y^2+z^2-1=0,\,</math>
:<math>x+y+z=0.\,</math>

=== واریته‌های آفین ===

== مقاله اصلی: واریته‌های آفین ==
ابتدا با یک میدان <math>\mathrm{k}</math> شروع می‌کنیم. در هندسه جبری کلاسیک، این میدان، همیشه میدان اعداد مختلط <math>\mathbb{C}</math> بود؛ اما بسیاری از نتایج با فرض یک میدان جبری بسته‌ای چون <math>\mathrm{k}</math> هم، معتبر باقی خواهند ماند. ما فضای آفین <math>\mathrm{n}</math> بعدی روی <math>\mathrm{k}</math> را در نظر گرفته و آن را با <math>\mathbb{A^{n}(k)}</math> نمایش می‌دهیم (یا صرفاً با <math>\mathbb{A^{n}}</math>، هنگامی که <math>\mathrm{k}</math> در متن واضح باشد). هنگامی که [[دستگاه مختصات]] ثابت و مشخص باشد، می‌توان <math>\mathbb{A^{n}}</math> را با <math>k^{n}</math> یکی گرفت. هدف کار نکردن با <math>k^{n}</math> این است که ساختار [[فضای برداری]] که <math>k^{n}</math> با خود حمل می‌کند «فراموش» شود.

یک تابع <math>f:\mathbb{A}^{n} \rightarrow \mathbb{A}^{1}</math> را ''چندجمله‌ای'' (یا ''منظم'') گویند اگر آن را بتوان به صورت چندجمله‌ای نوشت، یعنی اگر وجود داشته باشد چندجمله‌ای چون <math>p</math> در <math>k[x_{1}, ...,x_{n}]</math> به گونه‌ای که برای هر نقطه <math>M</math> با مختصات <math>(t_{1}, ...,t_{n})</math> در <math>M</math> داشته باشیم <math>f(M)=p(t_{1}, ...,t_{n})</math>.

هنگامی که یک دستگاه مختصات، انتخاب شد، توابع منظمِ روی n-فضای آفین را می‌توان با حلقه توابع چندجمله‌ای n متغیره روی <math>k</math> یکی گرفت؛ به همین دلیل، مجموعه توابع منظم روی <math>k^{n}</math> حلقه است و آن را با <math>k[\mathbb{A}^{n}]</math> نمایش می‌دهند.

یک چندجمله‌ای، در نقطه‌ای ''ناپدید'' می‌شود اگر که مقدارش در آن نقطه، صفر شود. فرض کنید <math>k^{n}</math> مجموعه تمام چندجمله‌ای‌های درون <math>k[\mathbb{A}^{n}]</math> باشد. مجموعه ''ناپدیدشونده <math>S</math>'' (یا ''مکان هندسی ناپدیدشونده'' یا ''مجموعه صفر'') مجموعه <math>V(S)</math> شامل تمام نقاط درون <math>\mathbb{A}^{n}</math> است که هر چندجمله‌ای در <math>S</math> بر روی آن، ناپدید می‌شوند؛ به‌طور نمادین:
:<math>V(S) = \{(t_1,\dots,t_n) \mid p(t_1,\dots,t_n) = 0 \text{ for all } p \in S\}.\,</math>

برای مجموعه‌ای چون <math>S</math>، زیرمجموعه <math>V(S)</math> از <math>\mathbb{A}^{n}</math> را ''مجموعه جبری'' می‌گویند. <math>V</math> مخفف کلمه ''varietry'' است (یک نوع خاص از مجموعه‌های جبری که در ادامه، تعریف شده‌است).

فرض کنید که مجموعه‌ای مثل <math>U</math> از <math>\mathbb{A}^{n}</math> داده شده باشد، آیا می‌توان مجموعه تمام چندجمله‌ای‌هایی که آن را تولید کرده‌اند را یافت؟ اگر <math>U</math> زیرمجموعه دلخواهی از <math>\mathbb{A}^{n}</math> باشد، <math>I(U)</math> را به این صورت تعریف کنید: مجموعه تمام چندجمله‌ای‌هایی که مجموعه صفرشان شامل <math>U</math> باشد. <math>I</math> اول کلمه ایده‌آل است: اگر دو چندجمله‌ای <math>f</math> و <math>g</math> هر دو روی <math>U</math> ناپدید (صفر) شوند، آن‌گاه <math>f+g</math> هم روی <math>U</math> ناپدید می‌شود، و اگر <math>h</math> یک چندجمله‌ای دلخواه باشد، آن‌گاه <math>hf</math> هم روی <math>U</math> ناپدید شده؛ به همین دلیل، <math>I(U)</math> همیشه یک ایده‌آل از حلقه چندجمله‌ای‌های <math>k[\mathbb{A}^{n}]</math> است.

