نمایش مبدأ برای نظریه نمایش

[[پرونده:Hexagon Reflections.png|جایگزین=تقارن‌های شش ضلعی|بندانگشتی|نظریه نمایش به مطالعه چگونگی «کنش» ساختارهای جبری بر روی اشیاء می‌پردازد. یکی از ساده‌ترین مثال‌های آن را در تصویر فوق می‌بینید، در این تصویر مشاهده می‌کنید که چگونه تقارن‌های یک چند ضلعی منظم، شامل انعکاس‌ها و دوران‌ها، بر روی این چند ضلعی عمل تبدیل را انجام می‌دهند.]]
'''نظریه نمایش''' شاخه ای از [[ریاضیات]] است که به مطالعه [[ساختار جبری|ساختارهای جبری]] از طریق ''نمایش'' عناصر آن‌ها به صورت تبدیل‌های خطی [[فضای برداری|فضاهای برداری]] پرداخته و به مطالعه مدول‌ها روی این ساختارهای جبری می‌پردازد.<ref>متون کلاسیک در مورد نظریه نمایش شامل {{Harvtxt|Curtis|Reiner|1962}} و {{Harvtxt|Serre|1977}} می‌شود. دیگر منابع شامل {{Harvtxt|Fulton|Harris|1991}} و {{Harvtxt|Goodman|Wallach|1998}}.</ref> اساساً، این گونه نمایش‌ها، اشیاء ساختارهای جبری را با توصیف عناصرشان به کمک ماتریس‌ها و عملگرهای جبری چون جمع و ضرب ماتریسی، ملموس تر می‌کنند. اشیاء جبری که رام چنین توصیفاتی می‌شوند شامل [[گروه (ریاضیات)|گروه]]‌ها، جبرهای شرکت پذیر و جبرهای لی می‌شوند. برجسته ترینشان (و از نظر تاریخی اولینشان) نظریه [[نمایش گروه]] هاست که در آن عناصر گروه توسط ماتریس‌های معکوس پذیر چنان نمایش داده می‌شوند که عمل گروهی حکم همان [[عمل دوتایی]] گروه را دارد.<ref>برای مشاهده تاریخچه نظریه نمایش گروه‌های متناهی {{Harvtxt|Lam|1998}} را ببینید. برای گروه‌های جبری و لی {{Harvtxt|Borel|2001}} را ببینید.</ref>

نظریه نمایش روش مفیدیست، چرا که مسائل [[جبر مجرد]] را به مسائل [[جبر خطی]] که به خوبی شناخته شده‌اند تقلیل می‌دهد.<ref name="linalg">کتاب‌های زیادی برای فضاهای برداری و جبر خطی وجود دارند، برای بحث پیشرفته ای ازین مباحث {{Harvtxt|Kostrikin|Manin|1997}} را ببینید.</ref> به علاوه، [[فضای برداری]] که یک گروه (به عنوان مثال) را روی آن نمایش می‌دهیم می‌تواند بی‌نهایت [[بعد|بعدی]] باشد، و حتی مثلاً می‌تواند یک [[فضای هیلبرت]] باشد که در این صورت می‌توان روش‌های آنالیزی را بر روی [[نظریه گروه‌ها]] اعمال کرد.<ref>{{Harvnb|Sally|Vogan|1989}}.</ref> نظریه نمایش در [[فیزیک]] هم اهمیت دارد، چرا که به عنوان مثال، به توصیف چگونگی تأثیرگذاری تقارن گروهی یک سیستم فیزیکی بر روی مجموعه جواب معادلات توصیف کننده آن سیستم می‌پردازد.<ref name="Sternberg">{{Harvnb|Sternberg|1994}}.</ref>

نظریه نمایش بین شاخه‌های مختلف ریاضیات نفوذ بالایی دارد، به دو علت: یکی این که کاربردهای نظریه نمایش وسیعند،<ref>{{Harvnb|Lam|1998|p=372}}.</ref> به علاوه اثرات آن بر روی [[جبر]]، نظریه نمایش بر روی موارد زیر هم اثرگذار است:
* بر روی [[آنالیز فوریه]] پرتو افکنده و آن را از طریق [[آنالیز هارمونیک]] تعمیم می‌دهد.<ref name="Folland">{{Harvnb|Folland|1995}}.</ref>
* از طریق نظریه پایا و برنامه ارلانگن به [[هندسه]] ارتباط پیدا می‌کند.<ref>{{Harvnb|Goodman|Wallach|1998}}, {{Harvnb|Olver|1999}}, {{Harvnb|Sharpe|1997}}.</ref>
* از طریق فرم‌های اتومورف و برنامه لانگلند بر روی [[نظریه اعداد]] اثرگذار است.<ref>{{Harvnb|Borel|Casselman|1979}}, {{Harvnb|Gelbart|1984}}.</ref>

