نمایش مبدأ برای هم‌دسته

'''هم‌دسته‌ها''' {{به انگلیسی|coset}} در [[نظریه گروه‌ها]]، از مفاهیم اساسی برای تعریف [[گروه خارج قسمت]] هستد و در سراسر [[نظریه گروه‌ها]] به آن‌ها بر خورد می‌کنیم.

== تعریف هم‌دسته‌ها ==

مفهوم هم‌دسته‌ها در حقیقت یک بیان کلی است و هم مجموعه‌ها بر دو نوع '''هم‌دسته‌های راست''' و '''هم‌دسته‌های چپ''' تعریف می‌شوند.

=== هم‌دسته‌های راست ===

فرض کنید G یک [[نظریه گروه ها|گروه]] و H [[زیرگروه|زیرگروهی]] از G باشد. [[رابطه]] <math>\equiv_H</math> موسوم به '''رابطه راست همنهشتی''' (یا برای تاکید، رابطه راست همنهشتی به هنگ H) را روی G به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

:<math>\forall a,b\in G:a\equiv_H b\iff ab^{-1}\in H</math>

به سادگی می‌توان تحقیق کرد که این [[رابطه]] یک [[رابطه هم ارزی]] روی G تعریف می‌کند. حال برای هر g∈G کلاس هم ارزی g نسبت به رابطه راست همنهشتی را با <nowiki>[g]</nowiki> نشان می‌دهیم و داریم:

:<math>[g]=\{a\in G:a\equiv_H g\}</math>

:<math>=\{a\in G:ag^{-1}\in H\}</math>

:<math>=\{a\in G:ag^{-1}=h,h\in H\}</math>

پس:

:<math>[g]=\{hg:h\in H\}</math>

حال با تغییر در نماد گذاری قرار می‌دهیم:

:<math>Hg=\{hg:h\in H\}</math>

این '''مجموعه''' را اصطلاحاً، هم‌دسته‌ها(هم دسته) راست H در G تولید شده توسط g می‌گوییم.
;تعریف:اگر H [[زیرگروه|زیرگروهی]] از [[نظریه گروه ها|گروه]] G باشد، برای هر g∈G، مجموعه {Hg={hg:h∈G را یک هم‌دسته‌ها راست H در G تولید شده توسط عضو g می‌گوییم.

با توجه به تعریف و خواص کلاس‌های هم ارزی، خواص زیر را برای هر a،b∈G داریم:
* <math>Ha=Hb\iff ab^{-1}\in H</math>

* <math>Ha=H\iff a\in H</math>

توجه داشته باشید که خود H نیز یک هم‌دسته‌ها راست G است چون H=He.

;توضیح نمادگذاری:از آنجا که دو نماد گذاری جمعی(+) و ضربی(.) برای نمایش عمل یک [[گروه]] وجود دارد می‌توان رابطه راست هم نشهتی را با نماد جمعی نیز تعریف نمود که در این صورت خواهیم داشت:

::<math>\forall a,b\in G:a\equiv_H\iff a-b\in H</math>

و 

::<math>H+g=\{h+g:h\in H\}</math>

به عنوان مثال گروه {'''Z<sub>۴</sub>''' = {۰، ۱، ۲، ۳ را در نظر بگیرید. 
{H={۰،۲ زیرگروهی از '''Z<sub>۴</sub>''' است. در این صورت هم مجموعه‌های راست H در G عبارت‌اند از:
* {H+۰={۰،۲
* {H+۱={۱،۳
وضوحاً لازم به محاسبه H+۲ و H+۳ نیست چون هر یک از آن‌ها بنابر خواص پیش تر ذکر شده به ترتیب با H+۰ و H+۱ برابر هستند.