دو پرسش طبیعی، پیش می‌آید:
* برای یک زیرمجموعه دلخواه <math>U</math> از <math>\mathbb{A}^{n}</math>، چه زمان <math>U=V(I(U)</math>؟
* برای یک مجموعه دلخواه از چندجمله‌ای‌ها چون <math>S</math>، چه زمان <math>S=I(V(S))</math>؟

جواب سؤال اول با معرفی توپولوژی زاریسکی داده شد، یک توپولوژی روی <math>\mathbb{A}^{n}</math> که مجموعه‌های بسته آن، همان مجموعه‌های جبری هستند که به‌طور مستقیم ساختار جبری <math>k[\mathbb{A}^{n}]</math> را انعکاس می‌دهند. آن‌گاه <math>U=V(I(U))</math> اگر و تنها اگر <math>U</math> یک مجموعه جبری یا یک مجموعه بسته زاریسکی باشد. جواب سؤال دوم توسط قضیه صفرهای هیلبرت داده می‌شود. یکی از شکل‌های این قضیه می‌گوید که <math>I(V(S))</math> رادیکال ایده‌آل‌های تولید شده توسط <math>S</math> است. به بیان مجردتر، یک ارتباط گالوایی، وجود دارد که منجر به ظهور دو عملگر بستار می‌گردد؛ آن‌ها را می‌توان شناسایی کرده و به‌طور طبیعی، نقش بنیادینی در این نظریه بازی می‌کنند؛ مثال مربوط در بحث مربوط به ارتباط گالوایی، تشریح شده‌است.

به دلایل مختلف، ممکن است همیشه نخواهیم با کل ایده‌آل مربوط به یک مجموعه جبری چون <math>U</math> کار کنیم. قضیه بنیادی هیلبرت می‌گوید که ایده‌آل‌های درون <math>k[\mathbb{A}^{n}]</math> همیشه متناهی، تولید شده‌اند.

یک مجموعه جبری را ''تحویل‌ناپذیر'' گویند اگر نتوان آن را به صورت اجتماع دو مجموعه جبری کوچک‌تر نوشت. هر مجموعه جبری به صورت اجتماع متناهی مجموعه‌های جبری تحویل‌ناپذیر بوده و این تجزیه یکتاست؛ لذا عناصر آن را ''مؤلفه‌های تحویل‌ناپذیر'' آن مجموعه جبری گویند. به یک مجموعه جبری تحویل‌ناپذیر ''واریته'' هم می‌گویند. مشخص می‌شود که یک مجموعه جبری واریته (مجموعه جبری تحویل‌ناپذیر) است اگر و تنها اگر به صورت مجموعه ناپدیدکننده (صفر کننده) یک ایده‌آل اول از حلقه چندجمله‌ای باشد.

برخی از مؤلفان، تمایز مشخصی بین مجموعه‌های جبری و واریته‌ها برقرار نمی‌کنند و در صورت لزوم از اصطلاح ''واریته تحویل‌ناپذیر'' برای ایجاد چنین تمایزی استفاده می‌کنند.

=== توابع منظم ===
مقاله اصلی: تابع منظم

درست همانگونه که [[تابع پیوسته|توابع پیوسته]] نگاشت‌های طبیعی روی فضاهای توپولوژی و توابع هموار نگاشت‌های طبیعی روی منیفلدهای دیفرانسیل‌پذیر اند، دسته ای طبیعی از توابع روی یک مجموعه جبری نیز وجود دارند که به آن‌ها ''توابع منظم'' یا ''توابع چندجمله ای'' گویند. یک تابع منظم روی مجموعه ای جبری چون <math>V</math> در <math>\mathbb{A}^{n}</math>، تحدید توابع منظم روی <math>\mathbb{A}^{n}</math> به مجموعه جبری <math>V</math> است. برای یک مجموعه جبری که روی میدان [[عدد مختلط|اعداد مختلط]] تعریف شده باشد، توابع منظم هموار و حتی تحلیلی اند.

