نمایش مبدأ برای هندسه

{{هندسه عمومی}}
[[پرونده:Teorema de desargues.svg|بندانگشتی|چپ|250px|نگاره‌ای از [[قضیه دزارگ]]، یکی از نتایج مهم [[هندسه اقلیدسی]] و [[هندسه تصویری]]]]

'''هِندِسه''' شاخه‌ای از [[ریاضیات]] است که با شکل، اندازه، موقعیت نسبی شکل‌ها و ویژگی‌های فضا سروکار دارد. ریاضیدانی که در شاخهٔ هندسه کار می‌کند هندسه‌دان نامیده می‌شود. هندسه به‌طور مستقل در پاره‌ای از تمدن‌های نخستین به شکل بدنه‌ای از دانش عملی در مورد [[طول]]، [[مساحت]] و [[حجم]] ظهور کرد و پایه‌ریزی آن در جایگاه یک دانش رسمی ریاضی در زمان [[تالس]] (سدهٔ ششم پیش از میلاد) در غرب آغاز شد. در سدهٔ سوم پیش از میلاد، هندسه به دست [[اقلیدس]] به شکل [[اصل موضوع|اصل موضوعی]] درآمده بود و کار اقلیدس ([[هندسه اقلیدسی]]) استانداردی را پایه‌ریزی نمود که سده‌ها دنبال شد.<ref>Martin J. Turner,Jonathan M. Blackledge,Patrick R. Andrews (1998). "''[http://books.google.com/books?id=oLXgFdfKp78C&pg=PA1&dq&hl=en#v=onepage&q=&f=false Fractal geometry in digital imaging]''". [[آکادمیک پرس]]. p.1. {{ISBN|0-12-703970-8|en}}</ref> [[ارشمیدس]] روش‌های هوشمندانه‌ای برای محاسبهٔ [[مساحت]] و [[حجم]] ارائه داد که در بسیاری موارد پیش‌رو [[حساب انتگرال]] جدید محسوب می‌شوند. دانش [[اخترشناسی]] و به ویژه نگاشتن مکان [[ستاره]]‌ها و [[سیاره]]‌ها روی [[کره آسمان]] و توصیف رابطهٔ میان حرکت اجسام آسمانی تا هزار و پانصد سال بعد منشأ بسیاری از پرسش‌های هندسی بود. هر دوی هندسه و اخترشناسی در دنیای کلاسیک بخشی از [[کوادریویم]] بودند که خود زیرمجموعه‌ای از [[علوم مقدماتی|علوم مقدماتی هفتگانه]] بود که یادگیری آن‌ها برای هر شهروند آزادی ضروری می‌نمود.

معرفی [[دستگاه مختصات]] به دست [[رنه دکارت]] و توسعه هم‌زمان در [[جبر]]، مرحله تازه‌ای را در هندسه آغاز کرد؛ زیرا اشکال هندسی همچون منحنی‌های رویه‌ای را می‌شد به شکل [[هندسه تحلیلی|تحلیلی]] یعنی با توابع و معادلات نمایش داد. این موضوع نقش کلیدی در پیدایش [[حساب بی‌نهایت کوچک]] در سدهٔ هفدهم داشت. علاوه براین [[نظریه]] [[ژرفانمایی (گرافیک)|ژرفانمایی]] نیز نشان داد که در هندسه چیزی بیش از ویژگی‌های متریک اشکال وجود دارد. نظریه ژرفانمایی بنیان [[هندسه تصویری]] را بنا نهاد. موضوع هندسه با مطالعه ساختار ذاتی اجسام هندسی و با شروع از کارهای [[لئونارد اویلر]] و [[گاوس]]، غنی‌تر گردید و به پیدایش [[توپولوژی]] و [[هندسه دیفرانسیل]] انجامید.

