نمایش مبدأ برای نظریه آشوب

{{دیگر کاربردها|نظریه آشوب (ابهام‌زدایی)|آشوب (ابهام‌زدایی)}}
{{short description|شاخه‌ای از ریاضیات}}
[[پرونده:Lorenz attractor yb.svg|بندانگشتی|نموداری از [[سامانه لورنتس|جاذب لورنتس]] برای<math>r=28, \sigma=10, b=8/3</math>.]]
[[پرونده:Double-compound-pendulum.gif|بندانگشتی|پویانمایی از آونگ دو-میله‌ای که در انرژی میانی، رفتار آشوبناک دارد. وقتی [[شرط اولیه|شرایط آغازین]] آونگ کمی متفاوت شوند، [[مسیر پرواز|مسیر حرکتش]] بسیار متفاوت خواهد شد. آونگ دو-میله‌ای یکی از ساده‌ترین سامانه‌های دینامیکی با پاسخ آشوب‌ناک است.]]

'''نظریه آشوب''' {{انگلیسی|Chaos Theory}}، [[شاخه‌های ریاضیات|شاخه‌ای از ریاضیات]] است که به مطالعه [[سامانه پویا|سامانه‌های پویای]] آشوب‌ناک می‌پردازد؛ سامانه‌هایی که بی‌نظمی آن‌ها، در ظاهر، تصادفی است اما در واقع، از [[الگو]]ها و قوانین قطعی پیروی می‌کند که به‌شدت به [[شرط اولیه|شرایط اولیه]] حساسند.<ref>{{Cite web|url=https://mathvault.ca/math-glossary/#chaos|title=The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Chaos|date=2019-08-01|website=Math Vault|language=en-US|access-date=2019-11-24}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.britannica.com/science/chaos-theory|title=chaos theory {{!}} Definition & Facts|website=Encyclopedia Britannica|language=en|access-date=2019-11-24}}</ref> نظریه آشوب، دانشی [[مطالعات میان‌رشته‌ای|میان‌رشته‌ای]]ست که بر اساس آن، سامانه‌های پیچیده به‌ظاهر تصادفی، الگوها، درون‌پیوستگی‌ها، [[بازخورد|حلقه‌های بازخوردی]]، [[ایتریشن|تکرار]]، [[خودهمانندی]]، [[فراکتال]]‌ها، و [[خودسازمان‌دهی|خودسازماندهی]] دارند.<ref name=":1">{{Cite web|url=https://fractalfoundation.org/resources/what-is-chaos-theory/|title=What is Chaos Theory? – Fractal Foundation|language=en-US|access-date=2019-11-24}}</ref> [[اثر پروانه‌ای]]، زیربنای نظریه آشوب است، و به توصیف این [[پدیده]] می‌پردازد که چگونه تغییرات بسیار کوچک در شرایط اولیه یک [[سیستم قطعی|سامانه قطعی]] و [[سامانه غیرخطی|غیرخطی]]، می‌تواند به تغییرات بزرگی در پاسخ سیستم بینجامد؛ یعنی وابستگی حساس به شرایط اولیه.<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Chaos.html|title=Chaos|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-11-24}}</ref> [[استعاره|استعاره‌ای]] از این رفتار، [[پروانه|پروانه‌ای]] است که در [[تگزاس]] بال می‌زند و [[طوفان|طوفانی]] در [[چین]] به‌پا می‌کند.<ref>{{Cite web|url=https://geoffboeing.com/2015/03/chaos-theory-logistic-map/|title=Chaos Theory and the Logistic Map|last=Boeing
|first=Geoff|language=en|access-date=2020-05-17}}</ref>

تغییرات کوچک در شرایط اولیه، مانند تغییرات در اثر [[گرد کردن]] اعداد در محاسبات، می‌تواند باعث [[واگرایی]] گسترده خروجی‌های چنین سامانه‌هایی شده، به‌گونه‌ای که پیش‌بینی بلندمدت رفتارشان را در حالت کلی، غیرممکن می‌سازد.<ref>{{cite book |last = Kellert |first = Stephen H. |title = In the Wake of Chaos: Unpredictable Order in Dynamical Systems |url = https://archive.org/details/inwakeofchaosunp0000kell |url-access = registration |publisher = University of Chicago Press |year = 1993 |isbn = 978-0-226-42976-2 |page = [https://archive.org/details/inwakeofchaosunp0000kell/page/32 32]}}</ref> بااین‌که این‌گونه سامانه‌ها [[سیستم قطعی|قطعی]] هستند، ممکن است چنین شود. قطعی بودن به این معناست که رفتار آینده‌شان از سیر تکاملی منحصربه‌فردی پیروی کرده،<ref name=":2">{{Citation|last=Bishop|first=Robert|title=Chaos|date=2017|url=https://plato.stanford.edu/archives/spr2017/entries/chaos/|encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|editor-last=Zalta|editor-first=Edward N.|edition=Spring 2017|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|access-date=2019-11-24}}</ref> کاملاً وابسته به شرایط اولیه بوده، و هیچ اثری از رفتار [[اعداد تصادفی|تصادفی]] در آن دیده‌نمی‌شود.<ref>{{harvnb|Kellert|1993|p=56}}</ref> به بیانی دیگر، ماهیت قطعی این سامانه‌ها، باعث پیش‌بینی‌پذیری‌شان نمی‌شود.<ref>{{harvnb|Kellert|1993|p=62}}</ref><ref name="WerndlCharlotte">{{cite journal |author = Werndl, Charlotte |title = What are the New Implications of Chaos for Unpredictability? |url = https://archive.org/details/sim_british-journal-for-the-philosophy-of-science_2009-03_60_1/page/195 |journal = The British Journal for the Philosophy of Science |volume = 60 |issue = 1 |pages = 195–220 |year = 2009 |doi = 10.1093/bjps/axn053 |arxiv = 1310.1576 |s2cid = 354849}}</ref> به این رفتار، '''آشوب قطعی''' یا تنها، '''آشوب''' می‌گویند. این نظریه را [[ادوارد لورنتس]] این‌گونه خلاصه کرد:<ref>{{cite web |url = http://mpe.dimacs.rutgers.edu/2013/03/17/chaos-in-an-atmosphere-hanging-on-a-wall/ |title = Chaos in an Atmosphere Hanging on a Wall |last1 = Danforth |first1 = Christopher M. |date = April 2013 |work = Mathematics of Planet Earth 2013 |access-date = 12 June 2018}}</ref>

