نمایش مبدأ برای نظریه موج ایری

'''نظریه موج ایری''' (که '''نظریه موج خطی''' نیز گفته می‌شود) توصیفی خطی‌شده از [[انتشار موج|انتشار]] امواج گرانشی روی سطح لایهٔ [[شاره|سیال]] همگن ارائه می‌کند. در این نظریه، لایهٔ سیال دارای عمق متوسط یکنواخت پنداشته می‌شود. هم‌چنین فرض می‌شود که سیال تراکم‌ناپذیر، [[گرانروی|غیر لزج]] و [[میدان برداری پایستار|غیر چرخشی]] است. این نظریه، نخستین بار در سده نوزدهم میلادی توسط [[جورج بیدل ایری|جرج ایری]] به صورت کنونی منتشر شد.<ref name="Craik2004">Craik (2004).</ref>

نظریه موج ایری اغلب در مهندسی اقیانوس و مهندسی سواحل برای مدل‌سازی وضعیت‌های دریایی [[اعداد تصادفی|تصادفی]] به کار می‌رود. توصیف ارائه شده از [[سینماتیک (مکانیک)|سینماتیک]] و [[دینامیک]] موج، برای بسیاری از خواسته‌ها از دقت بالایی برخوردار است. هم‌چنین می‌توان برخی از ویژگی‌های [[سامانه غیرخطی|غیر خطی]] [[نظریه اختلال|مرتبهٔ دوم]] امواج سطحی را با نتایج این نظریه تخمین زد. افزون بر این، نظریه موج ایری تقریب مناسبی برای موج‌های [[سونامی]] در اقیانوس و پیش از رسیدن به ساحل است.

معمولاً این نظریه برای به دست آوردن یک تخمین سریع و تقریبی از ویژگی‌های امواج و اثر آن‌ها به کار می‌رود. این تقریب برای نسبت‌های کوچک ارتفاع موج به عمق آب (برای موج‌های آب کم‌عمق) و نسبت‌های کوچک ارتفاع به طول موج (برای موج‌های آب عمیق) دقیق است.

== توصیف ==
[[پرونده:Sine wave amplitude.svg|چپ|بندانگشتی|ویژگی‌های موج]]
[[پرونده:Dispersion gravity 1.svg|چپ|بندانگشتی|انتشار امواج گرانشی روی سطح سیال. نسبت سرعت فاز و گروهی به ''(gh)''√ به عنوان تابعی از ''h/λ''. منحنی '''A''' و '''B''' به ترتیب سرعت فاز و گروهی را نشان می‌دهند. ''خط‌های ممتد'' بر پایهٔ رابطهٔ انتشار در هر عمقی معتبر هستند. ''خط‌نقطه‌ها'' بر پایهٔ رابطهٔ انتشار در آب عمیق معتبر هستند.]]
نظریه موج ایری از رویکرد جریان پتانسیل (یا سرعت پتانسیل) برای توصیف حرکت امواج گرانشی روی سطح سیال بهره می‌برد. به کار بردن جریان پتانسیل در امواج آبی برخلاف سیالات دیگر که باید اثر [[گرانروی|لزجت]]، چرخش، آشفتگی و جدایش جریان در نظر گرفته شود، موفقیت‌آمیز است. دلیل آن، محدود بودن چرخش ناشی از موج به لایه‌های مرزی نوسانی استوکس در مرز محدودهٔ سیال است.<ref>{{Cite journal|title=Fundamentals concerning wave loading on offshore structures|url=https://archive.org/details/sim_journal-of-fluid-mechanics_1986-12_173/page/667|last=Lighthill|first=M. J.|authorlink=M. J. Lighthill|journal=J. Fluid Mech.|doi=10.1017/S0022112086001313|year=1986|volume=173|pages=667–681|bibcode=1986JFM...173..667L}}</ref>