در دوران اقلیدس تمایز آشکاری میان فضای فیزیکی و فضای هندسی وجود نداشت. از سدهٔ نوزدهم و کشف [[هندسه نااقلیدسی]] مفهوم [[فضا]] دستخوش تغییرات اساسی شده‌است و پرسشی پدید آمده‌است: کدام فضای هندسی تطابق بیشتری با فضای فیزیکی دارد؟ امروزه باید بین فضای فیزیکی، فضای هندسی (که در آن هنوز خط و نقطه معانی حسی خود را دارا هستند) و فضاهای انتزاعی تمایز قائل شد. هندسه معاصر امروز با [[خمینه]]‌ها سر و کار دارد؛ فضاهایی که از [[فضای اقلیدسی]] آشنا بسیار انتزاعی‌تر است. می‌توان به این فضاها ساختارهایی افزود که بتوانیم در مورد طول در این فضاها صحبت کنیم. هندسه مدرن پیوندهای مستحکمی با فیزیک دارد که به‌طور نمونه می‌توان به هندسه شبه ریمانی و [[نسبیت عام]] اشاره نمود. یکی از جوانترین [[نظریه]]‌های فیزیکی یعنی [[نظریه ریسمان]] نیز حال و هوایی هندسی دارد.

اگر چه ماهیت تصویری هندسه آن را در آغاز از دیگر شاخه‌های ریاضیات مانند [[جبر]] و [[نظریه اعداد]] قابل درک‌تر می‌نماید، زبان هندسی نیز در زمینه‌هایی که بسیار با حالت سنتی اقلیدسی آن تفاوت دارد به کار رفته‌است (مثلاً [[فراکتال|هندسه فراکتالی]] یا [[هندسه جبری]]).<ref group="پانویس">کاملاً متداول است که در هندسه جبری از [[واریته جبری|واریته‌های جبری]] در [[میدان متناهی|میدان‌های متناهی]] و شاید [[تکینگی (ریاضیات)|تکینه]] سخن بگوییم. از یک دیدگاه خام این اشیا تنها مجموعه‌هایی متناهی از نقاط هستند؛ ولی با فراخوانی شبیه‌سازی‌های قدرتمند هندسی و به‌کارگیری از تکنیک‌های توسعه‌یافته هندسی امکان آن وجود دارد که ساختارهایی بیابیم که آن‌ها را با [[کره (هندسه)|کره]] و [[مخروط]]‌های معمولی قابل مقایسه بسازد.</ref>

== ریشه شناسی واژه‌ی ''هندسه'' ==
واژه‌ی ''هندسه'' از ریشه‌ی واژه‌ی ''اندازه'' گرفته شده است. ''اندازه'' نیز از واژه‌ی [[زبان اوستایی|اوستاییِ]] ''هَنتاچَک'' از زبان اوستایی گرفته شده است. واژه‌ی ''هندسه'' را عربی‌زبانان از واژه‌ی ''هنتاچک'' و ''اندازه'' وام گرفته‌اند. بنابراین، ''هندسه'' عربی‌شده ([[معرب از فارسی|معرب]]) واژه فارسی ''اندازه'' می‌باشد.<ref>https://www.almaany.com/fa/dict/ar-fa/هندسة/</ref>
'''هِندِسه''' {{به یونانی|γεωμετρία|تلفظ: geometria، معنی: زمین‌سنجی}}؛ ''ژِئو'' «زمین»، ''مِتریا'' «سنجش، اندازه‌گیری») می‌باشد.

== تاریخچه ==
{{اصلی|تاریخ هندسه}}
[[پرونده:Westerner and Arab practicing geometry 15th century manuscript.jpg|بندانگشتی|یک اروپایی و عرب درحال کار بر روی هندسه در سده ۱۵ میلادی]]