{{گفتاورد|آشوب، هنگامی‌ست که حال، آینده را تعیین می‌کند، اما حالِ تقریبی نتواند آینده را تقریبی تعیین کند.}}

رفتار آشوب‌ناک در بسیاری از سامانه‌های طبیعی دیده‌می‌شود؛ جریان سیالات، بی‌نظمی‌های تپش قلب، آب‌وهوا و اقلیم.<ref name=Lorenz1961>{{cite journal |author=Lorenz, Edward N. |title=Deterministic non-periodic flow |journal=Journal of the Atmospheric Sciences |volume=20 |pages=130–141 |year=1963 |doi=10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2 |issue=2 |bibcode=1963JAtS...20..130L|doi-access=free}}</ref><ref>{{cite book |last = Ivancevic |first = Vladimir G. |title = Complex nonlinearity: chaos, phase transitions, topology change, and path integrals |url = https://archive.org/details/complexnonlinear0000ivan |year = 2008 |publisher = Springer |isbn = 978-3-540-79356-4 |author2 = Tijana T. Ivancevic}}</ref><ref name=":2"/> همچنین این پدیده، در برخی سامانه‌ها با مؤلفه‌های مصنوعی، همچون [[بازار سهام]] و [[ترافیک]] جاده‌ها نیز خودبه‌خود رخ می‌دهد.<ref name="SafonovTomer2002">{{cite journal |last1 = Safonov |first1 = Leonid A. |last2 = Tomer |first2 = Elad |last3 = Strygin |first3 = Vadim V. |last4 = Ashkenazy |first4 = Yosef |last5 = Havlin |first5 = Shlomo |title = Multifractal chaotic attractors in a system of delay-differential equations modeling road traffic |journal = Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science |volume = 12 |issue = 4 |pages = 1006–1014 |year = 2002 |issn = 1054-1500 |doi = 10.1063/1.1507903 |pmid = 12779624 |bibcode = 2002Chaos..12.1006S}}</ref><ref name=":1"/> این رفتار را می‌توان از راه تحلیل [[مدل ریاضیاتی]]، با کمک فنون تحلیلی چون نمودارهای بازگشتی و [[نگاشت پوانکاره|نگاشت‌های پوانکاره]]، مطالعه کرد. نظریه آشوب در رشته‌های گوناگونی مانند [[هواشناسی]]،<ref name=":2"/> [[انسان‌شناسی]]،<ref name=":0">{{Cite book|title=On the order of chaos. Social anthropology and the science of chaos|last=Mosko M.S. , Damon F.H. (Eds.)|publisher=Berghahn Books|year=2005|location=Oxford}}</ref> [[جامعه‌شناسی]]،<ref>{{cite journal|last1=Hubler|first1=A|title=Adaptive control of chaotic systems|journal=Swiss Physical Society. Helvetica Physica Acta 62|date=1989|pages=339–342}}</ref> [[علوم محیطی]]، [[علوم رایانه]]، [[مهندسی]]، [[علم اقتصاد|اقتصاد]]، [[بوم‌شناسی]]، [[مدیریت بحران]] [[همه‌گیری جهانی]]،<ref name="CT-REF-20">{{cite web |url=https://www.researchgate.net/publication/340775886 |title=Covid-19 Pandemic and Chaos Theory: Applications based on a Bibliometric Analysis |last=Piotrowski |first=Chris |website=researchgate.net |access-date=2020-05-13}}</ref><ref name="CT-REF-21">{{cite book |last=Weinberger| first=David |title=Everyday Chaos - Technology, Complexity, and How We're Thriving in a New World of Possibility |publisher=Harvard Business Review Press |year=2019 | isbn=978-1-63369-396-8 |url=https://books.google.com/books?id=R7V2DwAAQBAJ}}</ref> و [[فلسفه]] کاربرد دارد. این نظریه، پایه رشته‌های علمی چون [[سامانه پویا|سامانه‌های پویای]] پیچیده، نظریه [[مرز آشوب]] و فرایندهای [[خودسامانی]] است. 