نظریه موج ایری معمولاً در مهندسی اقیانوس و مهندسی سواحل به کار می‌رود. به‌ویژه در امواج [[اعداد تصادفی|تصادفی]]، که آشفتگی موج نیز خوانده می‌شوند، تغییرات آماری موج از جمله [[طیف]] موج، در مسافت‌های نه‌چندان بلند و آب‌های نه‌چندان کم‌عمق، به خوبی تخمین زده می‌شود. [[پراش|انتشار]] یکی از اثرات موج است که می‌توان آن را توسط نظریه موج ایری توصیف کرد. هم‌چنین می‌توان [[کم‌ژرفایی]] و [[شکست نور|انکسار]] را با [[تقریب دبلیو کی بی]] پیش‌بینی کرد.

تلاش‌های اولیه برای توصیف امواج گرانشی سطحی با استفاده از جریان پتانسیل توسط افرادی مانند [[پی‌یر سیمون لاپلاس|لاپلاس]]، [[سیمون دنی پواسون|پواسون]]، [[آگوستین لویی کوشی|کوشی]] و کلاند انجام شد؛ ولی [[جورج بیدل ایری|ایری]] نخستین کسی بود که محاسبات و روابط درست را در سال ۱۸۴۱ منتشر کرد. چند سال بعد، در ۱۸۴۷، [[سر جرج گابریل استوکس، بارونت اول|استوکس]] نظریه خطی ایری را برای حرکت [[سامانه غیرخطی|غیرخطی]] موج توسعه داد که برای تیزی موج تا [[نظریه اختلال|مرتبهٔ سوم]] درست بود.<ref name="Stokes1847">Stokes (1847).</ref>

نظریه موج ایری، یک نظریه خطی برای [[انتشار موج]] روی سطح جریان پتانسیل و بر بستری افقی است. تراز سطح آزاد ''(η(x,t'' یک مؤلفهٔ موج، سینوسی و تابعی از مکان افقی ''x'' و زمان ''t'' است:
: <math>\eta(x,t)\, =\, a\, \cos\, \left(kx\, -\, \omega t\right)</math>
که در آن، ''a'' [[دامنه (فیزیک)|دامنه موج]] و ''k'' [[عدد موج|عدد موج زاویه‌ای]] است که با [[طول موج]] به صورت زیر رابطه دارد:
: <math>k\,=\,\frac{2\pi}{\lambda}\,</math>
هم‌چنین ''ω'' [[بسامد زاویه‌ای]] است که به صورت زیر با [[دورهٔ تناوب]] ''T'' و [[بسامد]] ''f'' رابطه دارد:
: <math>\omega\,=\,\frac{2\pi}{T}\,=\,2\pi\,f \,</math>
امواج با سرعت فاز ''c<sub>p</sub>'' روی سطح آب منتشر می‌شوند:
: <math>c_p\, =\, \frac{\omega}{k}\, =\, \frac{\lambda}{T}</math>

== رابطهٔ ریاضی حرکت موج ==
=== رابطهٔ مسئلهٔ جریان ===
امواج در جهت افقی با [[دستگاه مختصات دکارتی|مختصات]] ''x'' منتشر می‌شوند و دامنهٔ سیال روی [[سطح آزاد]] در ''(z = η(x,t'' محدود می‌شود که ''z'' مختصات قائم (مثبت رو به بالا) و ''t'' زمان است. تراز ''z=۰'' متناظر با تراز متوسط سطح آب است. هم‌چنین تراز بستر نفوذناپذیر زیر لایهٔ سیال ''z=-h'' می‌باشد. فرض می‌شود که سیال تراکم‌ناپذیر و غیر چرخشی است و نظریهٔ پتانسیل برای توصیف جریان، قابل استفاده است. پتانسیل سرعت ''(Φ(x,z,t'' به صورت زیر به مؤلفه‌های سرعت جریان در راستای افقی (''u<sub>x</sub>'') و قائم (''u<sub>z</sub>'') وابسته است:
: <math>
  u_x\, =\, \frac{\partial\Phi}{\partial x}
  \quad \text{and} \quad
  u_z\, =\, \frac{\partial\Phi}{\partial z}
</math>
بر اساس [[معادله پیوستگی|معادلهٔ پیوستگی]] سیال تراکم‌ناپذیر، پتانسیل ''Φ'' [[معادله لاپلاس|معادلهٔ لاپلاس]] را ارضا می‌کند:
: <math>
  (1) \qquad
  \frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2}\, +\,
  \frac{\partial^2\Phi}{\partial z^2}\, =\, 0
</math>
[[مسئله مقدارمرزی|شرایط مرزی]] در بستر و سطح آزاد برای حل بستهٔ دستگاه معادلات مورد نیاز هستند. در چارچوب نظریهٔ خطی، باید حالت پایهٔ جریان مشخص باشد. اکنون فرض می‌کنیم که حالت پایه، وضعیت سکون باشد که در آن، سرعت‌های جریان برابر صفر هستند.