<!--[[پرونده:Title page of Sir Henry Billingsley's first English version of Euclid's Elements, 1570 (560x900).jpg|راست|بندانگشتی|The [[frontispiece]] of Sir Henry Billingsley's first English version of Euclid's ''[[Element (mathematics)|Elements]]'', 1570]]-->
اولین ردپای ثبت شده‌ای از آغاز هندسه را می‌توان به [[بین‌النهرین]] و [[مصر باستان]] در هزاره دوم پیش از میلاد ردگیری نمود.<ref>J. Friberg, "Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations", ''Historia Mathematica'', 8, 1981, pp. 277–318.</ref><ref>{{Cite book | edition = 2 | publisher = [[Dover Publications]] | last = Neugebauer | first = Otto | author-link = Otto E. Neugebauer | title = The Exact Sciences in Antiquity | orig-year = 1957 | year = 1969 | isbn = 978-0-486-22332-2 | url = https://books.google.com/books?id=JVhTtVA2zr8C|chapter=Chap. IV Egyptian Mathematics and Astronomy|pages=71–96}}.</ref> هندسه در اوایل گردایه ای از اصولی بود که به‌طور تجربی کشف شده بودند، این اصول مربوط به طول‌ها، زوایا، مساحت‌ها و حجم‌ها بودند که از آن‌ها جهت رفع احتیاجات عملی در [[نقشه‌برداری]]، [[ساخت‌وساز]]، [[اخترشناسی]] و حرفه‌های مختلف استفاده می‌شد. اولین نوشتجات مربوط به هندسه، ''[[پاپیروس ریاضی ریند|پاپیروس ریند]]'' مصری (۲۰۰۰ تا ۱۸۰۰ قبل از میلاد)، ''[[پاپیروس مسکو]]'' (۱۸۹۰ قبل از میلاد)، و [[ریاضیات بابلیان|الواح سفالی بابلیان]]، همچون [[پلیمپتن ۳۲۲]] بود. به عنوان مثال، پاپیروس مسکو فرمولی برای محاسبه حجم هرم بریده شده یا ناقص را ارائه می‌کند.<ref name="Boyer 1991 loc=Egypt p. 19">{{Harv|Boyer|1991|loc="Egypt" p. 19}}</ref> الواح سفالی بعدی (۳۵۰ تا ۵۰ پیش از میلاد)، نشان می‌دهند که منجمان بابلی از فرایندهای [[ذوزنقه|ذوزنقه‌ای]] جهت محاسبه موقعیت [[مشتری (سیاره)|مشتری]] و حرکت در فضای زمان-سرعت استفاده می‌کرده‌اند. در سده ۱۴م میلادی توسط چنین فرایندهای هندسی، ماشین‌حساب‌های آکسفورد، و همچنین قضیه سرعت میانگین پیش‌بینی شدند.<ref>{{cite journal |last=Ossendrijver |first=Mathieu |date=29 January 2016 |title=Ancient Babylonian astronomers calculated Jupiter's position from the area under a time-velocity graph |journal=Science |volume=351 |issue=6272 |pages=482–484 |doi=10.1126/science.aad8085 |pmid=26823423|bibcode=2016Sci...351..482O |s2cid=206644971}}</ref> [[نوبه (منطقه)|نوبه‌های باستان]] در جنوب مصر، دستگاهی هندسی شامل نسخه‌های اولیه از ساعت‌های آفتابی را طراحی نمودند.<ref>{{cite journal|title=Gnomons at Meroë and Early Trigonometry|first=Leo|last=Depuydt|date=1 January 1998|journal=The Journal of Egyptian Archaeology|volume=84|pages=171–180|doi=10.2307/3822211|jstor=3822211}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.archaeology.org/online/news/nubia.html|title=Neolithic Skywatchers|date=27 May 1998|first=Andrew|last=Slayman|website=Archaeology Magazine Archive|access-date=17 April 2011|archive-url=https://web.archive.org/web/20110605234044/http://www.archaeology.org/online/news/nubia.html|archive-date=5 June 2011|url-status=live}}</ref>

