نمایش مبدأ برای هسته (جبر خطی)

{{کاربرد دیگر|هسته}}

در [[ریاضیات]]، '''هسته''' یا '''فضای پوچ''' یک [[نگاشت خطی]]،  [[فضای فرعی خطی|زیرفضایی خطی]] از [[دامنه تابع|دامنه]]ٔ همان نگاشت خطی است که توسط آن نگاشت، به بردار صفر نگاشته می‌شود.<ref>{{Cite web|url=https://mathvault.ca/math-glossary/#null|title=The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Null|date=2019-08-01|website=Math Vault|language=en-US|accessdate=2019-12-09}}</ref><ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Kernel.html|title=Kernel|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|accessdate=2019-12-09}}</ref> به ازای نگاشت خطی {{ریاضی|''L'' : ''V'' → ''W''}} بین دو [[فضای برداری]] {{Mvar|V}} و {{Mvar|W}}، هسته {{Mvar|L}} فضای برداری تمام عناصر {{ریاضی|'''v'''}} از {{Mvar|V}} است به طوری که {{ریاضی|1=''L''('''v''') = '''0'''}} ، که در اینجا منظور از {{ریاضی|'''0'''}}، [[بردار صفر]] یا عضو بی‌اثر نسبت به جمع در {{Mvar|W}} است.<ref name=":0">{{Cite web|url=https://brilliant.org/wiki/kernel/|title=Kernel (Nullspace) {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|website=brilliant.org|language=en-us|accessdate=2019-12-09}}</ref> به عبارت دیگر:

: <math>\ker(L) = \left\{ \mathbf{v} \in V \mid L(\mathbf{v})=\mathbf{0} \right\}</math>

== ویژگی‌ها ==
[[پرونده:KerIm_2015Joz_L2.png|بندانگشتی|346x346پیکسل| هسته و [[تصویر (ریاضیات)|تصویر]](برد) مربوط به نگاشت {{Mvar|L}}]]
هسته {{Mvar|L}} یک زیرفضای خطی با دامنه {{Mvar|V}} است.<ref name=":0" /><ref name="textbooks">Linear algebra, as discussed in this article, is a very well established mathematical discipline for which there are many sources. Almost all of the material in this article can be found in {{Harvard citation no brackets|Lay|2005}}, {{Harvard citation no brackets|Meyer|2001}}, and Strang's lectures.</ref>  در نگاشت خطی {{ریاضی|''L'' : ''V'' → ''W''}} ، دو عنصر از {{Mvar|V}} در {{Mvar|W}} دارای [[تصویر (ریاضیات)|تصویر]] یکسان هستند اگر و فقط اگر تفاضل آن دو، عضوی از هسته {{Mvar|L}} باشد:

: <math>L(\mathbf{v}_1) = L(\mathbf{v}_2) \iff L(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2)=\mathbf{0} </math>

از اینجا نتیجه می‌گیریم که تصویر(برد) {{Mvar|L}} با [[فضای کم (جبر خطی)|خارج قسمت]] تقسیم {{Mvar|V}} بر هسته‌ی {{Mvar|L}}، [[یک‌ریختی|یک‌ریخت]] است:

: <math>\operatorname{im}(L) \cong V / \ker(L)</math>

در صورتی که بعد {{Mvar|V}} [[بعد (فضای برداری)|متناهی]] باشد، رابطه‌ی مذکور بیانگر قضیه‌ی رتبه و پوچی است:

: <math>\dim(\ker L) + \dim(\operatorname{im} L) = \dim(V).</math>

که در این قضیه، منظور از ''رتبه'' بعد تصویر(برد) {{Mvar|L}} و منظور از ''پوچی'' بعد هسته {{Mvar|L}} است.<ref name=":1">{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Rank-NullityTheorem.html|title=Rank-Nullity Theorem|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|accessdate=2019-12-09}}</ref>

وقتی که {{Mvar|V}} یک [[فضای ضرب داخلی]] باشد، می توان خارج قسمت {{ریاضی|''V'' / ker(''L'')}} را به عنوان [[مکمل متعامد]] {{ریاضی|ker(''L'')}} در فضای {{Mvar|V}} تلقی کرد. این تعمیمی بر عملگرهای خطی مربوط به فضای سطری یا Coimage یک ماتریس است.

== منابع و یادداشت‌ها ==
{{پانویس}}

{{جبر خطی}}

[[رده:جبر خطی عددی]]
[[رده:ماتریس‌ها]]
[[رده:آنالیز تابعی]]
[[رده:جبر خطی]]