نمایش مبدأ برای نظریه رسته‌ها

[[پرونده:Commutative diagram for morphism.svg|بندانگشتی|200x200پیکسل|نمایش شماتیکی از یک رسته با اشیاء <math>X, Y, Z</math> و ریخت‌های <math>f, g, f \circ g</math> (ریخت‌های همانی این رسته <math>1_{X}, 1_{Y}, 1_{Z}</math> و هستند، اگر بخواهیم ریخت‌های همانی را در شکل نمایش بدهیم، به ترتیب به صورت پیکان‌هایی از اشیا <math>X, Y, Z</math> به خودشان خواهند بود).]]
'''نظریه رسته‌ها'''<ref>{{cite book
 |first=Steve |last=Awodey |authorlink=Steve Awodey
 |title=Category Theory
 |edition = 2nd
 |url=https://books.google.com/books?id=zLs8BAAAQBAJ
 |orig-year=2006
 |year=2010 |publisher=Oxford University Press |isbn=978-0-19-923718-0
 |series=Oxford Logic Guides |volume=49
}}</ref> {{به انگلیسی|Category Theory}} ساختارهای ریاضیاتی و مفاهیم مربوطه را با [[گراف جهت‌دار|گراف جهت‌داری]] به نام ''رسته'' به صورت صوری درمی‌آورد که گره‌های (رأس‌های گراف) آن را ''اشیاء'' گویند و یال‌های جهت‌دار آن را ''پیکان‌ها'' (یا مورفیسم یا [[ریخت]]) گویند. یک رسته دارای دو خصیصه است: ترکیب پیکان‌ها دارای [[خاصیت شرکت‌پذیری]] بوده، و برای هر شیء یک پیکان همانی وجود دارد. زبان نظریهٔ رسته‌ها برای صوری‌سازی مفاهیمی در سطح تجرید بالا چون [[مجموعه (ریاضیات)|مجموعه‌ها]]، [[حلقه (ریاضیات)|حلقه‌ها]] و [[گروه (ریاضیات)|گروه‌ها]] مورد استفاده قرار گرفته‌است. به زبان معمولی، نظریه رسته‌ها نظریهٔ عمومی توابع است.

اصطلاحاتی که در نظریه رسته‌ها استفاده شده‌اند، مثل «مورفیسم» (یا ریخت)، در نظریهٔ رسته‌ها معنای متفاوتی با بقیهٔ ریاضیات دارند. در نظریهٔ رسته‌ها ریخت‌ها از شرایط خاص نظریهٔ رسته‌ها تبعیت می‌کنند.

[[ساموئل آیلنبرگ]] و [[ساندرز مک لین]] مفاهیم رسته‌ها، [[فانکتور (نظریه رسته‌ها)|تابعگون‌ها]] و [[تبدیلات طبیعی]] را در فاصله سال‌های ۱۹۴۲–۱۹۴۵ در مطالعاتشان بر روی [[توپولوژی جبری]]، به هدف فهم فرآیندهایی که ساختارهای ریاضیاتی را حفظ می‌کنند، معرفی کردند.

نظریهٔ رسته‌ها کاربردهای عملی در [[نظریه زبان‌های برنامه‌نویسی]] نیز دارد، به عنوان مثال استفاده از روندها در [[برنامه‌نویسی تابعی]]. همچنین این نظریه را می‌توان به عنوان زیربنای اصول موضوعه‌ای برای خود [[ریاضیات]]، به جای [[نظریه مجموعه‌ها]] و دیگر بنیان‌های پیشنهاد شده، مورد استفاده قرار داد.