ممکن است الزام توسعه پذیر بودن یک تابع منظم به کل فضای پیرامونی (ambient) به‌طور غیرطبیعی محدود کننده به نظر آید، اما این کار شباهت بسیاری به شرایط [[فضای توپولوژی|فضای توپولوژیکی]] نرمال دارد که در آن قضیه توسعه تیتز تضمین می‌کند که یک تابع پیوسته روی یک مجموعه بسته همیشه به فضای توپولوژیکی پیرامونی توسعه یابد.

توابع منظم روی <math>V</math>، درست همانند توابع منظم روی فضای آفینی، تشکیل یک حلقه می‌دهند که با <math>K[V]</math> نمایش داده می‌شود. این حلقه را ''حلقه مختصاتی روی <math>V</math>'' می‌نامند.

از آنجا که توابع منظم روی <math>V</math> از توابع منظم روی <math>\mathbb{A}^{n}</math> نشأت می‌گیرند، رابطه ای بین حلقه‌های مختصاتیشان وجود دارد. به‌خصوص، اگر یک تابع منظم روی V تحدید دو تابع <math>f</math> و <math>g</math> در <math>K[\mathbb{A}^{n}]</math> باشد، آنگاه <math>f-g</math> هم یک تابع چند جمله ای خواهد بود که روی <math>V</math> ناپدید شده و لذا به <math>I(V)</math> تعلق خواهد داشت. ازین‌رو، <math>K[V]</math> را می‌توان با <math>K[\mathbb{A}^{n}]/I(V)</math> یکی گرفت.

== کاربردها ==
هندسه جبری اکنون در [[آمار جبری|آمار]]،<ref>{{cite book| last1 = Drton| first1 = Mathias| last2 = Sturmfels| first2 = Bernd| last3 = Sullivant| first3 = Seth| title = Lectures on Algebraic Statistics| url = https://books.google.com/books?id=TytYUTy5V_IC| year = 2009| publisher = Springer| isbn = 978-3-7643-8904-8}}</ref> [[نظریه کنترل]]،<ref>{{cite book| last = Falb| first = Peter| title = Methods of Algebraic Geometry in Control Theory Part II Multivariable Linear Systems and Projective Algebraic Geometry| url = https://books.google.com/books?id=V--84aGmWh4C| year = 1990| publisher = Springer| isbn = 978-0-8176-4113-9}}</ref><ref>{{cite book |author-link=Allen Tannenbaum |first=Allen |last=Tannenbaum |date=1982 |title=Invariance and Systems Theory: Algebraic and Geometric Aspects |series=Lecture Notes in Mathematics |volume=Volume 845 |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-3-540-10565-7}}</ref> [[رباتیک]]،<ref>{{cite book| last = Selig| first = J. M.| title = Geometric Fundamentals of Robotics| url = https://books.google.com/books?id=9FljXoISr8AC| year = 2005| publisher = Springer| isbn = 978-0-387-20874-9}}</ref> کدهای تصحیح-کننده خطا،<ref>{{cite book |last1=Tsfasman |first1=Michael A. |last2=Vlăduț |first2=Serge G. |last3=Nogin |first3=Dmitry |title=Algebraic Geometric Codes Basic Notions |year=1990 |publisher=American Mathematical Soc. |isbn=978-0-8218-7520-9 |url=https://books.google.com/books?id=o2sA-wzDBLkC}}</ref> [[فیلوژنتیک محاسباتی|فیلوژنتیک]]<ref>{{cite journal |author-link=Barry Arthur Cipra |first=Barry Arthur |last=Cipra |date=2007 |url=http://siam.org/pdf/news/1146.pdf |title=Algebraic Geometers See Ideal Approach to Biology |archive-url=https://web.archive.org/web/20160303230428/http://siam.org/pdf/news/1146.pdf |archive-date=3 March 2016 |journal=SIAM News |volume=40 |issue=6}}</ref> و مدل‌سازی هندسی.<ref>{{cite book |last1=Jüttler |first1=Bert |last2=Piene |first2=Ragni |title=Geometric Modeling and Algebraic Geometry |year=2007 |publisher=Springer |isbn=978-3-540-72185-7 |url=https://books.google.com/books?id=1wNGq87gWykC}}</ref> همچنین ارتباطاتی با [[تقارن آینه‌ای همولوژیکال|نظریه ریسمان]]،<ref>{{cite book |last1=Cox |first1=David A. |author-link1=David A. Cox |last2=Katz |first2=Sheldon |title=Mirror Symmetry and Algebraic Geometry |url=https://books.google.com/books?id=Z8u3ngEACAAJ |year=1999 |publisher=American Mathematical Soc. |isbn=978-0-8218-2127-5}}</ref> [[نظریه بازی]]،<ref>{{cite journal |title=The algebraic geometry of perfect and sequential equilibrium |url=https://archive.org/details/sim_econometrica_1994-07_62_4/page/783 |first1=L. E. |last1=Blume |first2=W. R. |last2=Zame |journal=[[Econometrica]] |volume=62 |issue=4 |year=1994 |pages=783–794 |doi=10.2307/2951732 |jstor=2951732}}</ref> [[تطابق (گراف)|تطابق گراف]]،<ref>{{cite arXiv |last1=Kenyon |first1=Richard |last2=Okounkov |first2=Andrei |last3=Sheffield |first3=Scott |title=Dimers and Amoebae |eprint=math-ph/0311005 |year=2003}}</ref> [[سالیتون]]‌ها<ref>{{cite book |last=Fordy |first=Allan P. |title=Soliton Theory A Survey of Results |url=https://books.google.com/books?id=eO_PAAAAIAAJ |year=1990 |publisher=Manchester University Press |isbn=978-0-7190-1491-8}}</ref> و [[بهینه‌سازی خطی عدد صحیح|برنامه‌ریزی صحیح]].<ref>{{cite book |last1=Cox |first1=David A. |author-link1=David A. Cox |last2=Sturmfels |first2=Bernd |editor-last=Manocha |editor-first=Dinesh N. |title=Applications of Computational Algebraic Geometry |url=https://books.google.com/books?id=fe0MJEPDwzAC |publisher=American Mathematical Soc. |isbn=978-0-8218-6758-7}}</ref>