در سده هفتم پیش از میلاد، ریاضیدان یونانی به نام [[تالس]] از ملیتوس، از هندسه جهت حل مسائلی چون محاسبه ارتفاع هرم و فاصله کشتی‌ها از ساحل استفاده نمود. افتخار استفاده از اولین [[استدلال استنتاجی]] کاربردی را به دلیل چهار نتیجه در مورد [[قضیه تالس]] در هندسه را به او نسبت می‌دهند.<ref name="Boyer 1991 loc=Ionia and the Pythagoreans p. 43">{{Harv|Boyer|1991|loc="Ionia and the Pythagoreans" p. 43}}</ref> [[فیثاغورس|فیثاغورث]] [[مکتب فیثاغوری]] را تأسیس نمود،<ref>Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, {{ISBN|0-03-029558-0}}.</ref> که به خاطر ارائه اولین اثبات از قضیه فیثاغورث کسب اعتبار نموده، گرچه که حکم این قضیه تاریخچه طولانی دارد.<ref>{{cite journal|title=The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum|author=Kurt Von Fritz|journal=The Annals of Mathematics|year=1945}}</ref><ref>{{cite journal|title=The Pentagram and the Discovery of an Irrational Number|journal=The Two-Year College Mathematics Journal|author=James R. Choike|year=1980}}</ref> [[اودوکسوس کنیدوسی|اودوکسوس]] (۴۰۸–۳۵۵ پیش از میلاد)، [[روش افنا]] را توسعه داد، که امکان محاسبه مساحت و حجم اشکال خمیده را داد،<ref>{{Harv|Boyer|1991|loc="The Age of Plato and Aristotle" p. 92}}</ref> همچنین او نظریه نسبت‌ها که از مشکل [[عدد گنگ|قیاس‌ناپذیری مقادیر]] جلوگیری می‌نمود را توسعه داد که هندسه‌دانان بعدی را قادر ساخت تا پیشرفت‌های قابل توجهی را صورت دهند. در حدود ۳۰۰ پیش از میلاد، هندسه توسط اقلیدس متحول شد، کتاب ''[[اصول اقلیدس]]'' او را به‌طور گسترده به عنان موفق‌ترین و مؤثرترین کتب درسی همه زمان‌ها در نظر می‌گیرند.<ref>{{Harv|Boyer|1991|loc="Euclid of Alexandria" p. 119}}</ref> این کتاب، دقت ریاضیاتی را به وسیله روش اصول موضوعه‌ای معرفی نمود و جزو اولین مثال‌ها از قالب نوشتاری ریاضیاتی است که هنوز هم مورد استفاده ریاضیات است، یعنی استفاده از تعاریف، اصول موضوعه‌ها، و اثبات‌ها. گرچه که پیش از آن نیز بسیاری از محتوای ''اصول اقلیدس'' شناخته شده بود، ولی اقلیدس آن‌ها را به صورت چارچوب منطقی منسجم و یکتا درآورد.<ref name="Boyer 1991 loc=Euclid of Alexandria p. 104">{{Harv|Boyer|1991|loc="Euclid of Alexandria" p. 104}}</ref> ''اصول اقلیدس'' برای تمام افراد تحصیل کرده غربی تا اواسط سده ۲۰ میلادی شناخته شده بود و امروزه محتوایش هنوز هم در کلاس‌های درسی تدری می‌شوند.<ref>Howard Eves, ''An Introduction to the History of Mathematics'', Saunders, 1990, {{ISBN|0-03-029558-0}} p. 141: "No work, except [[The Bible]], has been more widely used...."</ref> [[ارشمیدس]] (حدود ۲۸۷–۲۱۲ پیش از میلاد) از [[سیراکوز]]، روش افنا را جهت محاسبه مساحت زیر قوس [[سهمی]] به کار برد، در این روش از جمع [[سری (ریاضیات)|سری]] [[بی‌نهایت]] استفاده شده که تخمین‌هایش از [[عدد پی]] به میزان قابل توجهی دقیق بودند.<ref name=ToolAutoGenRef1>{{cite web | title = A history of calculus | author1 = O'Connor, J.J. | author2 = Robertson, E.F. | publisher = [[University of St Andrews]] | url = http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/The_rise_of_calculus.html | date = February 1996 | access-date = 7 August 2007 | archive-url = https://web.archive.org/web/20070715191704/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/The_rise_of_calculus.html | archive-date = 15 July 2007 | url-status = live}}</ref><ref name=ToolAutoGenRef1/> همچنین او [[مارپیچ ارشمیدس|مارپیچی]] که اسم خودش را یدک می‌کشد مورد مطالعه قرار داد و فرمول‌هایی برای حجم رویه‌های دورانی به‌دست آورد.