== مفاهیم اساسی ==
رسته‌ها، تجریدی از دیگر مفاهیم ریاضیاتی را نمایش می‌دهند. بسیاری از زمینه‌های ریاضیات را می‌توان با نظریهٔ رسته‌ها صوری‌سازی کرده و به صورت یک رسته درآورد. ازین رو نظریهٔ رسته‌ها در این شاخه‌ها از تجرید استفاده کرده و امکان بیان و اثبات بسیاری از نتایج بغرنج و دقیق ریاضیاتی را به زبان ساده‌تر فراهم می‌آورد.<ref>{{cite book|title=Mathematical physics|url=https://archive.org/details/mathematicalphys00gero|last=Geroch|first=Robert|publisher=University of Chicago Press|accessdate=20 August 2012|year=1985|isbn=0-226-28862-5|edition=[Repr.]|location=Chicago|pages=[https://archive.org/details/mathematicalphys00gero/page/n11 7]|quote=Note that theorem 3 is actually easier for categories in general than it is for the special case of sets. This phenomenon is by no means rare.}}</ref>

یک مثال ابتدایی از یک رسته، [[کاتگوری مجموعه‌ها|رسته مجموعه‌ها]] است، که اشیاء آن [[مجموعه (ریاضی)|مجموعه]]‌ها، و ریخت‌های آن [[توابع]] از یک مجموعه به مجموعه‌ای دیگر اند. اگرچه در حالت کلی ضرورتی ندارد، اشیاء یک رسته، مجموعه باشند و نیز ضرورتی ندارد ریخت‌ها که تابع باشند. هر روشی از صوری‌سازی یک مفهوم ریاضی که شرایط ابتدایی حاکم بر اشیاء و ریخت‌ها را برآورده کند، یک رسته مشروع است و تمامی نتایج نظریه رسته‌ها برای آن برقرار خواهد بود.

«ریخت» های نظریهٔ رسته‌ها یا غالباً فرآیندی را نشان می‌دهند که دو شیء را به هم متصل می‌کند، یا در بسیاری از موارد، یک تبدیل «حافظ ساختار» را نشان می‌دهند که دو شیء را به هم وصل می‌کند. اگرچه، موارد بسیاری هست که مفاهیم بسیار انتزاعی‌تری را با ریخت‌ها و اشیاء نشان می‌دهند. مهم‌ترین خاصیت ریخت‌ها این است که می‌توانند «ترکیب» شوند، یا به عبارتی، در یک دنباله‌ای چیده شوند که ریخت جدیدی را به وجود بیاورند.

== کاربردهای رسته‌ها ==
اکنون رسته‌ها در بسیاری از شاخه‌های ریاضیات کاربرد پیدا کرده‌اند، همچنین در برخی از شاخه‌های علوم کامپیوتر و [[فیزیک نظری]] هم کاربرد دارند، مثل برخی از شاخه‌های علوم کامپیوتر نظری که در آن می‌توان رسته‌ها را به انواع یا الگوهای بانک اطلاعات نظیر کرد، و در فیزیک نظری می‌توان به عنوان مثال [[فضای برداری|فضاهای برداری]] را با استفاده از رسته‌ها توصیف کرد.<ref>B. Coecke, editor [https://www.springer.com/jp/book/9783642128202#aboutBook New Structures for Physics] Number 831 in Lecture Notes in Physics. Springer-Verlag, 2011</ref> احتمالاً اولین کاربرد نظریه رسته‌ها خارج از ریاضیات محض، مدل «ترمیم متابولیسمی» موجودات زنده خودمختار بود که توسط [[رابرت روزن]] ارائه گشت.<ref>{{cite journal|last1=Rosen|first1=Robert|title=The representation of biological systems from the standpoint of the theory of categories|journal=Bulletin of Mathematical Biophysics|date=1958|volume=20|pages=317–341|url=http://www.few.vu.nl/~rplanque/Onderwijs/MathBio/PapersForProject/Rosen.pdf}}</ref>

== ابزار ==
=== رسته‌ها، [[شیء ریاضیاتی|اشیاء]] و [[مورفیزم (ریاضیات)|ریخت‌ها]] ===
مطالعه رسته‌ها، تلاشی برای این است که آنچه در انواع مختلف ساختارهای ریاضی قابل دریافت است را توسط ارتباط دادن آن‌ها با توابع ساختار-نگهدار بین آن‌ها و به صورت اصل موضوعه‌ای نشان دهد. بنابر این، مطالعه نظام مند نظریه رسته‌ها، به ما این اجازه را می‌دهد که نتایجی کلی راجع به هریک از این ساختارهای ریاضیاتی را با استفاده از اصول موضوعه نظریه رسته‌ها به اثبات برسانیم.