در مثال فوق مشاهده می‌کنید که تعداد اعضای هم مجموعه‌های راست متمایز H در G با هم برابر است. آیا همواره چنین است؟ قضیه زیر به این پرسش پاسخ مثبت می‌دهد.
;قضیه:فرض کنید H [[زیرگروه|زیرگروهی]] از [[نظریه گروه ها|گروه]] G باشد. در این صورت بین هم مجموعه‌های راست متمایز H در G یک [[تناظر یک به یک]] برقرار است.
;برهان: فرض کنید Ha،Hb دو هم‌دسته‌ها راست متمایز H در G باشند. تابع <math>\phi:Ha\to Hb</math> را با ضابطه برای هر ha∈Ha، <math>\phi (ha)=hb</math> تعریف می‌کنیم. در این صورت به آسانی می‌توان تحقیق نمود که این تابع یک تناظر یک به یک([[تابع|تابعی]] [[تابع یک به یک|یک به یک]] و [[تابع پوشا|پوشا]]) از Ha به Hb است و برهان قضیه کامل می‌شود.

این مطلب نتیجه‌ای مهم و در عین حال ساده در بر دارد و آن این است که چون خود H نیز یک هم‌دسته‌ها راست G است، برای هر g∈G تعداد اعضای Hgبا تعداد اعضای H برابر است. یعنی تعداد عناصر همه هم مجموعه‌های H در G برابر با تعداد عناصر H است. این مطلب خصوصاً در اثبات [[قضیه لاگرانژ(گروه)|قضیه لاگرانژ]] نقش اساسی ایفا می‌کند.

=== هم‌دسته‌ها چپ ===
طبیعی است که همانطور هم‌دسته‌ها راست [[زیرگروه]] H از [[گروه]] G را تعریف کردیم، هم‌دسته‌ها چپ آن را نیز تعریف کنیم. برای این منظور رابطه <math>{}_H\! \equiv</math> موسوم به '''رابطه چپ همنهشتی'''(یا برای تاکید، رابطه چپ همنهشتی به هنگ H)، را روی [[گروه]] G به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

:<math>\forall a,b\in G:a{}_H\! \equiv b\iff a^{-1}b\in H</math> 

در این صورت همانند رابطه راست همنهشتی، این رابطه نیز یک رابطه هم ارزی در G است و برای هر g∈G کلاس هم ارزی g عبارت است از:

:<math>[g]=\{gh:h\in H\}</math>

که باز با تغییر نماد گذاری این مجموعه را با

:<math>gH=\{gh:h\in H\}</math>

نشان می‌دهیم و آن را یک هم‌دسته‌ها چپ H در G تولید شده توسط g می‌گوییم.

;تعریف:اگر H زیرگروهی از گروه G باشد، برای هر g∈G، مجموعه {gH={gh:h∈G را یک هم‌دسته‌ها H در G تولید شده توسط عضو g می‌گوییم.

با توجه به تعریف و خواص [[کلاس هم ارزی|کلاس‌های هم ارزی]]، خواص زیر را برای هر a،b∈G داریم:
* <math>aH=bH\iff a^{-1}b\in H</math>

* <math>aH=H\iff a\in H</math>

توجه داشته باشید، چون eH=H پس H نیز یک هم‌دسته‌ها چپ در G است.

همانطور که میان هم مجموعه‌های راست H در G، تناظر یک به یک برقرار است میان هم مجموعه‌های چپ H در G نیز یک تناظر یک به یک برقرار است. به عبارت دقیق تر اگر aH،bH دو هم‌دسته‌ها چپ متمایز H در G باشند، تابع <math>\phi :aH\to bH</math> با ضابطه برای هر ah∈aH، <math>\phi (ah)=bh</math> یک تناظر یک به یک است.

بنابراین دیدم که چگونه با تعریف یک [[رابطه هم ارزی]] روی گروه G هم مجموعه‌های راست و چپ را به عنوان [[کلاس هم ارزی|کلاس‌های هم ارزی]] تعریف کردیم. نکته جالب توجه این است چون یک رابطه هم ارزی روی یک مجموعه، آن مجموعه را به کلاس‌های هم ارزی خود افراز می‌کند، که اگر H زیرگروه گروه G باشد، در این صورت مجموعه همه هم مجموعه‌های متمایز H در G(راست یا چپ) یک افراز برای G می‌باشند. این مطلب اساس [[قضیه لاگرانژ(گروه)|قضیه لاگرانژ]] را تشکیل می‌دهد.