== تاریخچه ==
معرفی و گسترش نظریه آشوب، مدیون کارهای [[هانری پوانکاره|پوانکاره]]، [[ادوارد لورنتس]]، [[بنوا مندلبروت|بِنُوآ ماندِل‌بُرو]] و [[مایکل فیگن‌باوم|میچل فایگن‌باوم]] است. پوانکاره نخستین کسی بود که ثابت کرد [[مسئله سه جسم]] (برای نمونه، [[خورشید]]، [[زمین]]، [[ماه]]) مسئله‌ای آشوب‌ناک و غیرقابل حل است. شاخهٔ دیگر نظریه آشوب که در [[مکانیک کوانتومی]] پیش می‌آید، [[آشوب کوانتومی]] نام دارد. گفته می‌شود که [[پیر لاپلاس|لاپلاس]] و [[عمر خیام|خیام]]، پیش‌از پوانکاره، به آشوب پی برده‌بودند.

نخستین بار، یک هواشناس به‌نام [[ادوارد لورنتس]] به مسئله آشوب‌ناکی برخورد. ۱۹۶۰، او روی پیش‌بینی آب‌وهوا کار می‌کرد و روی کامپیوترش ۱۲ معادله برای آن در نظر گرفته‌بود. این معادله‌ها، آب‌وهوا را پیش‌بینی نمی‌کرد، ولی، نظری، پیش‌بینی می‌کرد که هوا چگونه می‌تواند باشد. او می‌خواست دوباره به دنبالهٔ مشخصی برسد. برای صرفه‌جویی در وقت، او به‌جای آغاز از اول دنباله، از وسط آن شروع کرد. عددی را که از بار پیش، از دنباله در دست داشت، وارد سیستم کرد، و کامپیوتر را به حال خود گذاشت تا پردازش کند. یک ساعت بعد که برگشت، دنباله، متفاوت از بار پیش، ادامه یافته‌بود. برخلاف بار پیش، دنباله جدید واگرا می‌شد و نسبت به دنباله اول، کاملاً به‌هم‌ریخته می‌نمود. لورنتس، سرانجام دریافت که مشکل کار کجاست. کامپیوتر، تا ۶ رقم اعشار را ذخیره می‌کرد و او برای این‌که کاغذ کمتری مصرف کند، فقط ۳ رقم اعشار را برای خروجی در نظر گرفته‌بود. در الگوی اولیه، عدد به‌دست‌آمده در اصل، ۵۰۶۱۲۷/۰ بود، ولی او برای بار بعد، فقط ۵۰۶/۰ را وارد کرده‌بود. براساس دانش آن زمان، این دنباله می‌بایست شبیه یا بسیار نزدیک به دنباله اولیه می‌شد. او انتظار داشت، رقم‌های پنجم و ششم مهم نباشند و اثر چندانی روی خروجی نگذارند. اما چنین نبود. لورنز اما آن را نپذیرفت.

این پدیده، به‌عنوان اثر پروانه‌ای شناخته شد. در واقع، تفاوت دو مقدار اولیه آن‌قدر ناچیز است، که انتظار می‌رود به اندازه اثر بال زدن یک پروانه روی وضعیت جوی باشد. مانند این‌که در یک دوره آب‌وهوایی، گردبادی که قرار بود سواحل [[اندونزی]] را درنوردد، هیچ‌گاه اتفاق نمی‌افتد. این پدیده، حساسیت زیاد به شرایط اولیه را نشان می‌دهد.

پژوهش‌های متخصصان در مطالعات هواشناسی ادامه یافت تااین‌که ۱۹۹۱، [[:en:James_A._Yorke|جیمز یورک]]، نظریه آشوب را به مفهوم «نظم در بی‌نظمی» پیش نهاد. او استاد ریاضی و فیزیک در [[دانشگاه مریلند، کالج پارک|دانشگاه مریلند]] و به '''پدر آشوب''' مشهور است.

