نمایش مبدأ برای همه اسب‌ها یک‌رنگ هستند

'''همۀ اسب‌ها یک‌رنگ هستند''' (به [[زبان انگلیسی|انگلیسی]]: All horses are the same color) یک قضیهٔ نادرست است که با استفاده از [[استقرای ریاضی]] تلاش دارد ثابت کند هر مجموعهٔ <math>n</math>-تایی از [[اسب‌ها]] یک‌رنگ هستند.<ref>{{پک|Shick|2011|ک=Topology: Point-Set and Geometric|ص=31|زبان=en}}</ref> صورت قضیه را می‌توان به این صورت بیان کرد: «به ازای هر عدد صحیح مثبت <math>n</math>، هر مجموعهٔ <math>n</math>-تایی از اسب‌ها همواره یک‌رنگ هستند.»<ref>{{پک|Bóna|2006|ک=A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration And Graph Theory|ص=23|زبان=en}}</ref>

این مسئله را [[جورج پولیا]] طراحی کرده‌است.<ref>{{پک|Bauldry|2011|ک=Introduction to Real Analysis: An Educational Approach|ص=243|زبان=en}}</ref>

== برهان ==
;گام اول: برای <math>n = 1</math> درستی بدیهی است؛ زیرا در هر مجموعهٔ یک‌اسبی همهٔ اسب‌ها با یکدیگر هم‌رنگ هستند (هر اسبی همرنگ خودش است).
;گام دوم: فرض می‌کنیم در هر مجموعهٔ <math>n</math>-تایی از اسب‌ها همهٔ اسب‌ها یک‌رنگ هستند. حال یک مجموعهٔ <math>n + 1</math>-تایی از اسب‌ها را در نظر می‌گیرم. یک اسب دلخواه را از مجموعه انتخاب و از آن جدا می‌کنیم، مجموعهٔ <math>n</math> اسب باقی‌مانده بنا به فرض استقرا باید همرنگ باشند. حال اسب اول را به مجموعه برمی‌گردانیم و اسب دیگری را جدا می‌کنیم و باز هم مجموعهٔ <math>n</math>-تایی باقی‌مانده هم‌رنگ خواهند بود. نتیجه می‌گیرم که همهٔ اسب‌های مجموعهٔ <math>n + 1</math>-تایی نیز یک‌رنگ هستند.<ref>{{پک|Shick|2011|ک=Topology: Point-Set and Geometric|ص=31|زبان=en}}</ref> به عبارت دیگر چون دو مجموعهٔ <math>n</math>-تایی اول و دوم با یکدیگر دارای اشتراک هستند؛ پس با توجه به [[رابطه ترایا|ترایا]] بودن رابطهٔ همرنگی می‌توان نتیجه گرفت اسب اول و دوم با سایر اسب‌ها یک‌رنگ هستند.<ref>{{پک|Bóna|2006|ک=A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration And Graph Theory|ص=24|زبان=en}}</ref>

== اشتباه ==
یافتن اشتباه موجود در این برهان ساده نیست چون استدلال به‌کار رفته برای هر مجموعهٔ <math>n + 1</math>-عضوی صادق است مگر حالت <math>n = 1</math>، یعنی زمانی که بخواهیم ثابت کنیم یک مجموعهٔ دو-اسبی همرنگ هستند و فرض ما این باشد که هر مجموعهٔ یک‌اسبی هم‌رنگ است، که قابل اثبات نیست چون دو مجموعه با یکدیگر اشتراک نخواهند داشت و رابطهٔ ترایا ندارند. این مغالطه نشان می‌دهد که در [[استقرای ریاضی]] اثبات‌پذیر بودن گزارهٔ <math>n + 1</math> به ازای همهٔ <math>n</math>-های بزرگتر-مساویِ فرضِ اولیه دارای اهمیت است.<ref>{{پک|Bóna|2006|ک=A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration And Graph Theory|ص=24|زبان=en}}</ref>

== جستارهای وابسته ==
* [[پارادوکس]]
* [[فهرست پارادوکس‌ها]]

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
{{پانویس|۲}}
* {{یادکرد کتاب|نام خانوادگی=Bauldry|نام=William C.|کتاب=Introduction to Real Analysis: An Educational Approach|ناشر=John Wiley & Sons|نشانی=http://books.google.com/books?id=eClOhyJmxDkC&pg=PA243|تاریخ بازبینی=2013-04-21|سال=2011|شابک=978-1-118-16443-3|زبان=en}}
* {{یادکرد کتاب|نام خانوادگی=Bóna|نام=Miklós|کتاب=A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration And Graph Theory|ناشر=World Scientific|نشانی=http://books.google.com/books?id=vDVc5Q9xf9EC&pg=PA23|تاریخ بازبینی=2013-04-21|سال=2006|شابک=978-981-256-885-4|زبان=en}}
* {{یادکرد کتاب|نام خانوادگی=Shick|نام=Paul L.|کتاب=Topology: Point-Set and Geometric|ناشر=John Wiley & Sons|نشانی=http://books.google.com/books?id=f_E8zi-vhGkC&pg=PA31|تاریخ بازبینی=2013-04-21|سال=2011|شابک=978-1-118-03058-5|زبان=en}}
{{پایان چپ‌چین}}

[[رده:اسب]]
[[رده:اسب‌ها در فرهنگ عامه]]
[[رده:پارادوکس‌ها]]
[[رده:پارادوکس‌های ریاضیات]]
[[رده:رنگ]]
[[رده:شوخی‌های ریاضیاتی]]
[[رده:مغالطه‌های استقرایی]]