مثال زیر را در نظر بگیرید. [[رده (مجموعه)|کلاس]] '''Grp''' از [[گروه (ریاضی)|گروه‌ها]]، متشکل از تمام اشیاء دارای یک «ساختار گروهی» است. می‌توان با استنتاج از مجموعه‌ای از اصول موضوعه، [[قضیه|قضایایی]] راجع به گروه‌ها را [[برهان (ریاضی)|ثابت]] کرد. برای مثال، می‌توان با استفاده از اصول موضوعه، بلافاصله ثابت کرد که [[گروه همانی]]، منحصر بفرد است.

به جای تمرکز صرف بر روی اشیاء منفرد (به عنوان مثال گروه‌های) دارای یک [[ساختمان داده‌ها|ساختار داده]] شده، نظریه رسته‌ها بر پیکان ([[مورفیزم (ریاضیات)|ریخت]])ها - نگاشت‌های حافظ ساختار - ''بین'' این اشیاء تمرکز می‌کنند؛ با مطالعه این پیکان‌ها، قادر خواهیم بود در مورد ساختار اشیاء بیشتر بدانیم. در مورد گروه‌ها، ریخت‌ها همان [[هم‌ریختی|همریختی]]‌های گروهی هستند. یک همریختی گروهی بین دو گروه، به معنایی دقیق «ساختار گروه را حفظ می‌کند» - این یک «فرایند» است که طی آن یک گروه به گروهی دیگر برده می‌شود، به نحوی که اطلاعات مربوط به گروه نخست را با خود به دومی حمل می‌کند. بنابر این، مطالعهٔ همریختی‌های گروهی، ابزاری را برای مطالعهٔ ویژگی‌های عمومی گروه‌ها و استنتاجات مبتنی بر اصول موضوعهٔ گروه‌ها فراهم می‌کند.

گونهٔ مشابه‌ای از بررسی‌ها در بسیاری از نظریه‌های ریاضی از قبیل مطالعه نگاشت‌های پیوسته (پیکان‌ها) ی بین [[فضای توپولوژیک|فضاهای توپولوژیکی]] در [[توپولوژی]] (که رسته متناظر را با '''Top''' نشان می‌دهند)، و مطالعهٔ [[توابع هموار]] (پیکان‌ها) در نظریهٔ [[خمینه]]‌ها رخ می‌دهد.

با این حال، اینطور نیست که همهٔ رسته‌ها شامل «توابع (مجموعه‌ای) حافظ ساختار» باشند؛ یک نمونهٔ استاندارد، رسته [[هموتوپی]]‌های بین [[فضاهای توپولوژیک نقطه‌ای]] است.

اگر به جای توابع، رابطه‌ها را اصول موضوعه‌سازی کنیم، [[نظریه ی تمثیلات]] بدست می‌آید.

=== تابعگون‌ها ===
{{اصلی|تابعگون}}
تابعگون‌ها نگاشت‌های حافظ ساختار بین رسته‌ها می‌باشند. آن‌ها را می‌توان به عنوان ریخت‌هایی در رسته تمام رسته‌های (کوچک) تصور کرد.