در بستر نفوذناپذیر، شرط مرزی [[سینماتیک (مکانیک)|سینماتیک]] به صورت زیر است:
: <math>(2) \qquad \frac{\partial\Phi}{\partial z}\, =\, 0 \quad \text{ at } z\, =\, -h</math>
در وضعیت آب عمیق (با عمق بی‌نهایت از نظر ریاضی) هنگامی که تراز بستر به بی‌نهایت میل می‌کند (''∞- → z'')، سرعت جریان باید به سوی صفر میل کند.

در سطح آزاد، برای امواج بی‌نهایت کوچک، حرکت قائم جریان باید معادل با سرعت قائم سطح آزاد باشد. به این ترتیب، شرط مرزی [[سینماتیک]] سطح آزاد به صورت زیر در می‌آید:
: <math>(3) \qquad \frac{\partial\eta}{\partial t}\, =\, \frac{\partial\Phi}{\partial z} \quad \text{ at } z\, =\, \eta(x,t)</math>
اگر تراز سطح آزاد تابع معلومی بود، این شرایط برای [[حل مسئله]] کافی بود. با توجه به این که تراز سطح آزاد یک مجهول اضافی است، یک شرط مرزی اضافی مورد نیاز است. این شرط با استفاده از [[معادله برنولی|معادلهٔ برنولی]] برای جریان پتانسیل غیر دائمی فراهم می‌شود. فشار بر سطح آزاد، ثابت و برابر صفر در نظر گرفته می‌شود. پس از خطی‌سازی، شرط [[دینامیک]] سطح آزاد به شکل زیر به دست می‌آید:
: <math>(4) \qquad \frac{\partial\Phi}{\partial t}\, +\, g\, \eta\, =\, 0 \quad \text{ at } z\, =\, \eta(x,t)</math>
با توجه به خطی بودن نظریه، مقدار ''Φ'' و ''Φ/∂z∂'' در دو شرط مرزی سطح آزاد در تراز متوسط ثابت ''z=۰'' به کار برده می‌شود.

=== حل معادله برای موج پیش‌روندهٔ تک‌رنگ ===
تراز سطح آزاد برای یک موج پیش‌رونده تک‌بسامد (موج تک‌رنگ) به شکل زیر است:
: <math>\eta\, =\, a\, \cos\, (k x\, -\, \omega t)</math>
پتانسیل سرعت متناظر که معادلهٔ لاپلاس (۱) را در محدودهٔ سیال و شرایط مرزی را در سطح آزاد (۲) و بستر (۳) ارضا کند، به صورت زیر است:
: <math>\Phi\, =\, \frac{\omega}{k}\, a\, \frac{\cosh\, \bigl(k\, (z+h) \bigr)}{\sinh\, (k\, h)}\, \sin\, (k x\, -\, \omega t)</math>
هم‌چنین ''η'' و ''Φ'' باید شرط مرزی دینامیک را ارضا کنند که اگر معادلهٔ پراکنش زیر حل شود، مقدار غیر بدیهی برای دامنهٔ موج به دست می‌دهد:
: <math>\omega^2\, =\, g\, k\, \tanh\, (k h)</math>