ثانیاً، رهیافت‌های گسترده‌ای به نظریه نمایش وجود دارد. همان اشیاء را می‌توان با استفاده از روش‌های [[هندسه جبری]]، [[مدول (ریاضیات)|نظریه مدول]]، [[نظریه تحلیلی اعداد]]، [[هندسه دیفرانسیل]]، [[نظریه عمل‌گرها|نظریه عملگرها]]، [[ترکیبیات]] جبری و [[توپولوژی]] نیز مطالعه کرد.<ref>پانویس‌های قبلی و همچنین {{Harvtxt|Borel|2001}} را ببینید.</ref>

موفقیت نظریه نمایش منجر به چندین تعمیم شده است. یکی از عام ترین‌های آن [[نظریه رسته‌ها]]<nowiki/>ست.<ref name="SSA">{{Harvnb|Simson|Skowronski|Assem|2007}}.</ref> اشیاء جبری که نظریه نمایش را می‌توان از دیدگاه آن (از دیدگاه نظریه رسته‌ها) به صورت رسته‌های خاصی دید، و نمایش‌ها را به صورت [[فانکتور (نظریه رسته‌ها)|فانکتور]]‌هایی از اشیاء رسته به رسته فضاهای برداری دید. این توصیف به دو تعمیم آشکار اشاره می‌کند: اولین آن این که اشیاء جبری را می‌توان با رسته‌های عام تری جایگزین کرد؛ دومین آن این که رسته هدف را می‌توان به جای رسته فضاهای برداری با رسته‌های شناخته شدهٔ دیگری جایگزین نمود.

== تعاریف و مفاهیم ==
فرض کنید <math>V</math> یک فضای برداری روی میدانی چون <math>\mathbf{F}</math>.<ref name=linalg/> به عنوان مثال، فرض کنید <math>V</math> یکی از <math>\mathbf{R}^{n}</math> یا <math>\mathbf{C}^{n}</math> باشد، یعنی به ترتیب یک فضای برداری معمولی <math>n</math>-بعدی روی <math>\mathbf{R}^{n}</math> یا <math>\mathbf{C}^{n}</math> باشد. در این صورت ایده نظریه نمایش این است که جبر مجرد را با استفاده از ماتریس‌های <math>n \times n</math> از [[عدد حقیقی|اعداد حقیقی]] یا مختلط ملموس کنند.

سه نوع مختلف از اشیاء جبری وجود دارد که برای آن‌ها این کار (ملموس سازی با استفاده از ماتریس‌ها) را می‌توان انجام داد: گروه‌ها، جبرهای شرکت‌پذیر و جبرهای لی.<ref>{{Harvnb|Fulton|Harris|1991}}, {{Harvnb|Simson|Skowronski|Assem|2007}}, {{Harvnb|Humphreys|1972}}.</ref>
* مجموعه تمام ماتریس‌های معکوس‌پذیر <math>n \times n</math> تحت ضرب ماتریسی تشکیل گروه می‌دهند و نظریه نمایش گروه‌ها به تحلیل یک گروه با توصیف ("نمایش") عناصرش بر اساس ماتریس‌های معکوس پذیر می‌پردازد.
* جمع و ضرب ماتریسی مجموعه تمام ماتریس‌های <math>n \times n</math> را تبدیل به [[جبر شرکت‌پذیر]] کرده و لذا متناظر با نظریه نمایش جبرهای شرکت‌پذیر خواهد بود.
* اگر ضرب ماتریسی ''MN'' را با جابجاگر ماتریسی '' <math>MN-NM</math> '' جایگزین کنیم، آنگاه ماتریس‌های <math>n \times n</math> تبدیل به [[جبر لی]] می‌شوند، که منجر به نظریه نمایش جبرهای لی خواهد شد.

این کار را می‌توان به هر میدان <math>\mathbb{F}</math> و هر فضای برداری <math>V</math> روی <math>\mathbb{F}</math> تعمیم داد، که در آن نگاشت‌های خطی جایگزین ماتریس‌ها و ترکیب جایگزین ضرب ماتریسی می‌شود. اشیائی که با این تعمیم شکل می‌گیرند بدین قرارند: گروهی به نام <math>GL(V, \mathbb{F} )</math> از خودریختی (اتومورفیسم)های <math>V</math>، جبر شرکت‌پذیر <math>n \times n</math> از تمام درون‌ریختی (اندومورفیسم)های <math>n \times n</math> و جبر لی متناظر آن یعنی <math>\mathfrak{gl}(V, \mathbb{F})</math>.