[[File:Woman teaching geometry.jpg|right|thumb|''زنی درحال یاد دادن هندسه''. تصویری در آغاز ترجمه قرون وسطایی [[اصول اقلیدس]]، (حدود ۱۳۱۰ میلادی)]]
ریاضی‌دانان هندی نیز مشارکت‌های مهمی در هندسه داشته‌اند. ''ساتاپاثا براهمانا'' (سده سوم پیش از میلاد)، قواعدی را جهت ترسیم (ساخت) هندسی مربوط به مراسم مذهبی را دربردارد که مشابه با ''سولبا سوتراس'' می‌باشد.<ref name="Staal 1999">{{cite journal | last=Staal | first=Frits | author-link=Frits Staal | title=Greek and Vedic Geometry | journal=Journal of Indian Philosophy | volume=27 | issue=1–2 | year=1999 | pages=105–127 | doi=10.1023/A:1004364417713 | s2cid=170894641}}</ref> براساس {{Harv|Hayashi|2005|p=۳۶۳}}، سولبا سوتراس شامل «قدیمی‌ترین عبارت کلامی موجود برای [[قضیه فیثاغورس|قضیه فیثاغورث]] در جهان است»، گرچه که نزد [[تمدن بابل|بابلی‌ها]] نیز شناخته شده بود. بابلی‌ها فهرست‌هایی از [[سه‌تایی فیثاغورثی|سه‌تایی‌های فیثاغورثی]] را داشتند،<ref>سه‌تایی‌های فیثاغورثی، سه‌تایی‌هایی چون <math> (a,b,c) </math> هستند که دارای این خاصیت می‌باشند: <math>a^2+b^2=c^2</math>. بنابراین، <math>3^2+4^2=5^2</math>، <math>8^2+15^2=17^2</math>، <math>12^2+35^2=37^2</math> ….</ref> که حالت‌های خاصی از [[معادلات سیاله ای|معادلات سیاله‌ای]] (دیوفانتینی) اند.<ref name=cooke198>{{Harv|Cooke|2005|p=198}}: "The arithmetic content of the ''Śulva Sūtras'' consists of rules for finding Pythagorean triples such as (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), and (12, 35, 37). It is not certain what practical use these arithmetic rules had. The best conjecture is that they were part of religious ritual. A Hindu home was required to have three fires burning at three different altars. The three altars were to be of different shapes, but all three were to have the same area. These conditions led to certain "Diophantine" problems, a particular case of which is the generation of Pythagorean triples, so as to make one square integer equal to the sum of two others."</ref> در [[نسخه خطی]] بخشالی، چند مورد معادلات سیاله‌ای موجود است (شامل مسائلی در مورد حجم اجسام نامنظم). همچنین نسخه خطی بخشالی «دستگاه مقادیر [[ده‌دهی|ده-دهی]] به کار گرفته شده که در آن نقطه، نشان‌دهنده صفر است».<ref name="hayashi2005-371">{{Harv|Hayashi|2005|p=371}}</ref> رساله [[آریابهاتا]] با عنوان ''Aryabhatiya'' (در ۴۹۹ میلادی)، شامل محاسبه مساحت‌ها و حجم‌ها می‌باشد. [[برهماگوپتا]] اثر نجومی خود را با عنوان ''Brāhma Sphuṭa Siddhānta'' را در ۶۲۸ میلادی نوشت. فصل ۱۲، شامل ۶۶ شعر [[زبان سانسکریت|سانسکریتی]] بود که به دو بخش تقسیم می‌شد: «اعمال پایه» (شامل ریشه‌های مکعبی، کسرها، نسبت و تناسب و معاملات پایاپای) و «ریاضیات عملی» (شامل مخلوط، سری‌های ریاضیاتی، اشکال مسطح، آجرهای پشته‌ای، اره کردن الوار، و انباشت حبوبات).<ref name="hayashi2003-p121-122">{{Harv|Hayashi|2003|pp=121–122}}</ref> او در بخش اخیر (دوم) از کتابش، قضیه معروفش در مورد قطر چهارضلعی محاطی را بیان می‌کند. همچنین فصل ۱۲، فرمولی برای مساحت یک [[چهارضلعی محاطی]] (تعمیمی از [[فرمول هرون]])، به علاوه توصیف کاملی از مثلث‌های گویا (یعنی مثلث‌هایی با اضلاع و مساحت‌های گویا) را دربردارد.<ref name="hayashi2003-p121-122"/>

