نمایش مبدأ برای نقطه‌گون

صفت '''نقطه‌گون''' {{به انگلیسی|pointwise}} در [[ریاضیات]] برای نمایش آن است که یک «ویژگی معین» توسط «سنجش هر مقدار <math>f(x)</math> برای تابع <math>f</math>» تعریف می‌شود. کلاس مهمی از مفاهیم نقطه‌گون همان ''عملیات نقطه‌گون'' است، یعنی، عملیاتی که روی توابع با اعمال عمل روی مقادیر تابع، به صورت مجزا، برای هر نقطه در [[دامنه تابع|دامنه]] تعریف می‌گردد. تعریف‌های نقطه‌گون درباره «[[:en:Finitary_relation|روابط]]» هم به کار می‌رود.

== عملیات نقطه‌گون ==
[[File:Pointwise sum and product of sin and ln function.png|thumb|جمع نقطه‌گون (نمودار بالا، بنفش) و ضرب (سبز) برای توابع [[سینوس (ریاضیات)|سینوس]] (نمودار پایین آبی) و [[لگاریتم طبیعی|ln]] (قرمز). باریکه عمودی پررنگ نمایش‌دهنده محاسبات در نقطه ''x''=2π است.]]
=== تعریف صوری ===
می‌توان یک عمل دودویی ''o'': ''Y'' × ''Y'' → ''Y'' روی مجموعه ''Y'' را به صورت نقطه‌گون به یک عمل ''O'': (''X''→''Y'') × (''X''→''Y'') → (''X''→''Y'') روی مجموعه ''X''→''Y'' از همه توابع از ''X'' به ''Y'' به این شیوه ترفیع داد که: اگر دو تابع ''f''<sub>1</sub>: ''X'' → ''Y'' و ''f''<sub>2</sub>: ''X'' → ''Y'' داشته باشیم، تابع ''O''(''f''<sub>1</sub>,''f''<sub>2</sub>): ''X'' → ''Y'' را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
: برای همه <bdi>''x''∈''X''</bdi> داریم <bdi>(''O''(''f''<sub>1</sub>,''f''<sub>2</sub>))(''x'') = ''o''(''f''<sub>1</sub>(''x''),''f''<sub>2</sub>(''x'')) </bdi>.
معمولا ''o'' و ''O'' با نماد مشابهی نمایش داده می‌شوند. تعریف مشابهی برای عمل یکتایی ''o''، و همچنین برای عمل‌هایی با [[آریتی (ریاضی)|آریتی]] دیگر به کار می‌رود.{{cn|date=January 2019}}

===مثال‌ها===

: <math>
\begin{align}
(f+g)(x) & = f(x)+g(x) & \text{(pointwise addition)} \\
(f\cdot g)(x) & = f(x) \cdot g(x) & \text{(pointwise multiplication)} \\
(\lambda \cdot f)(x) & = \lambda \cdot f(x) & \text{(pointwise multiplication by a scalar)}
\end{align}
</math>

که در آن <math>f,g:X\to R</math> است.

[[:en:Pointwise_product|ضرب نقطه‌گون]] و [[اسکالر (ریاضی)|نرده‌ای]] را ببینید.

یک مثال از عمل روی تابع که نقطه‌گون ''نیست''، عمل [[هم‌گشت|هم‌گشت (یا کانولوشن)]] است.

=== ویژگی‌ها ===
عمل‌های نقطه‌گون وبژگی‌هایی مثل خاصیت [[خاصیت شرکت‌پذیری|انجمنی]]، [[خاصیت جابه‌جایی|جابجایی]] و [[خاصیت توزیع‌پذیری|توزیع‌پذیری]] را از عمل متناظر روی [[هم‌دامنه]] به ارث می‌برند. اگر <math>A</math> یک [[ساختار جبری]] باشد، مجموعه همه توابع <math>X</math> به [[ساختار جبری|مجموعه حامل]] <math>A</math> را می‌توان به یک ساختار جبری با نوع مشابه به روش مشابهی تبدیل نمود.