== دینامیک آشوبناک ==
[[File:Chaos Sensitive Dependence.svg|thumb|نگاشت تعریف شده با <math>x\to 4x(1-x)</math> و <math>y\to (x+y)\pmod 1</math>، حساسیت نسبت به موقعیت آغازین <math>x</math> را نمایش می‌دهد. در اینجا، دو سری از مقادیر <math>x</math> و <math>y</math> که در ابتدا اختلاف اندکی دارند، با گذر زمان، اختلافشان، قابل توجه، بیشتر می‌شود (واگرا شدن).]]
«آشوب» به‌معنای «نوعی بی‌نظمی» است.<ref>Definition of {{linktext|chaos}} at [[Wiktionary]];</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.dictionary.com/browse/chaos|title=Definition of chaos {{!}} Dictionary.com|website=www.dictionary.com|language=en|access-date=2019-11-24}}</ref> البته در نظریه آشوب، این اصطلاح تعریف دقیق‌تری دارد. گرچه آشوب، تعریف ریاضی همگانی ندارد، تعریف رایج را رابرت دِوانی پیش نهاد، که چنین است: یک [[سامانه دینامیکی]]، آشوب‌ناک است اگر یکی از سه ویژگی را دارا باشد:<ref>{{cite book|title=A First Course in Dynamics: With a Panorama of Recent Developments|last=Hasselblatt|first=Boris|author2=Anatole Katok|year=2003|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-58750-1}}</ref>
# [[اثر پروانه‌ای|نسبت به شرایط اولیه حساس باشد]].
# از نظر [[توپولوژی|توپولوژیک]]، متعدی باشد.{{efn|Topologically Transitive}}
# مدارهای چگال متناوب داشته‌باشد.

نشان داده‌شده که در برخی موارد، در واقع دو ویژگی ۲ و ۳ هستند که موجب حساسیت به شرایط اولیه می‌شوند.<ref>{{cite book |author=Elaydi, Saber N. |title=Discrete Chaos |publisher=Chapman & Hall/CRC |year=1999 |isbn=978-1-58488-002-8 |page=117}}</ref><ref>{{cite book |author=Basener, William F. |title=Topology and its applications |publisher=Wiley |year=2006 |isbn=978-0-471-68755-9 |page=42}}</ref> در مسائل زمان‌گسسته، این برای تمام نگاشت‌های پیوسته روی [[فضاهای متریک]] صدق می‌کند.<ref>{{cite journal | author1=Banks | author2=Brooks | author3=Cairns | author4=Davis | author5=Stacey | title= On Devaney's definition of chaos | url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1992-04_99_4/page/332 | journal=The American Mathematical Monthly | volume=99|issue=4|date=1992| pages=332–334 | doi=10.1080/00029890.1992.11995856}}</ref> در چنین مواردی، با این که خاصیت «حساسیت نسبت شرایط اولیه» اغلب در عمل مهم است، ولی لازم نیست در تعریف آشوب‌ناکی قید شود.

اگر تنها [[بازه]]‌ها در نظر گرفته‌شوند، خاصیت دوم، دو خاصیت دیگر را نتیجه می‌دهد.<ref>{{cite journal |author1=Vellekoop, Michel |author2=Berglund, Raoul |title=On Intervals, Transitivity = Chaos |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1994-04_101_4/page/353 |journal=The American Mathematical Monthly |volume=101 |issue=4 |pages=353–5 |date=April 1994 |jstor=2975629 |doi=10.2307/2975629}}</ref> تعریف کلی‌تر اما ضعیف‌تری از آشوب، تنها دو خاصیت اول را دربرمی‌گیرد.<ref>{{cite book |author1=Medio, Alfredo |author2=Lines, Marji |title=Nonlinear Dynamics: A Primer |url=https://archive.org/details/nonlineardynamic00medi |url-access=limited |publisher=Cambridge University Press |year=2001 |isbn=978-0-521-55874-7 |page=[https://archive.org/details/nonlineardynamic00medi/page/n175 165]}}</ref>
{{-}}

== جستارهای وابسته ==
* [[بنوا مندلبروت]]
* [[اثر پروانه ای|اثر پروانه‌ای]]
* [[فراکتال]]