== اثر تنش سطحی ==
بر اثر تنش سطحی، معادلهٔ پراکنش به شکل زیر تغییر می‌کند:<ref name="Phillips_37">Phillips (1977), p. 37.</ref>
: <math> \Omega^2(k)\, =\, \left(g\, +\, \frac{\gamma}{\rho}\, k^2 \right)\, k\; \tanh\, (k\, h)</math>
که ''γ'' تنش سطحی است. اگر شتاب گرانش به صورت زیر جایگزین شود، همهٔ معادلات بالا ثابت می‌مانند:<ref>Lighthill (1978), p. 223.</ref>
: <math>\tilde{g}\, =\, g\, +\, \frac{\gamma}{\rho}\, k^2</math>
تنش سطحی باعث انتشار سریعتر موج می‌شود. تنش سطحی تنها بر امواج کوتاه تأثیر دارد که طول موج کمتر از چند دسی‌متر در سطح تماس آب و هوا داشته باشند. در طول‌موج‌های بسیار کوتاه (دو میلی‌متر و کمتر) اثر گرانش قابل چشم‌پوشی است.
* [[امواج سطح اقیانوس]]
* [[انرژی موج]]

== پانویس ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
* {{Cite book|title=[[Encyclopædia Metropolitana]]|last=Airy|first=G. B.|year=1841|series=Mixed Sciences|volume=3|publication-date=1817–1845|author-link=George Biddell Airy|contribution=Tides and waves|editors=[[Hugh James Rose]], et al.}}<cite class="citation book" >Mixed Sciences '''3''' (published 1817–1845).</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3AAiry+wave+theory&rft.atitle=Tides+and+waves&rft.aufirst=G. +B. &rft.aulast=Airy&rft.btitle=Encyclop%C3%A6dia+Metropolitana&rft.date=1841&rft.genre=bookitem&rft.series=Mixed+Sciences&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" >&nbsp;</span> Also: "Trigonometry, On the Figure of the Earth, Tides and Waves", 396&nbsp;pp.
* {{Cite journal|title=On the theory of oscillatory waves|last=Stokes|first=G. G.|authorlink=George Gabriel Stokes|journal=Transactions of the Cambridge Philosophical Society|year=1847|volume=8|pages=441–455}}<cite class="citation journal" >''Transactions of the Cambridge Philosophical Society'' '''8''': 441–455.</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3AAiry+wave+theory&rft.atitle=On+the+theory+of+oscillatory+waves&rft.aufirst=G. +G. &rft.aulast=Stokes&rft.date=1847&rft.genre=article&rft.jtitle=Transactions+of+the+Cambridge+Philosophical+Society&rft.pages=441-455&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.volume=8" >&nbsp;</span>{{سخ}}Reprinted in: {{Cite book|url=http://www.archive.org/details/mathphyspapers01stokrich|title=Mathematical and Physical Papers, Volume I|last=Stokes|first=G. G.|publisher=Cambridge University Press|year=1880|pages=۱۹۷–۲۲۹}}
* {{Cite journal|title=The origins of water wave theory|last=Craik|first=A. D. D.|journal=Annual Review of Fluid Mechanics|doi=10.1146/annurev.fluid.36.050802.122118|year=2004|volume=36|pages=1–28|bibcode=2004AnRFM..36....1C}}<cite class="citation journal" >"The origins of water wave theory". ''Annual Review of Fluid Mechanics'' '''36''': 1–28. </cite><cite class="citation journal" >[[بیبکد|Bibcode]]:[http://adsabs.harvard.edu/abs/2004AnRFM..36....1C 2004AnRFM..36....1C]. [[نشانگر دیجیتالی شیء|doi]]:[[doi:10.1146/annurev.fluid.36.050802.122118|10.1146/annurev.fluid.36.050802.122118]].</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3AAiry+wave+theory&rft.atitle=The+origins+of+water+wave+theory&rft.aufirst=A. +D. +D. &rft.aulast=Craik&rft.date=2004&rft.genre=article&rft_id=info%3Abibcode%2F2004AnRFM..36....1C&rft_id=info%3Adoi%2F10.1146%2Fannurev.fluid.36.050802.122118&rft.jtitle=Annual+Review+of+Fluid+Mechanics&rft.pages=1-28&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.volume=36" >&nbsp;</span>
