نمایش مبدأ برای نقاط هم‌دایره

[[پرونده:Concyclic.svg|بندانگشتی|چپ|250px|همرسی عمود منصف وترهای بین نقاط هم‌دایره.]]
[[پرونده:Four concyclic points.png|بندانگشتی|250px|چپ|چهار نقطهٔ هم‌دایره که یک [[چهار ضلعی]] محاطی را تشکیل داده‌اند، دو [[زاویه|زاویهء]] مساوی نمایش داده شده‌اند.]]
در [[هندسه]]، به مجموعه‌ای از نقاط که بر روی یک دایره یاشند، '''هم‌دایره''' (concyclic) گویند.

== عمود منصف ==
عمود منصف [[پاره خط]] بین دو نقطه روی یک دایره از مرکز دایره می‌گذرد.<ref>{{citation
 | last = Libeskind | first = Shlomo
 | isbn = 9780763743666
 | page = 21
 | publisher = Jones & Bartlett Learning
 | title = Euclidean and Transformational Geometry: A Deductive Inquiry
 | url = http://books.google.com/books?id=6YUUeO-RjU0C&pg=PA21
 | year = 2008}}/</ref> برای n نقطه روی یک دایره اگر به صورت متوالی نقاط را به هم وصل کنیم [[عدد مثلثی|''n''(''n''&nbsp;&minus;&nbsp;۱)/۲]] پاره خط و بالتبع همین تعداد [[عمودمنصف|عمود منصف]] گذرنده از مرکز دایره داریم.

== چند ضلعی محاطی ==
همهٔ مثلث‌ها محاطی اند، به همین علت از این لحاظ دسته‌بندی نمی‌شوند.<ref>{{citation
 | last = Elliott | first = John
 | page = 126
 | publisher = Swan Sonnenschein & co.
 | title = Elementary Geometry
 | url = http://books.google.com/books?id=9psBAAAAYAAJ&pg=PA126
 | year = 1902}}.</ref> به دایره‌ای که رئوس مثلث بر آن واقع اس، محیطی گویند و رابطهٔ شعاع آن با اضلاع مثلث به صورت زیر است:

<math>R = \sqrt{\frac{a^2b^2c^2}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}.</math>

وقتی رئوس چهار ضلعی'ABCD' هم‌دایره باشند، به این [[چهارضلعی محاطی]] گویند. این شرایط زمانی وقتی رخ می‌دهد که <math>\angle CAD = \angle CBD</math> ([[زاویه محاطی|قضیه زاویه محاطی]]) و زاویه‌های متقابل مکمل باشند.<ref>{{citation
 | last = Pedoe | first = Dan
 | edition = 2nd
 | isbn = 9780883855188
 | page = xxii
 | publisher = Cambridge University Press
 | series = MAA Spectrum
 | title = Circles: A Mathematical View
 | url = http://books.google.com/books?id=rlbQTxbutA4C&pg=PR22
 | year = 1997}}.</ref> همچنین اگر ''s''= (''a''+''b''+''c''+''d'')/2 نمایندهٔ نصف محیط چهار ضلعی باشد خواهیم داشت:<ref name=Alsina2>{{citation
|last1=Alsina
|first1=Claudi
|last2=Nelsen
|first2=Roger B.
|journal=Forum Geometricorum
|pages=147–9
|title=On the diagonals of a cyclic quadrilateral
|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200720.pdf
|format=PDF
|volume=7
|year=2007
|accessdate=۱ اوت ۲۰۱۴
|archive-date=۱۱ ژوئیه ۲۰۲۱
|archive-url=https://web.archive.org/web/20210711183805/https://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200720.pdf
|url-status=dead
}}</ref><ref>{{citation |last=Hoehn |first=Larry |title=Circumradius of a cyclic quadrilateral |journal=Mathematical Gazette |volume=84 |issue=499 |date=March 2000 |pages=69–70  |jstor=3621477}}</ref>

<math>R=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}},</math>

که پارامشوارا ریاضی‌دان هندی در قرن ۱۵ آن را بدست آورد.

همچنین بر اساس قضیه بطلمیدوس اگر قطرهای چهارضلعی را داشته باشیم، چهارضلعی محاطی است، [[اگر و تنها اگر]]:

<math>AC \cdot BD = AB \cdot  CD + BC \cdot AD.</math>

همچنین اگر قطرها یکدیگر را در نقطهٔ X قطع کنند. چهارضلعی محیطی است، اگر و تنها اگر<ref>{{citation |last=Bradley |first=Christopher J. |title=The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates |publisher=Highperception |year=2007 |isbn=1906338000 |page=179 |oclc=213434422}}</ref>
:<math>\displaystyle AX\cdot XC = BX\cdot XD.</math>

همچنین یک چهارضلعی محاطی است، اگر و تنها اگر عمود منصف اضلاع همرس باشند.<ref>{{citation
 | last1 = Byer | first1 = Owen
 | last2 = Lazebnik | first2 = Felix
 | last3 = Smeltzer | first3 = Deirdre L.
 | isbn = 9780883857632
 | page = 77
 | publisher = Mathematical Association of America
 | title = Methods for Euclidean Geometry
 | url = http://books.google.com/books?id=W4acIu4qZvoC&pg=PA77
 | year = 2010}}.</ref>

== وردش ==
برخی بر این باورند که نقاط هم راستا هم هم‌دایره اند بر روی دایره‌ای با شعاع بی‌نهایت.

== دیگر خصوصیات ==
یک چند ضلعی محاطی است، اگر و تنها اگر هر ۴ راس آن یک چهارضلعی محاطی باشد.<ref>{{citation
 | last = Pedoe | first = Dan
 | isbn = 9780486658124
 | page = 431
 | publisher = Courier Dover Publications
 | title = Geometry: A Comprehensive Course
 | url = http://books.google.com/books?id=s7DDxuoNr_0C&pg=PA431
 | year = 1988}}.</ref>

== منابع ==
{{پانویس|۲}}

[[رده:ریاضیات]]
[[رده:هندسه مقدماتی]]
[[رده:ویکی‌سازی رباتیک]]
[[رده:هندسه وقوع]]