== رابطه بین هم تعداد هم مجموعه‌های راست و چپ ==

نکته جالب و در مورد هم مجموعه‌های راست و چپ زیرگروه H از گروه G این است که تعداد آن‌ها با هم برابر است. به عبارت دقیق تر قضیه زیر را داریم.

;قضیه: اگر H [[زیرگروه]] گروه G باشد، بین هم مجموعه‌های متمایز راست H در G و هم مجموعه‌های متمایز چپ H در G، یک تناظر یک به یک برقرار است.
;برهان:فرض می‌کنیم <math>\mathcal{R}</math> مجموعه همه هم مجموعه‌های متمایز راست H در G و <math>\mathcal{L}</math> مجموعه همه هم مجموعه‌های متمایز چپ Hدر G باشد. در این صورت تابع <math>\phi:\mathcal{R}\to \mathcal{L}</math> با ضابطه برای هر Ha∈'''R''' <math>\phi (Ha)=a^{-1}H</math> تابعی یک به یک و پوشا است و برهان کامل می‌شود.

این مطلب نشان می‌دهد در بسیاری از موارد در اثبات قضایا و تعاریف، تفاوت چندانی میان هم مجموعه‌های راست و چپ H در G وجود ندارد. یک نمونه از این موارد تعریف [[اندیس زیرگروه]] است.

== اندیس زیرگروه ==
اگر G یک [[گروه]] و H [[زیرگروه|زیرگروهی]] از G باشد، در این صورت تعداد هم دسته های(راست یا چپ) H در G را [[اندیس زیرگروه|اندیس یا شاخص]] H در G می‌گوییم و آن را با نمادهای '''<nowiki>[G:H]</nowiki>''' یا '''(i<sub>G</sub>(H''' نشان می‌دهیم.

== زیرگروه‌های نرمال ==

از جمله مهم‌ترین مفاهیم در [[نظریه گروه‌ها]] [[زیرگروه نرمال]] می‌باشد که به کمک هم مجموعه‌ها تعریف می‌شوند.

فرض کنید G یک گروه باشد. در این صورت رده‌ای از [[زیرگروه|زیر گروه‌های]] G دارای این ویژگی هستند که هم مجموعه‌های راست و چپ آن‌ها به ازای هر عضو G یکسان است. این زیرگروه‌های خاص از G را [[زیرگروه نرمال|زیرگروه‌های نرمال]] می‌نامیم. 

بنابر این زیرگروه H از گروه G را [[زیرگروه نرمال|نرمال]] می‌گوییم اگر برای هر g∈G داشته باشیم gH=Hg. 

== جستارهای وابسته ==
* [[قضیه لاگرانژ(گروه)|قضیه لاگرانژ]]
* [[گروه خارج قسمت]]
* [[اندیس زیرگروه]]

== منابع ==
* {{یادکرد
|
|کتاب=اساس جبر مجرد
|نویسنده =دی.اس.مالک-جال.ان.مردسون-ام.ک.سن
|ترجمه=دکتر محمد رضا رجب زاده مقدم-سید محمد داورپناه
|ناشر =دانشگاه امام رضا(ع)
|شهر=مشهد
|سال=1380
|شابک=964-6582-29-X
}}

* {{یادکرد
|
|کتاب=جبر مجرد
|نویسنده =دان ساراسینو
|ترجمه=محمد رضا فلکی
|ناشر =نشر اقلیدس
||شهر=مشهد
|سال=1381
|شابک=964-91210-9-9
}}

* {{یادکرد
|
|کتاب=جبر مجرد
|نویسنده =[[اسرائیل ناتان هراشتاین]]
|ترجمه=دکتر علی اکبر عالم زاده
|ناشر =موسسه انتشارات علمی دانشگاه صنعتی شریف
||شهر=تهران
|سال=1381
|شابک=964-6379-02-8
}}

* {{یادکرد-ویکی
|پیوند =http://en.wikipedia.org/wiki/Cosets
|عنوان =Coset
|زبان =انگلیسی 
|بازیابی =24 آگوست 2007
}}

[[رده:جبر]]
[[رده:نظریه گروه‌ها]]