در [[قرون وسطی]]، [[ریاضیات در جهان اسلام|ریاضیات جهان اسلام]] به توسعه هندسه، به‌خصوص [[هندسه جبری]] کمک نمود.<ref>R. Rashed (1994), ''The development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra'', p. 35 [[London]]</ref><ref>{{Harv|Boyer|1991|loc="The Arabic Hegemony" pp. 241–242}} "Omar Khayyam (c. 1050–1123), the "tent-maker," wrote an ''Algebra'' that went beyond that of al-Khwarizmi to include equations of third degree. Like his Arab predecessors, Omar Khayyam provided for quadratic equations both arithmetic and geometric solutions; for general cubic equations, he believed (mistakenly, as the 16th century later showed), arithmetic solutions were impossible; hence he gave only geometric solutions. The scheme of using intersecting conics to solve cubics had been used earlier by Menaechmus, Archimedes, and Alhazan, but Omar Khayyam took the praiseworthy step of generalizing the method to cover all third-degree equations (having positive roots). .. For equations of higher degree than three, Omar Khayyam evidently did not envision similar geometric methods, for space does not contain more than three dimensions, … One of the most fruitful contributions of Arabic eclecticism was the tendency to close the gap between numerical and geometric algebra. The decisive step in this direction came much later with Descartes, but Omar Khayyam was moving in this direction when he wrote, "Whoever thinks algebra is a trick in obtaining unknowns has thought it in vain. No attention should be paid to the fact that algebra and geometry are different in appearance. Algebras are geometric facts which are proved."".</ref> [[ابوعبدالله محمد بن عیسی ماهانی|الماهانی]] (مرگ در ۸۵۳ میلادی)، ایده تقلیل مسائل هندسی چون [[تضعیف مکعب]] به مسائلی در [[جبر]] را درک نموده بود.<ref>{{MacTutor Biography|id=Al-Mahani|title=Al-Mahani|mode=cs1}}</ref> [[ثابت بن قره]] (در لاتین به Thebit شناخته می‌شود) (۸۳۶–۹۰۱ میلادی) با کاربردهای اعمال [[حساب|حسابی]] در [[نسبت (ریاضیات)|نسبت‌های]] کمیت‌های هندسی درگیر بود و به توسعه [[هندسه تحلیلی]] کمک نمود.<ref name="ReferenceA">{{MacTutor Biography|id=Thabit|title=Al-Sabi Thabit ibn Qurra al-Harrani|mode=cs1}}</ref> [[عمر خیام]] (۱۰۴۸–۱۱۳۱ میلادی) راه حل‌هایی را برای معادلات مکعبی پیدا نمود.<ref>{{MacTutor Biography|id=Khayyam|title=Omar Khayyam|mode=cs1}}</ref> قضایای [[ابن هیثم]] (Alhazen)، عمر خیام و [[خواجه نصیرالدین طوسی]] در ارتباط با [[چهارضلعی]]‌ها، شامل چهارضلعی‌های لامبرت و [[چهارضلعی ساکری|ساکری]]، جزو اولین نتایج [[هندسه هذلولوی]] بودند که به همراه فرضیات جایگزینشان همچون [[اصل توازی هیلبرت|اصل پلیفیر]]، در میان هندسه‌دانان اروپایی شامل ویتلو (حدود ۱۲۳۰ تا ۱۳۱۴ میلادی)، [[ابن گرشوم]] (۱۲۸۸ تا ۱۳۴۴ میلادی)، آلفونسو، [[جان والیس]]، و [[جیرولامو ساکری]]، تأثیر قابل توجهی جهت توسعه هندسه نااقلیدسی داشتند.<ref>Boris A. Rosenfeld and Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometry", in Roshdi Rashed, ed. , ''[[Encyclopedia of the History of Arabic Science]]'', Vol. 2, pp. 447–494 [470], [[Routledge]], London and New York: {{quote|"Three scientists, Ibn al-Haytham, Khayyam, and al-Tusi, had made the most considerable contribution to this branch of geometry whose importance came to be completely recognized only in the 19th century. In essence, their propositions concerning the properties of quadrangles which they considered, assuming that some of the angles of these figures were acute of obtuse, embodied the first few theorems of the hyperbolic and the elliptic geometries. Their other proposals showed that various geometric statements were equivalent to the Euclidean postulate V. It is extremely important that these scholars established the mutual connection between this postulate and the sum of the angles of a triangle and a quadrangle. By their works on the theory of parallel lines Arab mathematicians directly influenced the relevant investigations of their European counterparts. The first European attempt to prove the postulate on parallel lines – made by Witelo, the Polish scientists of the 13th century, while revising Ibn al-Haytham's ''[[Book of Optics]]'' (''Kitab al-Manazir'') – was undoubtedly prompted by Arabic sources. The proofs put forward in the 14th century by the Jewish scholar Levi ben Gerson, who lived in southern France, and by the above-mentioned Alfonso from Spain directly border on Ibn al-Haytham's demonstration. Above, we have demonstrated that ''Pseudo-Tusi's Exposition of Euclid'' had stimulated both J. Wallis's and G. Saccheri's studies of the theory of parallel lines."}}</ref>