== یادداشت‌ها ==
{{یادداشت‌ها}}

== منابع ==
{{پانویس|۲|چپ‌چین=بله}}

== برای مطالعه بیشتر ==
=== مقالات ===
{{چپ‌چین}}
{{آغاز پانویس|2|indent=yes}}
* {{cite journal |first=A.N. |last=Sharkovskii |author-link=Oleksandr Mykolaiovych Sharkovsky |title=Co-existence of cycles of a continuous mapping of the line into itself |journal=Ukrainian Math. J. |volume=16 |pages=61–71 |year=1964}}
* {{cite journal |author-link1=Tien-Yien Li |last1=Li |first1=T.Y. |author-link2=James A. Yorke |last2=Yorke |first2=J.A. |title=Period Three Implies Chaos |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=82 |pages=985–92 |year=1975 |bibcode=1975AmMM...82..985L |doi=10.2307/2318254 |issue=10 |url=http://pb.math.univ.gda.pl/chaos/pdf/li-yorke.pdf |jstor=2318254 |citeseerx=10.1.1.329.5038 |access-date=21 آوریل 2021 |archive-date=29 دسامبر 2009 |archive-url=https://web.archive.org/web/20091229042210/http://pb.math.univ.gda.pl/chaos/pdf/li-yorke.pdf}}
* {{cite journal|last1=Alemansour|first1=Hamed|last2=Miandoab|first2=Ehsan Maani|last3=Pishkenari|first3=Hossein Nejat|title=Effect of size on the chaotic behavior of nano resonators|journal=Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation|date=March 2017|volume=44|pages=495–505|doi=10.1016/j.cnsns.2016.09.010|bibcode=2017CNSNS..44..495A}}
* {{Cite journal |date = December 1986|title=Chaos |url = https://archive.org/details/sim_scientific-american_1986-12_255_6/page/38|journal=[[Scientific American]] |volume=255 |issue=6 |pages=38–49 (bibliography p.136) |bibcode = 1986SciAm.255d..38T |last2 = Tucker |last3 = Morrison |author1 = Crutchfield|author4 = J.D. Farmer|author5 = Packard|author6=N.H. |author7=Shaw |author8=R.S |author-link1=James P. Crutchfield |author-link5=Norman Packard |author-link7=Robert Shaw (physicist) |author4-link=J. Doyne Farmer |doi=10.1038/scientificamerican1286-46}} [https://web.archive.org/web/20100612040821/http://cse.ucdavis.edu/~chaos/courses/ncaso/Readings/Chaos_SciAm1986/Chaos_SciAm1986.html Online version] (Note: the volume and page citation cited for the online text differ from that cited here. The citation here is from a photocopy, which is consistent with other citations found online that don't provide article views. The online content is identical to the hardcopy text. Citation variations are related to country of publication).
* {{cite journal |author=Kolyada, S.F. |s2cid=207251437 |title=Li-Yorke sensitivity and other concepts of chaos |journal=Ukrainian Math. J. |volume=56 |pages=1242–57 |year=2004 |doi=10.1007/s11253-005-0055-4 |issue=8}}
* {{cite journal | last1 = Day| first1 = R.H. | last2 = Pavlov| first2 = O.V. | year = 2004| title = Computing Economic Chaos | ssrn = 806124| journal = Computational Economics | volume = 23 | issue = 4 | pages = 289–301 | doi = 10.1023/B:CSEM.0000026787.81469.1f | s2cid = 119972392}}
* {{cite journal|first1=C. |last1=Strelioff |first2=A. |last2=Hübler |title=Medium-Term Prediction of Chaos |journal=Phys. Rev. Lett. |volume=96 |issue=4 |id=044101 |year=2006 |doi=10.1103/PhysRevLett.96.044101 |url=http://www.ccsr.illinois.edu/web/Techreports/2005-08/CCSR-05-4.pdf |pmid=16486826 |page=044101 |bibcode=2006PhRvL..96d4101S |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20130426201635/http://www.ccsr.illinois.edu/web/Techreports/2005-08/CCSR-05-4.pdf |archive-date=2013-04-26}}
* {{cite journal |author1=Hübler, A. |author2=Foster, G. |author3=Phelps, K. |title=Managing Chaos: Thinking out of the Box |journal=Complexity |volume=12 |pages=10–13 |year=2007 |url=http://server17.how-why.com/blog/ManagingChaos.pdf |doi=10.1002/cplx.20159 |issue=3 |bibcode=2007Cmplx..12c..10H |access-date=2011-07-17 |archive-url=https://web.archive.org/web/20121030165633/http://server17.how-why.com/blog/ManagingChaos.pdf |archive-date=2012-10-30 |url-status=dead}}
* {{cite journal | last1 = Motter | first1 = Adilson E. | last2 = Campbell | first2 = David K. | year = 2013 | title = Chaos at 50 | url = https://archive.org/details/sim_physics-today_2013-05_66_5/page/27 | journal = Physics Today | volume = 66| issue = 5| page = 27| doi = 10.1063/PT.3.1977 |arxiv = 1306.5777 |bibcode = 2013PhT....66e..27M | s2cid = 54005470}}
{{پایان پانویس}}
{{پایان چپ‌چین}}