یک تابعگون ('''هموردا''') <math>F</math> از رسته‌ای چون <math>C</math> به رسته‌ای چون <math>D</math> به صورت <math>F \colon C \rightarrow D</math> نوشته شده و شامل موارد زیر است:
* برای هر شیء <math>x</math> در <math>C</math>، یک شیء <math>F(x)</math> در <math>D</math>
* برای هر ریخت <math>f \colon x \rightarrow y</math> در <math>C</math>، یک ریخت <math>F(f) \colon F(x) \rightarrow F(y)</math> در <math>D</math>

چنان‌که دو خاصیت زیر برقرار باشند:
* برای هر شیء <math>x</math> در <math>C</math> داریم <math>F(1_x)=1_F(x)</math>
* برای تمام ریخت‌های <math>f \colon x \rightarrow y</math> و <math>g \colon y \rightarrow z</math> داریم <math>F(g \circ f)=F(g) \circ F(f)</math>

یک تابعگون '''پادوردا''' مثل <math>F \colon C \rightarrow D</math> مانند تابعگون همورداست، به جز این که تابعگون پادوردا "جهت ریخت‌ها را برمی‌گرداند" ("تمام پیکان‌ها را برعکس می‌کند"). به‌طور خاص تر، هر ریخت <math>f \colon x \rightarrow y</math> در <math>C</math> را باید به ریخت <math>F(f) \colon F(y) \rightarrow F(x)</math> در <math>D</math> نسبت داد. به زبان دیگر، یک تابعگون هموردا به عنوان تابعگون هموردا از رسته متضاد <math>C^{op}</math> به <math>D</math> عمل می‌کند.

=== [[تبدیلات طبیعی]] ===
با مجردسازی دوباره، برخی ساختارهای نموداری و/یا ساختارهای دنباله‌ای اغلب «به‌طور طبیعی مرتبط اند» – یک مفهوم مبهم در نگاه اول. این مسئله، منجر به مفهوم روشنگر [[تحول طبیعی|تبدیل طبیعی]] می‌گردد؛ راهی برای «تصویر کردن» یکی تابعگون به تابعگونی دیگر. بسیاری از ساختارهای مهم در ریاضیات را می‌توان در این بافت مورد مطالعه قرار. «طبیعی بودن» یک اصل، مانند [[هموردایی عام]] در فیزیک است که عمیق‌تر از آنچه در ابتدا به نظر می‌رسد به پیش می‌رود. یک پیکان (ریخت) بین دو تابعگون، زمانی که بحث طبیعی بودن یا شرایط جا به جایی خاصی است، یک تحول طبیعی است.

تابعگون‌ها و تحولات طبیعی ('طبیعی بودن') مفاهیم کلیدی در نظریه رده‌ها هستند.<ref>{{harvnb|Mac Lane|1998|loc=p. 18: "As Eilenberg-Mac Lane first observed, 'category' has been defined in order to be able to define 'functor' and 'functor' has been defined in order to be able to define 'natural transformation'."}}</ref>

== جستارهای وابسته ==
* [[نظریه دامنه]]
* [[نظریه گروه‌ها|نظریه گروه]]
* [[حساب لامبدا]]
* [[چرند انتزاعی]]