== جستارهای وابسته ==
* [[اسکیم (ریاضیات)|اسکیم]]
* [[واریته جبری]]
* [[کوچر بیرکار]]

== یادداشت‌ها ==
{{یادداشت‌ها}}

== ارجاعات ==
{{پانویس|۲|چپ‌چین=بله}}

== برای مطالعه بیشتر ==
;بعضی کتب کلاسیک که از نظر تاریخی قبل از [[اسکیم (ریاضیات)|اسکیم]]<nowiki> ها هستند:</nowiki>

{{چپ‌چین}}
* {{cite book
 |last=van der Waerden |first=B. L. |authorlink=بارتل لیندرت ون در واردن
 |year = 1945
 |title = Einfuehrung in die algebraische Geometrie
 |publisher = [[Dover]]
}}
* {{cite book |last1=Hodge |first1=W. V. D. |authorlink1=دابلیو. وی.دی. هاج |last2=Pedoe |first2=Daniel |authorlink2=Daniel Pedoe |title=Methods of Algebraic Geometry Volume 1 |year=1994 |publisher=[[انتشارات دانشگاه کمبریج|Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-46900-5 |zbl=0796.14001}}
* {{cite book| last1 = Hodge| first1 = W. V. D.| authorlink1 =دابلیو. وی.دی. هاج| last2 = Pedoe| first2 = Daniel| authorlink2 = Daniel Pedoe| title = Methods of Algebraic Geometry Volume 2| year = 1994| publisher = [[انتشارات دانشگاه کمبریج|Cambridge University Press]]| isbn = 978-0-521-46901-2| zbl = 0796.14002}}
* {{cite book| last1 = Hodge| first1 = W. V. D.| authorlink1 =دابلیو. وی.دی. هاج| last2 = Pedoe| first2 = Daniel| authorlink2 = Daniel Pedoe| title = Methods of Algebraic Geometry Volume 3| year = 1994| publisher = [[انتشارات دانشگاه کمبریج|Cambridge University Press]]| isbn = 978-0-521-46775-9| zbl = 0796.14003}}
{{پایان چپ‌چین}}

;کتاب‌های مرجع مدرن که از زبان [[اسکیم (ریاضیات)|اسکیم]]<nowiki> ها استفاده نمی‌کنند:</nowiki>

