نمایش مبدأ برای نماد لوی-چیویتا

'''نماد لوی-چیویتا''' {{انگلیسی|Levi-Civita symbol}} یا نماد جایگشت یک شبه [[تانسور]] [[همسان‌گردی|همسانگرد]] است که برای ساده‌سازی در [[حساب تانسوری|محاسبات تانسوری]] بسیار مفید است. این نماد به افتخار ریاضیدان ایتالیایی [[تولیو لوی-چیویتا]] {{ایتالیایی|Tullio Levi-Civita}} نامگذاری شده‌است.

[[پرونده:Epsilontensor.svg|بندانگشتی|220px|نمایش نماد لوی-چیویتا در سه بعد]]

== تعریف ==
نماد لوی-چیویتا در سه بعد به صورت زیر تعریف می‌شود:

<center>
:<math> \varepsilon_{ijk} =
\begin{cases}
+1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (1,2,3), (3,1,2) \mbox{ or } (2,3,1), \\
-1 & \mbox{if } (i,j,k) \mbox{ is } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ or } (2,1,3), \\
0 & \mbox{otherwise: }i=j \mbox{ or } j=k \mbox{ or } k=i,
\end{cases} </math>
</center>

همچنین این نماد را می‌توان از رابطه زیر بدست آورد:
<center>
:<math>
  \varepsilon_{ijk} = -[(i-j)^2\%3][(i-k)^2\%3][(j-k)^2\%3][(j-(i\%3)-\frac{1}{2})^2-\frac{5}{4}]
</math>
</center>
که % نماد [[عملگر باقی‌مانده]] است.

== کاربرد ==
از این نماد مفید برای ساده‌سازی عبارات طولانی و پیچیده استفاده می‌شود. به عنوان مثال در [[ضرب خارجی]] a و b داریم:
<center>
:<math>
\mathbf{a \times b} =
 \begin{vmatrix}
 \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\
 a_1 & a_2 & a_3 \\
 b_1 & b_2 & b_3 \\
 \end{vmatrix}
= \sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} \mathbf{e_i} a_j b_k
</math>
</center>

که با استفاده از [[قرارداد جمع‌زنی انیشتین]] به صورت زیر در می‌آید:
<center>
:<math>
\mathbf{a \times b} = \varepsilon_{ijk} \mathbf{e_i} a_j b_k
</math>
</center>

و یا اگر A یک [[ماتریس]] ۳در۳ باشد، [[دترمینان]] آن را به صورت خلاصه زیر می‌توان نمایش داد:
<center>
:<math>
\det A = \sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_{1i} a_{2j} a_{3k} = \varepsilon_{ijk} a_{1i} a_{2j} a_{3k}
</math>
</center>

== تعمیم ==
این نماد را برای ابعاد دیگر هم می‌توان تعریف کرد. به این صورت که برای <math>\varepsilon_{ijkl}</math> اگر <math>ijkl...</math> جایگشت زوجی از <math>(1,2,3,4,...)</math> باشد برابر <math>+1</math> و اگر جایگشت فردی از آن باشد برابر <math>-1</math> است. به عبارت دیگر:

<center>
:<math>\varepsilon_{ijk\ell\dots} =
\left\{
\begin{matrix}
+1 & \mbox{if }(i,j,k,\ell,\dots) \mbox{ is an even permutation of } (1,2,3,4,\dots) \\
-1 & \mbox{if }(i,j,k,\ell,\dots) \mbox{ is an odd permutation of } (1,2,3,4,\dots) \\
0 & \mbox{if any two labels are the same}
\end{matrix}
\right.
</math>
</center>

== جستارهای وابسته ==
* [[تانسور]] 
* [[دلتای کرونکر]]
* [[علایم مورد استفاده در نسبیت عام]]

== منابع ==
{{پانویس}}
* {{یادکرد|فصل= |کتاب=روشهای ریاضی در فیزیک |نویسنده=جورج براون آرفکن |ترجمه=اعظم پورقاضی |ناشر=مرکز نشر دانشگاهی |شهر= |کوشش= |ویرایش= |صفحه= |سال= |شابک={{چر}}۹۶۴-۰۱-۰۹۱۴-۲}}
{{چپ‌چین}}
* Weisstein, Eric W. "Permutation Symbol." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PermutationSymbol.html
{{پایان چپ‌چین}}

{{ریاضی-خرد}}

[[رده:تانسورها]]
[[رده:جایگشت‌ها]]
[[رده:جبر خطی]]
[[رده:تنسورها]]