== یادداشت‌ها ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
* {{Citation|title=Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups|first=J. L.|last=Alperin|author-link=J. L. Alperin|publisher=Cambridge University Press|year=1986|isbn=978-0-521-44926-7}}.
* {{Citation|first=V.|last=Bargmann|title=Irreducible unitary representations of the Lorenz group|journal=[[Annals of Mathematics]]|volume=48|year=1947|pages=568–640|doi=10.2307/1969129|issue=3|jstor=1969129}}.
* {{Citation|title=Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups|first=Armand|last=Borel|authorlink=Armand Borel|publisher=American Mathematical Society|year=2001|isbn=978-0-8218-0288-5}}.
* {{Citation|title=Automorphic Forms, Representations, and L-functions|first=Armand|last=Borel|first2=W.|last2=Casselman|publisher=American Mathematical Society|year=1979|isbn=978-0-8218-1435-2}}.
* {{Citation|title=Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras|first1=Charles W.|last1=Curtis|author1-link=Charles W. Curtis|first2=Irving|last2=Reiner|author2-link=Irving Reiner|publisher=John Wiley & Sons (Reedition 2006 by AMS Bookstore)|year=1962|isbn=978-0-470-18975-7|url-access=registration|url=https://archive.org/details/representationth11curt}}.<!---citation template accepts only one ISBN -(ISBN 978-0-8218-4066-5)--->
* {{Citation|first=Stephen|last=Gelbart|authorlink=Stephen Gelbart|title=An Elementary Introduction to the Langlands Program|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|volume=10|issue=2|year=1984|pages=177–219|doi=10.1090/S0273-0979-1984-15237-6}}.
* {{Citation|title=A Course in Abstract Harmonic Analysis|first=Gerald B.|last=Folland|publisher=CRC Press|year=1995|isbn=978-0-8493-8490-5}}.
* {{Fulton-Harris}}.
* {{Citation|last2=Wallach|first2=Nolan R.|last1=Goodman|first1=Roe|year=1998|title=Representations and Invariants of the Classical Groups|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-66348-9}}.
* {{citation|first1=James|last1=Gordon|last2=Liebeck|first2=Martin|title=Representations and Characters of Finite Groups|location=Cambridge|publisher=Cambridge University Press|year=1993|isbn=978-0-521-44590-0}}.
* {{Citation|last=Hall|first=Brian C.|title=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=222|publisher=Springer|year=2015|isbn=978-3-319-13466-6}}
* {{Citation|first=Sigurdur|last=Helgason|title=Differential Geometry, Lie groups and Symmetric Spaces|publisher=Academic Press|year=1978|isbn=978-0-12-338460-7}}
* {{citation|title=Introduction to Lie Algebras and Representation Theory|first=James E.|last=Humphreys|publisher=Birkhäuser|year=1972a|isbn=978-0-387-90053-7|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontoli00jame}}.
* {{citation|last1=Humphreys|first1=James E.|title=Linear Algebraic Groups|publisher= Springer-Verlag |location=Berlin, New York|series=Graduate Texts in Mathematics|isbn=978-0-387-90108-4|mr=0396773|year=1972b|volume=21}}
* {{Citation|title=Representations of Algebraic Groups|first=Jens Carsten|last=Jantzen|publisher=American Mathematical Society|year=2003|isbn=978-0-8218-3527-2}}.
* {{Citation|last=Kac|first=Victor G.|authorlink=Victor Kac|title=Lie superalgebras|journal=Advances in Mathematics|volume=26|year=1977|issue=1|pages=8&ndash;96|doi=10.1016/0001-8708(77)90017-2}}.
* {{Citation|last=Kac|first=Victor G.|title=Infinite Dimensional Lie Algebras|edition=3rd|publisher=Cambridge University Press|year=1990|isbn=978-0-521-46693-6}}.
* {{Citation|title=Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples|first=Anthony W.|last=Knapp|authorlink=Anthony Knapp|publisher=Princeton University Press|year=2001|isbn=978-0-691-09089-4}}.
* {{Citation|title=Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals: And Applications to Molecules and Crystals|first=Shoon Kyung|last=Kim|publisher=Cambridge University Press|year=1999|isbn=978-0-521-64062-6}}.
* {{Citation|title=Linear Algebra and Geometry|first1=A. I.|last1=Kostrikin|authorlink=Alexei Kostrikin|first2=Yuri I.|last2=Manin|author2-link=Yuri Manin|publisher=Taylor & Francis|year=1997|isbn=978-90-5699-049-7}}.