=== کتب درسی ===
{{چپ‌چین}}
{{آغاز پانویس|2|indent=yes}}
* {{cite book |last1=Alligood |first1=K.T. |last2=Sauer |first2=T. |last3=Yorke |first3=J.A. |title=Chaos: an introduction to dynamical systems |publisher=Springer-Verlag |year=1997 |isbn=978-0-387-94677-1 |url=https://books.google.com/books?id=48YHnbHGZAgC}}
* {{cite book| author=Baker, G. L.| title=Chaos, Scattering and Statistical Mechanics| publisher=Cambridge University Press| year=1996| isbn=978-0-521-39511-3}}
* {{cite book |author1=Badii, R. |author2=Politi A. |title=Complexity: hierarchical structures and scaling in physics |publisher=Cambridge University Press |year=1997 |isbn=978-0-521-66385-4 |url=http://www.cambridge.org/gb/academic/subjects/physics/statistical-physics/complexity-hierarchical-structures-and-scaling-physics}}
* {{cite book |editor1-last=Bunde |editor2-first=Shlomo | editor2-last=Havlin | editor2-link=Shlomo Havlin |title=Fractals and Disordered Systems |publisher=Springer |year=1996 |isbn=978-3-642-84870-4}} and {{cite book |editor1-last=Bunde |editor2-first=Shlomo | editor2-last=Havlin | editor2-link=Shlomo Havlin |title=Fractals in Science |publisher=Springer |year=1994 |isbn=978-3-540-56220-7}}
* {{cite book| author=Collet, Pierre, and [[Jean-Pierre Eckmann|Eckmann, Jean-Pierre]]| title=Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems | publisher=Birkhauser | year=1980 |isbn=978-0-8176-4926-5}}
* {{cite book |last=Devaney |first=Robert L. |author-link=Robert L. Devaney |title=An Introduction to Chaotic Dynamical Systems |edition=2nd |publisher=Westview Press |year=2003 |isbn=978-0-8133-4085-2 |url=https://books.google.com/books?id=CjAnY99LwTgC}}{{پیوند مرده}}
* {{cite book |last=Robinson |first=Clark |title=Dynamical systems: Stability, symbolic dynamics, and chaos |publisher=CRC Press |year=1995 |isbn=0-8493-8493-1}}
* {{cite book |author1=Feldman, D. P. |title=Chaos and Fractals: An Elementary Introduction |publisher=Oxford University Press |year=2012 |isbn=978-0-19-956644-0 |url=http://chaos.coa.edu/index.html |access-date=21 آوریل 2021 |archive-date=31 دسامبر 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20191231030717/http://chaos.coa.edu/index.html}}
* {{cite book |author1=Gollub, J. P. |author2=Baker, G. L. |title=Chaotic dynamics |publisher=Cambridge University Press |year=1996 |isbn=978-0-521-47685-0 |url=https://books.google.com/books?id=n1qnekRPKtoC}}
* {{cite book |author=Guckenheimer, John| author-link=John Guckenheimer|author2= Holmes, Philip |author-link2=Philip Holmes|title=Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields |publisher=Springer-Verlag |year=1983 |isbn=978-0-387-90819-9}}
* {{cite book| author=Gulick, Denny| title=Encounters with Chaos| url=https://archive.org/details/encounterswithch0000unse| publisher=McGraw-Hill| year=1992| isbn=978-0-07-025203-5}}
* {{cite book |author=Gutzwiller, Martin |title=Chaos in Classical and Quantum Mechanics |publisher=Springer-Verlag |year=1990 |isbn=978-0-387-97173-5 |url=https://books.google.com/books?id=fnO3XYYpU54C}}
* {{cite book|author=Hoover, William Graham|author-link=William G Hoover|title=Time Reversibility, Computer Simulation, and Chaos|publisher=World Scientific|orig-year=1999|year=2001|isbn=978-981-02-4073-8|url=https://books.google.com/books?id=24kEKsdl0psC}}
* {{cite book |author=Kautz, Richard |title=Chaos: The Science of Predictable Random Motion |publisher=Oxford University Press |year=2011 |isbn=978-0-19-959458-0 |url=https://books.google.com/books?id=x5YbNZjulN0C}}
* {{cite book |author1=Kiel, L. Douglas |author2=Elliott, Euel W. |title=Chaos Theory in the Social Sciences |publisher=Perseus Publishing |year=1997 |isbn=978-0-472-08472-2 |url=https://books.google.com/books?id=K46kkMXnKfcC}}
* {{cite book |author=Moon, Francis |title=Chaotic and Fractal Dynamics |publisher=Springer-Verlag |year=1990 |isbn=978-0-471-54571-2 |url=https://books.google.com/books?id=Ddz-CI-nSKYC}}
* {{cite book |author=Ott, Edward |title=Chaos in Dynamical Systems |publisher=Cambridge University Press |year=2002 |isbn=978-0-521-01084-9 |url=https://books.google.com/books?id=nOLx--zzHSgC}}
* {{cite book| author=Strogatz, Steven| author-link=Steven Strogatz| title=Nonlinear Dynamics and Chaos| publisher=Perseus Publishing| year=2000| isbn=978-0-7382-0453-6| url=https://archive.org/details/nonlineardynamic00stro}}
* {{cite book |last=Sprott |first=Julien Clinton |title=Chaos and Time-Series Analysis |publisher=Oxford University Press |year=2003 |isbn=978-0-19-850840-3 |url=https://books.google.com/books?id=SEDjdjPZ158C}}
* {{cite book |author1=Tél, Tamás |author2=Gruiz, Márton |title=Chaotic dynamics: An introduction based on classical mechanics |publisher=Cambridge University Press |year=2006 |isbn=978-0-521-83912-9 |url=https://books.google.com/books?id=P2JL7s2IvakC}}
* {{cite book| last = Teschl| given = Gerald| author-link = Gerald Teschl| title = Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems| publisher = [[American Mathematical Society]]| place = [[Providence, Rhode Island|Providence]]| year = 2012| isbn = 978-0-8218-8328-0| url = https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/}}
* {{cite book|vauthors=Thompson JM, Stewart HB | title=Nonlinear Dynamics And Chaos| publisher=John Wiley and Sons Ltd| year=2001| isbn=978-0-471-87645-8}}
* {{cite book |author1-link=Nicholas Tufillaro |last1=Tufillaro |last2=Reilly |title=An experimental approach to nonlinear dynamics and chaos |journal=American Journal of Physics |volume=61 |issue=10 |pages=958 |publisher=Addison-Wesley |year=1992 |isbn=978-0-201-55441-0 |bibcode=1993AmJPh..61..958T |doi=10.1119/1.17380 |url=https://archive.org/details/unset0000unse_q2b7 |url-access=limited}}
* {{cite book | last=Wiggins|first=Stephen | title= Introduction to Applied Dynamical Systems and Chaos | url=https://archive.org/details/springer_10.1007-b97481| publisher= Springer | year= 2003 | isbn= 978-0-387-00177-7}}
* {{cite book| author=Zaslavsky, George M.| title=Hamiltonian Chaos and Fractional Dynamics| publisher=Oxford University Press| year=2005| isbn=978-0-19-852604-9}}
{{پایان پانویس}}
{{پایان چپ‌چین}}