== عمل‌های مولفه‌گون ==
عمل‌های مولفه‌گون {{به انگلیسی|componentwise operations}} معمولا روی بردارها تعریف می‌شود، که در آن بردارها عناصر مجموعه <math>K^n</math> هستند (برای یک [[عدد طبیعی]] <math>n</math> و یک [[میدان (ریاضیات)|میدان]] <math>K</math>). اگر ما مولفه <math>i</math>ام از هر بردار <math>v</math> را به صورت <math>v_i</math> نشان دهیم، آنوقت جمع مولفه‌گون برابر <math>(u+v)_i = u_i+v_i</math> است.

عمل‌های مولفه‌گون را می‌توان روی ماتریس‌ها هم تعریف کرد. جمع ماتریسی، که در آن <math>(A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij}</math> است یک عمل مولفه‌گون است درحالیکه [[ضرب ماتریسی]] اینطور نیست.

یک [[تاپل]] را می‌توان نوعی تابع درنظر گرفت، و یک بردار یک تاپل است. از این‌رو، هر بردار <math>v</math> با تابع <math>f:n\to K</math> متناظر است به این صورت که <math>f(i)=v_i</math> و هر عمل مولفه‌گون روی بردارها برابر عمل نقطه‌گون روی توابع متناظر با آن بردارها هستند.

== روابط نقطه‌گون ==
در [[نظریه ترتیب]] می‌توان [[مجموعه جزئی‌مرتب|ترتیب جزیی]] نقطه‌گون را روی توابع تعریف کرد. اگر ''A'' و ''B'' [[مجموعه جزئی‌مرتب|پوست]] باشند، می‌توان مجموعه توابع ''A'' → ''B'' را توسط ''f'' ≤ ''g'' مرتب نمود، اگر و فقط اگر <bdi>(∀''x'' ∈ A) ''f''(''x'') ≤ ''g''(''x'')</bdi> باشد. ترتیب‌های نقطه‌گون بعضی از ویژگی‌های پوست‌های مبنا را به ارث می‌برند. برای مثال اگر A و B [[مشبکه (ترتیب)|مشبکه پیوسته]] باشند، آنوقت مجموعه توابع ''A'' → ''B'' هم با ترتیب نقطه‌گون، یک مشبکه پیوسته است.<ref>Gierz et al., p. xxxiii</ref> به کمک ترتیب نقطه‌گون روی توابع، می‌توان دیگر مفاهیم مهم دیگر را به دقت تعریف کرد، مثلا:<ref>Gierz, et al., p. 26</ref>

* یک ''[[:en:Closure_operator|عملگر بستاری]]'' ''c'' روی پوست ''P'' یک نگاشت [[تابع یکنوا|یکنوا]] و [[خودتوانی|خودتوان]] روی ''P'' است (یعنی یک [[:en:Glossary_of_order_theory#P|عملگر تصویری]]) است، با این ویژگی اضافی که id<sub>''A''</sub> ≤ ''c'' است، که در آن id [[تابع همانی]] است.
* به صورت مشابه یک عملگر تصویری ''k'' یک ''[[:en:Closure_operator#Closure_operators_on_partially_ordered_sets|عملگر هسته‌ای]]'' نامیده می‌شود اگر و فقط اگر ''k'' ≤ id<sub>''A''</sub> باشد.

یک مثال از یک رابطه نقطه‌گون [[:en:Finitary|بی‌نهایت]] همان [[:en:Pointwise_convergence|همگرایی نقطه‌گون]] برای توابع است&mdash;یک [[دنباله]] از توابع 
:<math>(f_n)_{n=1}^\infty</math>
با
:<math>f_n:X \longrightarrow Y</math> 
:به صورت نقطه‌گون به یک تابع <math>f</math> [[حد دنباله|همگرا]] می‌شود اگر برای هر <math>x</math> در <math>X</math> داشته باشیم
:<math>\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = f(x).</math>

== یادداشت ==
<references />

== پانویس ==
{{پانویس}}

== منابع ==
{{یادکرد-ویکی|پیوند=https://en.wikipedia.org/wiki/Pointwise|عنوان=Pointwise|زبان=انگلیسی|بازیابی=۱۶ ژانویهٔ ۲۰۲۲}}
[[رده:واژگان ریاضیات]]