== پانویس ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
* {{Cite book|url=http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.htm|title=Abstract and concrete categories|last=Adámek|first=Jiří|last2=Herrlich|first2=Horst|last3=Strecker|first3=George E.|publisher=John Wiley & Sons|year=1990|isbn=0-471-60922-6|access-date=۹ مارس ۲۰۱۷|archive-date=۲۴ فوریه ۲۰۲۱|archive-url=https://web.archive.org/web/20210224031815/http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.htm|url-status=dead}}
* {{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=zLs8BAAAQBAJ|title=Category Theory|last=Awodey|first=Steve|authorlink=Steve Awodey|publisher=Oxford University Press|year=2010|isbn=978-0-19-923718-0|edition=2nd|series=Oxford Logic Guides|volume=49|ref=harv}}
* {{Citation|title=Category Theory for Computing Science|url=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/22/tr22abs.html|year=2012|last1=Barr|last2=Wells|first1=Michael|first2=Charles|author1-link=Michael Barr (mathematician)|author2-link=Charles Wells (mathematician)|series=Reprints in Theory and Applications of Categories|volume=22|edition=3rd|accessdate=۹ مارس ۲۰۱۷|archiveurl=https://web.archive.org/web/20150115164028/http://tac.mta.ca/tac/reprints/articles/22/tr22abs.html|archivedate=۱۵ ژانویه ۲۰۱۵|dead-url=yes}}.
* {{Citation|title=Toposes, Triples and Theories|url=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12abs.html|year=2005|last1=Barr|last2=Wells|first1=Michael|first2=Charles|author1-link=Michael Barr (mathematician)|author2-link=Charles Wells (mathematician)|series=Reprints in Theory and Applications of Categories|volume=12|edition=revised|mr=2178101}}
* {{Cite book|title=Handbook of categorical algebra|url=https://archive.org/details/handbookofcatego0000borc|last=Borceux|first=Francis|publisher=Cambridge University Press|year=1994|series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications 50-52}}
* {{Cite book|title=Introduction to the theory of categories and functors|last=Bucur|first=Ion|last2=Deleanu|first2=Aristide|publisher=Wiley|year=1968}}
* {{Cite book|url=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/3/tr3abs.html|title=Abelian Categories|last=Freyd|first=Peter J.|authorlink=Peter J. Freyd|publisher=Harper and Row|year=1964|location=New York}}
* {{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=fCSJRegkKdoC|title=Categories, allegories|last=Freyd|first=Peter J.|last2=Scedrov|first2=Andre|publisher=North Holland|year=1990|isbn=978-0-08-088701-2|series=North Holland Mathematical Library|volume=39}}
* {{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=AwLc-12-7LMC|title=Topoi: The Categorial Analysis of Logic|last=Goldblatt|first=Robert|publisher=Dover Publications|year=2006|origyear=1979|isbn=978-0-486-45026-1|edition=Reprint, revised|series=Studies in logic and the foundations of mathematics|volume=94}}
* {{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=qNXuAAAAMAAJ|title=The logical foundations of mathematics|last=Hatcher|first=William S.|publisher=Pergamon Press|year=1982|edition=2nd|series=Foundations & philosophy of science & technology|chapter=Ch. 8}}
* {{Citation|title=Category Theory|year=2007|last1=Herrlich|last2=Strecker|first1=Horst|first2=George E.|edition=3rd|publisher=Heldermann Verlag Berlin|isbn=978-3-88538-001-6}}
* {{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=K-SjOw_2gXwC|title=Categories and Sheaves|last=Kashiwara|first=Masaki|last2=Schapira|first2=Pierre|publisher=Springer|year=2006|isbn=978-3-540-27949-5|series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften|volume=332}}
* {{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=h3_7aZz9ZMoC|title=Sets for Mathematics|last=Lawvere|first=F. William|last2=Rosebrugh|first2=Robert|publisher=Cambridge University Press|year=2003|isbn=978-0-521-01060-3}}
* {{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=h0zOGPlFmcQC|title=Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories|last=Lawvere|first=F. W.|last2=Schanuel|first2=Stephen Hoel|publisher=Cambridge University Press|year=2009|origyear=1997|isbn=978-0-521-89485-2|edition=2nd}}