=== آثار نیمه-فنی و عرفی ===
{{چپ‌چین}}
{{آغاز پانویس|2|indent=yes}}
* [[Christophe Letellier]], ''Chaos in Nature'', World Scientific Publishing Company, 2012, {{ISBN|978-981-4374-42-2}}.
* {{cite book |editor1-first=Ralph H. |editor1-last=Abraham |editor2-first=Yoshisuke |editor2-last=Ueda |title=The Chaos Avant-Garde: Memoirs of the Early Days of Chaos Theory |journal=<!--Citation bot --> |volume=39 |url=https://books.google.com/books?id=0E667XpBq1UC |year=2000 |publisher=World Scientific |isbn=978-981-238-647-2 |bibcode=2000cagm.book.....A |last1=Abraham |first1=Ralph |display-authors=et al |doi=10.1142/4510 |series=World Scientific Series on Nonlinear Science Series A}}
* {{cite book |author-link=Michael F. Barnsley |first=Michael F. |last=Barnsley |title=Fractals Everywhere |url=https://books.google.com/books?id=oh7NoePgmOIC |year=2000 |publisher=Morgan Kaufmann |isbn=978-0-12-079069-2}}
* {{cite book |first=Richard J. |last=Bird |title=Chaos and Life: Complexity and Order in Evolution and Thought |url=https://books.google.com/books?id=fv3sltQBS54C |year=2003 |publisher=Columbia University Press |isbn=978-0-231-12662-5}}
* [[John Briggs (author)|John Briggs]] and David Peat, ''Turbulent Mirror:: An Illustrated Guide to Chaos Theory and the Science of Wholeness'', Harper Perennial 1990, 224 pp.
* John Briggs and David Peat, ''Seven Life Lessons of Chaos: Spiritual Wisdom from the Science of Change'', Harper Perennial 2000, 224 pp.
* {{cite journal |author=Cunningham, Lawrence A. |title=From Random Walks to Chaotic Crashes: The Linear Genealogy of the Efficient Capital Market Hypothesis |journal=George Washington Law Review |volume=62 |page=546 |year=1994}}
* [[Predrag Cvitanović]], ''Universality in Chaos'', Adam Hilger 1989, 648 pp.
* [[Leon Glass]] and Michael C. Mackey, ''From Clocks to Chaos: The Rhythms of Life,'' Princeton University Press 1988, 272 pp.
* [[James Gleick]], ''[[Chaos: Making a New Science]]'', New York: Penguin, 1988. 368 pp.
* {{cite book |author=John Gribbin |title=Deep Simplicity |date=2005-01-27 |url=https://archive.org/details/deepsimplicity0000john |series=Penguin Press Science |publisher=Penguin Books}}
* L Douglas Kiel, Euel W Elliott (ed.), ''Chaos Theory in the Social Sciences: Foundations and Applications'', University of Michigan Press, 1997, 360 pp.
* Arvind Kumar, ''Chaos, Fractals and Self-Organisation; New Perspectives on Complexity in Nature '', National Book Trust, 2003.
* Hans Lauwerier, ''Fractals'', Princeton University Press, 1991.
* [[Edward Lorenz]], ''The Essence of Chaos'', University of Washington Press, 1996.
* {{cite book|doi=10.1142/9781860949548|title=The Unity of Nature - Wholeness and Disintegration in Ecology and Science|year=2002|last1=Marshall|first1=Alan|isbn=978-1-86094-954-8}}
* David Peak and Michael Frame, ''Chaos Under Control: The Art and Science of Complexity'', Freeman, 1994.
* [[Heinz-Otto Peitgen]] and [[Dietmar Saupe]] (Eds.), ''The Science of Fractal Images'', Springer 1988, 312 pp.
* [[Clifford A. Pickover]], ''Computers, Pattern, Chaos, and Beauty: Graphics from an Unseen World '', St Martins Pr 1991.
* [[Clifford A. Pickover]], ''Chaos in Wonderland: Visual Adventures in a Fractal World'', St Martins Pr 1994.
* [[Ilya Prigogine]] and [[Isabelle Stengers]], ''Order Out of Chaos'', Bantam 1984.
* {{cite book|doi=10.1007/978-3-642-61717-1|title=The Beauty of Fractals|url=https://archive.org/details/beautyoffractals0000peit|url-access=registration|year=1986|last1=Peitgen|first1=Heinz-Otto|last2=Richter|first2=Peter H.|isbn=978-3-642-61719-5}}
* [[David Ruelle]], ''Chance and Chaos'', Princeton University Press 1993.
* [[Ivars Peterson]], ''Newton's Clock: Chaos in the Solar System'', Freeman, 1993.
* {{cite book |author1=Ian Roulstone |author2=John Norbury |title=Invisible in the Storm: the role of mathematics in understanding weather |url=https://books.google.com/books?id=qnMrFEHMrWwC|year=2013 |publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-15272-1}}
* {{cite book|doi=10.1017/CBO9780511608773|title=Chaotic Evolution and Strange Attractors|url=https://archive.org/details/chaoticevolution0000ruel|url-access=registration|year=1989|last1=Ruelle|first1=D.|isbn=978-0-521-36272-6}}
* Manfred Schroeder, ''Fractals, Chaos, and Power Laws'', Freeman, 1991.
* {{cite book|doi=10.1017/CBO9780511554544|title=Explaining Chaos|year=1998|last1=Smith|first1=Peter|isbn=978-0-511-55454-4}}
* [[Ian Stewart (mathematician)|Ian Stewart]], ''Does God Play Dice?: The Mathematics of Chaos '', Blackwell Publishers, 1990.
* [[Steven Strogatz]], ''Sync: The emerging science of spontaneous order'', Hyperion, 2003.
* Yoshisuke Ueda, ''The Road To Chaos'', Aerial Pr, 1993.
* M. Mitchell Waldrop, ''Complexity: The Emerging Science at the Edge of Order and Chaos'', Simon & Schuster, 1992.
* Antonio Sawaya, ''Financial Time Series Analysis: Chaos and Neurodynamics Approach'', Lambert, 2012.
{{پایان پانویس}}
{{پایان چپ‌چین}}