* {{Citation|title=Representations of finite groups: a hundred years|first=T. Y.|last=Lam|journal=Notices of the AMS|volume=45|issue=3,4|year=1998|pages=[http://www.ams.org/notices/199803/lam.pdf 361&ndash;372 (Part I)], [http://www.ams.org/notices/199804/lam2.pdf 465&ndash;474 (Part II)]}}.
* Yurii I. Lyubich. ''Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups''. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
* {{citation|last1=Mumford|first1=David|author1-link=David Mumford|last2=Fogarty|first2=J.|last3=Kirwan|first3=F.|title=Geometric invariant theory|publisher= Springer-Verlag |location=Berlin, New York|edition=3rd|series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Results in Mathematics and Related Areas (2)]|isbn=978-3-540-56963-3|mr=0214602<!--(1st ed. 1965)-->|year=1994|volume=34}}; {{MathSciNet|id=0719371}} (2nd ed.); {{MathSciNet|id=1304906}}(3rd ed.)
* {{citation|last=Olver|first=Peter J.|author-link=Peter J. Olver|title=Classical invariant theory|location=Cambridge|publisher=Cambridge University Press|year=1999|isbn=978-0-521-55821-1}}.
* {{Citation|first1=F.|last1=Peter|first2=Hermann|last2=Weyl|title=Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe|journal=Mathematische Annalen|volume=97|year=1927|issue=1|pages=737–755|doi=10.1007/BF01447892|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0097&DMDID=DMDLOG_0039&L=1|deadurl=yes|archiveurl=https://web.archive.org/web/20140819143253/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0097&DMDID=DMDLOG_0039&L=1|archivedate=2014-08-19|df=}}.
* {{Citation|first=Lev S.|last=Pontrjagin|authorlink=Lev Pontryagin|title=The theory of topological commutative groups|journal=[[Annals of Mathematics]]|volume=35|year=1934|pages=361–388|doi=10.2307/1968438|issue=2|jstor=1968438}}.
* {{Citation|title=Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups|first1=Paul|last1=Sally|first2=David A.|last2=Vogan|author2-link=David Vogan|publisher=American Mathematical Society|year=1989|isbn=978-0-8218-1526-7}}.
* {{citation|authorlink=Jean-Pierre Serre|first=Jean-Pierre|last=Serre|title=Linear Representations of Finite Groups|publisher=Springer-Verlag|year=1977|isbn=978-0-387-90190-9}}.
* {{Citation|title=Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program|first=Richard W.|last=Sharpe|publisher=Springer|year=1997|isbn=978-0-387-94732-7}}.
* {{citation|title=Elements of the Representation Theory of Associative Algebras|first1=Daniel|last1=Simson|first2=Andrzej|last2=Skowronski|first3=Ibrahim|last3=Assem|publisher=Cambridge University Press|year=2007|isbn=978-0-521-88218-7}}.
* {{citation|title=Group Theory and Physics|first=Shlomo|last=Sternberg|authorlink=Shlomo Sternberg|publisher=Cambridge University Press|year=1994|isbn=978-0-521-55885-3}}.
* {{cite book|ref=harv|title=Group Theory in Physics|url=https://archive.org/details/grouptheoryinphy0000tung|edition=1st|location=New Jersey·London·Singapore·Hong Kong|year=1985|isbn=978-9971966577|publisher=[[World Scientific Publishing|World Scientific]]|last=Tung|first=Wu-Ki}}
* {{citation|title=Gruppentheorie und Quantenmechanik|first=Hermann|last=Weyl|authorlink=Hermann Weyl|edition=The Theory of Groups and Quantum Mechanics, translated H.P. Robertson, 1931|publisher=S. Hirzel, Leipzig (reprinted 1950, Dover)|year=1928|isbn=978-0-486-60269-1}}.
* {{Citation|title=The Classical Groups: Their Invariants and Representations|first=Hermann|last=Weyl|year=1946|edition=2nd|publisher=Princeton University Press (reprinted 1997)|isbn=978-0-691-05756-9}}.
* {{Citation|first=Eugene P.|last=Wigner|authorlink=Eugene Wigner|title=On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group|journal=[[Annals of Mathematics]]|volume=40|pages=149–204|year=1939|doi=10.2307/1968551|issue=1|jstor=1968551}}.
{{پایان چپ‌چین}}

== پیوند به بیرون ==
{{چپ‌چین}}
{{Sister project links|wikt=no|commons=no|b=no|n=no|q=Representation theory|s=no|v=no|voy=no|species=no|d=no}}
* {{springer|title=Representation theory|id=p/r081480}}
* [[Alexander Kirillov Jr.]], [http://www.math.sunysb.edu/~kirillov/liegroups/ An introduction to Lie groups and Lie algebras] (2008). Textbook, preliminary version pdf downloadable from author's home page.
{{پایان چپ‌چین}}
{{آنالیز-پاورقی}}
[[رده:نظریه نمایش| ]]