* Leinster, Tom (2004). [https://web.archive.org/web/20031025120434/http://www.maths.gla.ac.uk/~tl/book.html ''Higher operads, higher categories'']. London Math. Society Lecture Note Series '''298'''. Cambridge University Press. شابک {{ISBN|978-0-521-53215-0|en}}
* {{Cite book|title=Basic Category Theory|last=Leinster|first=Tom|publisher=Cambridge University Press|year=۲۰۱۴}}
* {{Cite book|title=Higher topos theory|last=Lurie|first=Jacob|publisher=Princeton University Press|year=2009|isbn=978-0-691-14049-0|series=Annals of Mathematics Studies|volume=170|location=Princeton, NJ|arxiv=math.CT/0608040|mr=2522659}}
* {{Cite book|title=[[Categories for the Working Mathematician]]|last=Mac Lane|first=Saunders|authorlink=Saunders Mac Lane|publisher=Springer-Verlag|year=1998|isbn=0-387-98403-8|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=5|mr=1712872|ref=harv}}
* {{Cite book|title=Algebra|last=Mac Lane|first=Saunders|last2=Birkhoff|first2=Garrett|publisher=Chelsea|year=1999|origyear=1967|isbn=0-8218-1646-2|edition=2nd}}
* {{Cite journal|url=http://citeseer.ist.psu.edu/martini96element.html|title=Elements of basic category theory|last=Martini|first=A.|last2=Ehrig|first2=H.|journal=Technical Report|publisher=Technical University Berlin|issue=5|year=1996|volume=96|last3=Nunes|first3=D.}}
* {{Cite book|title=A Concise Course in Algebraic Topology|last=May|first=Peter|publisher=University of Chicago Press|year=1999|isbn=0-226-51183-9}}
* {{Cite book|title=The Topos of Music, Geometric Logic of Concepts, Theory, and Performance|last=Guerino|first=Mazzola|publisher=Birkhäuser|year=2002|isbn=3-7643-5731-2}}
* {{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=ezdeaHfpYPwC|title=Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory|last=Pierce|first=Benjamin C.|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=2004|isbn=0-521-83414-7|editor-last=Pedicchio|editor-first=Maria Cristina|editor2-last=Tholen|editor2-first=Walter|series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications|volume=97|location=Cambridge|zbl=1034.18001}}
* {{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=ezdeaHfpYPwC|title=Basic Category Theory for Computer Scientists|last=Pierce|first=Benjamin C.|publisher=MIT Press|year=1991|isbn=978-0-262-66071-6}}
* {{Cite web|url=http://www.cs.man.ac.uk/~hsimmons/BOOKS/CatTheory.pdf|title=An introduction to Category Theory in four easy movements|last=Schalk|first=A.|last2=Simmons|first2=H.|year=2005|format=PDF|last3=Stecker|first3=G.|accessdate=۹ مارس ۲۰۱۷|archiveurl=https://web.archive.org/web/20170321152109/http://www.cs.man.ac.uk/~hsimmons/BOOKS/CatTheory.pdf|archivedate=۲۱ مارس ۲۰۱۷|dead-url=yes}} Notes for a course offered as part of the MSc. in [[منطق ریاضی|Mathematical Logic]], [[دانشگاه منچستر|Manchester University]].
* {{Cite web|url=http://math.ucr.edu/home/baez/week73.html|title=Homotopy theory of higher categories|last=Simpson|first=Carlos|year=1996|arxiv=1001.4071}}، draft of a book.
* {{یوتیوب|user=TheCatsters|title=Practical Foundations of Mathematics}}یوتیوب
* {{planetmath reference|id=5622|title=Category Theory}} Based on {{Harvard citation no brackets|Mac Lane|1998}}.
* {{Cite book|title=From a Geometrical Point of View: A Study of the History and Philosophy of Category Theory|publisher=Springer Science & Business Media|year=2008|isbn=978-1-4020-9384-5|author=Jean-Pierre Marquis}}<cite class="citation book">''From a Geometrical Point of View: A Study of the History and Philosophy of Category Theory''. Springer Science & Business Media. </cite><cite class="citation book">[[شابک| {{ISBN|978-1-4020-9384-5|en}}.</cite>{{Cite book|title=From a Geometrical Point of View: A Study of the History and Philosophy of Category Theory|publisher=Springer Science & Business Media|year=2008|isbn=978-1-4020-9384-5|author=Jean-Pierre Marquis}}
{{پایان چپ‌چین}}{{سخ}}{{شاخه‌های اصلی ریاضیات}}
{{علوم رایانه}}
{{داده‌های کتابخانه‌ای}}

[[رده:نظریه رسته‌ها| ]]
[[رده:بنیان‌های ریاضیات]]