== پیوند به بیرون ==
{{چپ‌چین}}
{{div col|colwidth=25.0em}}
* {{springer|title=Chaos|id=p/c021480}}
* [https://web.archive.org/web/20160310065017/http://lagrange.physics.drexel.edu/ Nonlinear Dynamics Research Group] with Animations in Flash
* [http://www.chaos.umd.edu/ The Chaos group at the University of Maryland]
* [http://hypertextbook.com/chaos/ The Chaos Hypertextbook]. An introductory primer on chaos and fractals
* [http://chaosbook.org/ ChaosBook.org] An advanced graduate textbook on chaos (no fractals)
* [http://www.societyforchaostheory.org/ Society for Chaos Theory in Psychology & Life Sciences]
* [https://web.archive.org/web/20130425220329/http://www.csdc.unifi.it/mdswitch.html?newlang=eng Nonlinear Dynamics Research Group at CSDC], [[Florence]] [[Italy]]
* [https://web.archive.org/web/20051227123602/http://physics.mercer.edu/pendulum/ Interactive live chaotic pendulum experiment], allows users to interact and sample data from a real working damped driven chaotic pendulum
* [http://www.creatingtechnology.org/papers/chaos.htm Nonlinear dynamics: how science comprehends chaos], talk presented by Sunny Auyang, 1998.
* [http://www.egwald.ca/nonlineardynamics/index.php Nonlinear Dynamics]. Models of bifurcation and chaos by Elmer G. Wiens
* [http://www.around.com/chaos.html Gleick's ''Chaos'' (excerpt)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070202075958/http://www.around.com/chaos.html |date=2 فوریه 2007}}
* [https://web.archive.org/web/20070428110552/http://www.eng.ox.ac.uk/samp/ Systems Analysis, Modelling and Prediction Group] at the University of Oxford
* [https://web.archive.org/web/20090307094012/http://www.mgix.com/snippets/?MackeyGlass A page about the Mackey-Glass equation]
* [https://www.youtube.com/user/thedebtgeneration?feature=mhum High Anxieties — The Mathematics of Chaos] (2008) BBC documentary directed by [[David Malone (independent filmmaker)|David Malone]]
* [https://www.newscientist.com/article/mg20827821.000-the-chaos-theory-of-evolution.html The chaos theory of evolution] – article published in Newscientist featuring similarities of evolution and non-linear systems including fractal nature of life and chaos.
* Jos Leys, [[Étienne Ghys]] et Aurélien Alvarez, [http://www.chaos-math.org/en ''Chaos, A Mathematical Adventure'']. Nine films about dynamical systems, the butterfly effect and chaos theory, intended for a wide audience.
* [http://www.bbc.co.uk/programmes/p00548f6 "Chaos Theory"], BBC Radio 4 discussion with Susan Greenfield, David Papineau & Neil Johnson (''In Our Time'', ۱۶ مه ۲۰۰۲)
{{div col end}}
{{پایان چپ‌چین}}
{{علوم سامانه‌ها}}
{{نظریه آشوب}}
{{الگوها در طبیعت}}
{{ریاضیات صنعتی و کاربردی}}
[[رده:نظریه آشوب| ]]
[[رده:شاخه‌های مطالعاتی محاسباتی]]
[[رده:نظریه سامانه‌های پیچیده]]