{{چپ‌چین}}
* {{cite book| last = Garrity| first = Thomas| title = Algebraic Geometry A Problem Solving Approach| year = 2013| publisher = [[American Mathematical Society]]| isbn = 978-0-8218-9396-8|display-authors=etal}}
* {{cite book
 | last1=Griffiths | first1=Phillip | authorlink1=فیلیپ گریفیتس
 | last2=Harris | first2=Joe | authorlink2=جو هریس (ریاضیدان)
 | year = 1994
 | title = Principles of Algebraic Geometry
 | publisher = [[Wiley-Interscience]]
 | isbn = 978-0-471-05059-9
 | zbl = 0836.14001
}}
* {{cite book| last = Harris| first = Joe| authorlink = جو هریس (ریاضیدان)| title = Algebraic Geometry A First Course| year = 1995| publisher = [[اشپرینگر-ورلاگ|Springer-Verlag]]| isbn = 978-0-387-97716-4| zbl = 0779.14001}}
* {{cite book| last = Mumford| first = David| authorlink = دیوید ممفورد| title = Algebraic Geometry I Complex Projective Varieties| edition = 2nd| year = 1995| publisher = [[اشپرینگر-ورلاگ|Springer-Verlag]]| isbn = 978-3-540-58657-9| zbl = 0821.14001}}
* {{cite book| last = Reid| first = Miles| authorlink = میلز رید| title = Undergraduate Algebraic Geometry| url = https://archive.org/details/undergraduatealg0000reid| year = 1988| publisher = [[انتشارات دانشگاه کمبریج|Cambridge University Press]]| isbn = 978-0-521-35662-6| zbl = 0701.14001}}
* {{cite book| last = Shafarevich| first = Igor| authorlink = ایگور شافارویچ| title = Basic Algebraic Geometry I Varieties in Projective Space| edition = 2nd| year = 1995| publisher = [[اشپرینگر-ورلاگ|Springer-Verlag]]| isbn = 978-0-387-54812-8| zbl = 0797.14001}}
{{پایان چپ‌چین}}

;کتاب‌هایی در مورد هندسه جبری محاسباتی:

{{چپ‌چین}}
* {{cite book |last1=Cox |first1=David A. |authorlink1=دیوید ا. کاکس |last2=Little |first2=John |last3=O'Shea |first3=Donal |title=Ideals, Varieties, and Algorithms |edition=2nd |year=1997 |publisher=[[اشپرینگر-ورلاگ|Springer-Verlag]] |isbn=978-0-387-94680-1 |zbl=0861.13012}}
* {{cite book
 | last1=Basu |first1 = Saugata
 | last2=Pollack |first2=Richard
 | last3=Roy |first3=Marie-Françoise
 | year = 2006
 | title = Algorithms in real algebraic geometry
 | publisher = [[اشپرینگر-ورلاگ|Springer-Verlag]]
 | url = http://perso.univ-rennes1.fr/marie-francoise.roy/bpr-ed2-posted1.html
}}
* {{cite book
 | last1=González-Vega |first1=Laureano
 | last2=Recio |first2=Tómas
 | year = 1996
 | title = Algorithms in algebraic geometry and applications
 | publisher = Birkhaüser
}}
* {{cite book
 | editor1-last=Elkadi |editor1-first=Mohamed
 | editor2-last=Mourrain |editor2-first=Bernard
 | editor3-last=Piene |editor3-first=Ragni
 | year = 2006
 | title = Algebraic geometry and geometric modeling
 | publisher = [[اشپرینگر-ورلاگ|Springer-Verlag]]
}}
* {{cite book
 | editor1-last=Dickenstein |editor1-first=Alicia|editor1-link=Alicia Dickenstein
 | editor2-last=Schreyer |editor2-first=Frank-Olaf
 | editor3-last=Sommese |editor3-first=Andrew J.
 | year = 2008
 | title = Algorithms in Algebraic Geometry
 | volume=146
 | series=The IMA Volumes in Mathematics and its Applications
 | publisher = [[اشپرینگر-ورلاگ|Springer]]
 | isbn=978-0-387-75155-9
 | lccn=2007938208
}}
* {{cite book
 | last1=Cox |first1=David A. |authorlink1=David A. Cox
 | last2=Little |first2=John B.
 | last3=O'Shea |first3=Donal
 | year = 1998
 | title = Using algebraic geometry
 | url=https://archive.org/details/springer_10.1007-978-1-4757-6911-1 | publisher = [[اشپرینگر-ورلاگ|Springer-Verlag]]
}}
* {{cite book
 | last1=Caviness |first1=Bob F.
 | last2=Johnson |first2=Jeremy R.
 | year = 1998
 | title = Quantifier elimination and cylindrical algebraic decomposition
 | publisher = [[اشپرینگر-ورلاگ|Springer-Verlag]]
}}
{{پایان چپ‌چین}}