اوایل سده ۱۷ میلادی، دو پیشرفت مهم در هندسه شکل گرفت. اولینشان خلق هندسه تحلیلی یا هندسه [[دستگاه مختصات|مختصاتی]] و [[معادله|معادلاتی]] بود که توسط [[رنه دکارت]] (۱۹۵۶ تا ۱۶۵۰ میلادی) و [[پیر دو فرما]] (۱۶۰۱ تا ۱۶۶۵ میلادی) صورت پذیرفت.<ref name="Boyer2012">{{cite book|author=Carl B. Boyer|title=History of Analytic Geometry|url=https://books.google.com/books?id=2T4i5fXZbOYC|date=2012|publisher=Courier Corporation|isbn=978-0-486-15451-0}}</ref> این فرایند جهت توسعه [[حسابان]] و علم کمی دقیق [[فیزیک]]، پیش نیازی ضروری بود.<ref name="Edwards2012">{{cite book|author=C.H. Edwards Jr.|title=The Historical Development of the Calculus|url=https://books.google.com/books?id=ilrlBwAAQBAJ&pg=PA95|date=2012|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4612-6230-5|page=95}}</ref> پیشرفت هندسی دوم از این دوره، مطالعه نظام‌مند [[هندسه تصویری]] توسط [[جرارد دزارگ]] (۱۵۹۱ تا ۱۶۶۱ میلادی) بود.<ref name="FieldGray2012">{{cite book|author1=Judith V. Field|author1-link= Judith V. Field |author2=Jeremy Gray|title=The Geometrical Work of Girard Desargues|url=https://books.google.com/books?id=zSvSBwAAQBAJ&pg=PA43|year=2012|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4613-8692-6|page=43}}</ref> هندسه تصویری به مطالعه خواص اشکالی می‌پردازد که تحت افکنش‌ها و مقطع‌گیری‌ها ناوردا باقی بماند، به‌خصوص که مرتبط با [[ژرفانمایی (گرافیک)|ژرفانمایی هنری]] نیز می‌شود.<ref name="Wylie2011">{{cite book|author=C. R. Wylie|title=Introduction to Projective Geometry|url=https://books.google.com/books?id=VVvGc8kaajEC|date=2011|publisher=Courier Corporation|isbn=978-0-486-14170-1}}</ref>