* Crawford jr. , Frank S. (1968). ''Waves (Berkeley Physics Course, Vol. 3)'', McGraw-Hill, [[:en:Special:BookSources/9780070048607|ISBN 978-0070048607]] [[iarchive:Waves 371|Free online version]]
* {{Cite book|title=Water wave mechanics for engineers and scientists|last2=Dalrymple|first2=R. A.|publisher=World Scientific|year=1991|isbn=978-981-02-0420-4|series=Advanced Series on Ocean Engineering|volume=2|location=Singapore|oclc=22907242|first1=R. G.|last1=Dean}}
* {{Cite book|title=Water wave propagation over uneven bottoms|last=Dingemans|first=M. W.|publisher=World Scientific|year=1997|isbn=981-02-0427-2|series=Advanced Series on Ocean Engineering|volume=13|location=Singapore|oclc=36126836}} Two parts, 967 pages.
* {{Cite book|title=Hydrodynamics|last=Lamb|first=H.|authorlink=Horace Lamb|publisher=Cambridge University Press|year=1994|isbn=978-0-521-45868-9|edition=6th|oclc=30070401}} Originally published in 1879, the 6th extended edition appeared first in ۱۹۳۲.
* {{Cite book|title=Fluid mechanics|last2=Lifschitz|first2=E. M.|publisher=Pergamon Press|year=1986|isbn=0-08-033932-8|edition=2nd revised|series=Course of Theoretical Physics|volume=6|oclc=15017127|first1=L. D.|last1=Landau|author1-link=Lev Landau|author2-link=Evgeny Lifshitz}}
* {{Cite book|title=Waves in fluids|url=https://archive.org/details/wavesinfluids0000ligh|last=Lighthill|first=M. J.|authorlink=M. J. Lighthill|publisher=Cambridge University Press|year=1978|isbn=0-521-29233-6|oclc=2966533}} 504 pp.
* {{Cite book|title=The dynamics of the upper ocean|last=Phillips|first=O. M.|publisher=Cambridge University Press|year=1977|isbn=0-521-29801-6|edition=2nd|oclc=7319931}}
* {{Citation|title=Surface Waves|url=http://coe.berkeley.edu/SurfaceWaves/|year=1960|last1=Wehausen|last2=Laitone|first1=J. V.|first2=E. V.|author1-link=John V. Wehausen|journal=Encyclopaedia of Physics|volume=9|pages=653–667, §27|publisher=Springer Verlag|editor1-last=Flügge|editor2-last=Truesdell|editor1-first=S.|editor2-first=C.|editor1-link=Siegfried Flügge|editor2-link=Clifford Truesdell|oclc=612422741|name-list-style=amp|accessdate=۶ آوریل ۲۰۱۶|archiveurl=https://web.archive.org/web/20130521123440/http://coe.berkeley.edu/SurfaceWaves/|archivedate=۲۱ مه ۲۰۱۳|dead-url=yes}}
{{پایان چپ‌چین}}

== پیوند به بیرون ==
* [http://www.wikiwaves.org/Linear_Theory_of_Ocean_Surface_Waves Linear theory of ocean surface waves] on WikiWaves.
* [http://web.mit.edu/fluids-modules/www/potential_flows/LecturesHTML/lec19bu/node1.html Water waves] at [[مؤسسه فناوری ماساچوست|MIT]].

{{اقیانوس‌نگاری فیزیکی}}

[[رده:امواج آب]]
[[رده:مکانیک امواج]]