;کتاب‌های مرجع در مورد [[اسکیم (ریاضیات)|اسکیم]]<nowiki> ها:</nowiki>

{{چپ‌چین}}
* {{cite book |last1=Eisenbud |first1=David |authorlink1=دیوید آیزنباد |last2=Harris |first2=Joe |authorlink2=جو هریس (ریاضیات) |title=The Geometry of Schemes |year=1998 |publisher=[[اشپرینگر-ورلاگ|Springer-Verlag]] |isbn=978-0-387-98637-1 |zbl=0960.14002}}
* {{cite book
 | last=Grothendieck |first=Alexander |authorlink=الکساندر گروتندیک
 | year = 1960
 | title = Éléments de géométrie algébrique
 | publisher = [[Publications Mathématiques de l'IHÉS]]
 | zbl = 0118.36206
|title-link=Éléments de géométrie algébrique}}
* {{cite book |last1=Grothendieck |first1=Alexander |authorlink1=الکساندر گروتندیک |last2=Dieudonné |first2=Jean Alexandre |title=Éléments de géométrie algébrique |edition=2nd |volume=1 |year=1971 |publisher=[[اشپرینگر-ورلاگ|Springer-Verlag]] |isbn=978-3-540-05113-8 |zbl=0203.23301|title-link=Éléments de géométrie algébrique}}
* {{cite book |last=Hartshorne |first=Robin |authorlink=رابین هارتشورن|title=Algebraic Geometry |year=1977 |publisher=[[اشپرینگر-ورلاگ|Springer-Verlag]] |isbn=978-0-387-90244-9 |zbl=0367.14001|title-link=Algebraic Geometry (book)}}
* {{cite book |last=Mumford |first=David |authorlink=دیوید ممفورد |title=The Red Book of Varieties and Schemes Includes the Michigan Lectures on Curves and Their Jacobians |url=https://archive.org/details/redbookofvarieti0002mumf |edition=2nd |year=1999 |publisher=[[اشپرینگر-ورلاگ|Springer-Verlag]] |isbn=978-3-540-63293-1 |zbl=0945.14001}}
* {{cite book |last=Shafarevich |first=Igor |authorlink=ایگور شافارویچ |title = Basic Algebraic Geometry II Schemes and complex manifolds| edition = 2nd| year = 1995| publisher = [[اشپرینگر-ورلاگ|Springer-Verlag]]| isbn = 978-3-540-57554-2| zbl = 0797.14002}}
{{پایان چپ‌چین}}

== پیوند به بیرون ==
{{چپ‌چین}}
* [http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/FOAGnov1817public.pdf ''Foundations of Algebraic Geometry'' by Ravi Vakil, 808 pp.]
* [https://web.archive.org/web/20040415021548/http://planetmath.org/encyclopedia/AlgebraicGeometry.html ''Algebraic geometry''] entry on [http://planetmath.org/ PlanetMath]
* [http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/van_der_waerden_-_algebraic_geometry.pdf English translation of the van der Waerden textbook]
* {{cite web |first=Jean |last=Dieudonné |authorlink=Jean Dieudonné |date=March 3, 1972 |title=The History of Algebraic Geometry |url=https://www.youtube.com/watch?v=Jzx-0poj3Eo |publisher=Talk at the Department of Mathematics of the [[University of Wisconsin–Milwaukee]] |via=[[YouTube]]}}
* [http://stacks.math.columbia.edu/ The Stacks Project], an open source textbook and reference work on algebraic stacks and algebraic geometry
{{پایان چپ‌چین}}
{{هندسه}}
{{شاخه‌های اصلی ریاضیات}}
{{داده‌های کتابخانه‌ای}}

{{پانویس-هندسه}}
[[رده:هندسه جبری]]
[[رده:شاخه‌های ریاضیات]]