دو پیشرفت که در سده ۱۹ میلادی در زمینه هندسه به وقوع پیوست، باعث تغییر در مسیر مطالعاتی هندسه گشت که تا پیش از آن زمان رواج داشت.<ref name="Gray2011">{{cite book|author=Jeremy Gray|title=Worlds Out of Nothing: A Course in the History of Geometry in the 19th Century|url=https://books.google.com/books?id=3UeSCvazV0QC|date=2011|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-85729-060-1}}</ref> این پیشرفت‌ها، کشف [[هندسه نااقلیدسی]] توسط [[نیکلای ایوانوویچ لوباچفسکی|نیکولای ایوانوویچ لوباچفسکی]]، [[یانوش بویایی]]، [[کارل فریدریش گاوس|کارل فردریش گاوس]]، و همچنین فرمول بندی [[تقارن]] به عنوان دغدغه اصلی برنامه ارلانگن مربوط به [[فلیکس کلاین]] (که باعث تعمیم هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی شد) بود. دوتن از استادان هندسه زمان، [[برنهارت ریمان]] (۱۸۲۶ تا ۱۸۶۶ میلادی) بود که عمدتاً با ابزارهایی از [[آنالیز ریاضی]] کار می‌کرد و [[رویه ریمانی]] را معرفی نمود، دیگری [[آنری پوانکاره]]، بنیانگذار [[توپولوژی جبری]] و نظریه هندسی [[سیستم‌های دینامیکی]] بود. مفهوم «فضا»، به عنوان پیامدی از این تغییرات عمده در مفهوم هندسه، تبدیل به مفهومی غنی و متنوع شد که تبدیل به پیش زمینه‌ای طبیعی برای نظریات متفاوتی چون [[آنالیز مختلط]] و [[مکانیک کلاسیک]] گشت.<ref name="Bayro-Corrochano2018">{{cite book|author=Eduardo Bayro-Corrochano|title=Geometric Algebra Applications Vol. I: Computer Vision, Graphics and Neurocomputing|url=https://books.google.com/books?id=SSVhDwAAQBAJ&pg=PA4|date=2018|publisher=Springer|isbn=978-3-319-74830-6|page=4}}</ref>

== بررسی کلی ==
[[پرونده:Chinese pythagoras.jpg|بندانگشتی|فیثاغورث چینی]]
رشد و توسعه ثبت شده هندسه بیش از هزاران سال قبل از میلاد مسیح قدمت دارد. چندان دور از ذهن نمی‌نماید که درک آنچه هندسه را تشکیل می‌دهد در طول سالیان تکامل یافته‌است.

=== هندسه عملی ===
هندسه به عنوان دانشی عملی به وجود آمد و با بررسی، اندازه‌گیری، مساحت و حجم مرتبط بود. دستاوردهای قابل توجه آن کشف فرمول‌هایی برای طول، مساحت و حجم بودند؛ مثل [[قضیه فیثاغورس]]، محیط و مساحت دایره، مساحت مثلث، حجم استوانه، کره و هرم. روشی برای محاسبه فواصل و ارتفاع‌های دور از دسترس با استفاده از تشابه به تالس نسبت داده می‌شود. رشد [[اخترشناسی]] به پیدایش [[مثلثات]] و [[مثلثات کروی]] انجامید.

=== هندسه اصل موضوعی ===
اقلیدس در کتاب اصول خود دیدگاهی انتزاعی‌تر در پیش گرفت و [[اصل موضوع|اصول موضوع]] خاصی را مطرح نمود که ویژگی‌های اولیه یا خودآشکار نقطه، خط و صفحه را بیان می‌کرد و برای انتاج سایر ویژگی‌ها از استدلال استفاده کرد. مشخصه مهم دیدگاه اقلیدس استواری نتیجه‌گیری‌ها بود. در ابتدای سده نوزدهم کشف هندسه‌های نااقلیدسی توسط [[گاوس]]، [[لوباچفسکی|لباچفسکی]] و [[یانوش بویویی]] و دیگران به احیای علاقه منجر شد و در سده بیستم [[دیوید هیلبرت]] استدلال اصل موضوعی را برای ارائه بنیان مدرن هندسه به کار گرفت.

== جستارهای وابسته ==
* [[هندسه اقلیدسی]]
* [[هندسه نااقلیدسی]]
* [[هندسه ناجابه‌جایی]]
* [[هندسه جبری]]

== پانویس ==
<references group="پانویس"/>

== منابع ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله|۲}}
{{شاخه‌های اصلی ریاضیات}}
{{هندسه}}{{پانویس-هندسه}}

== پیوند به بیرون ==
{{ویکی‌واژه|هندسه}}
[[رده:ساختارهای ریاضیاتی]]
[[رده:مقاله‌های دانشنامه رشد]]
[[رده:واژگان بازگشتی]]
[[رده:هندسه|هندسه]]