نمایش مبدأ برای نسبت طلایی

{{Short description|نسبت بین دو کمیت که نسبت جمعشان به مقدار بزرگتر، برابر با نسبت عدد بزرگتر به کوچکتر است}}
[[File:Golden ratio line.svg|thumb|توصیف عدد طلایی برحسب پاره‌خط‌ها، نسبت a+b به a برابر با نسبت a به b است.]]
[[File:SimilarGoldenRectangles.svg|thumb|مستطیل طلایی با طول <span style="color:blue;">'''''a'''''</span> و عرض <span style="color:red;">'''''b'''''</span> در مجاورت مربعی با اضلاع <span style="color:blue;">'''''a'''''</span> است که هردو با هم تشکیل مستطیل بزرگتر را داده که [[تشابه (هندسه)|مشابه]] مستطیل قرمز کوچکتر است. مستطیل بزرگ دارای طول <span style="color:green;">'''''a+b'''''</span> و عرض <span style="color:blue;">'''''a'''''</span> است. این نسبت‌ها را بدین صورت نیز می‌توان بیان نمود: <math> \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \equiv \varphi</math>.]]
در [[ریاضیات]]، دو کمیت دارای '''نسبت طلایی''' {{انگلیسی|Golden Ratio}} اند اگر [[نسبت (ریاضیات)|نسبت]] آن‌ها برابر با نسبت جمع‌شان به کمیت بزرگ‌تر باشد. می‌توان این خاصیت را برای زمانی که <math>a>b>0</math> باشد، به‌صورت جبری زیر بیان نمود:
{{وسط‌چین}}
<math> \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \ \stackrel{\text{def}}{=}\ \varphi</math>
{{پایان وسط‌چین}}
که در آن حرف [[فی]] یونانی (<math>\varphi</math> یا <math>\phi</math>)، نمایانگر نسبت طلایی است.<ref name=":0">{{Cite web|date=2020-03-01|title=Compendium of Mathematical Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/|access-date=2020-08-10|website=Math Vault|language=en-US}}</ref>{{efn|اگر قیود بزرگتر از صفر بودن a و b برداشته شوند، آنگاه در حقیقت دو جواب برای این معادله وجود خواهند داشت، یک جواب مثبت و دیگری منفی. ϕ به صورت جواب مثبت تعریف می‌شود. جواب منفی را می‌توان به صورت<math>\frac{1-\sqrt{5}}{2}</math> نوشت. جمع دو جواب یک بوده و ضربشان نیز منفی یک می‌باشد.}} این نسبت [[عدد گنگ|عدد گنگی]] است که جوابی برای [[معادله مربعی]] <math>x^2-x-1=0</math> نیز می‌باشد، جواب مورد نظر معادله مذکور بدین صورت است:
{{وسط‌چین}}
<math>\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1.618033\ldots</math><ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Golden Ratio|url=https://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html|access-date=2020-08-10|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref name="a001622">{{OEIS2C|id=A001622}}</ref><!-- لطفاً ارقام دیگری به اعشار این عدد نیافزایید. توافق پایداری وجود دارد مبنی بر این که افزودن به ارقام آن کمکی به فهم بیشترش نمی‌نماید. سپاس -->
{{پایان وسط‌چین}}
نسبت طلایی را '''میانگین طلایی''' (Golden Mean) یا '''مقطع طلایی''' (Golden Section) (از [[لاتین]]: ''sectio aurea'') نیز می‌نامند.{{sfn|Livio|2003|pp=3, 81}}<ref name="dunlap">Dunlap, Richard A. , ''The Golden Ratio and Fibonacci Numbers'', World Scientific Publishing, 1997</ref> نام‌های دیگری شامل این موارد نیز استفاده می‌گردند: '''نسبت غایی و میانگین''' (Extreme and Mean Ratio),<ref name="Elements 6.3">Euclid, ''[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html Elements]'', Book 6, Definition 3.</ref> '''مقطع میانی''' (Medial Section)، '''نسبت الهی''' (Divine Section) (لاتین: ''sectio divina'')، '''تناسب طلایی''' (Golden Proportion)، '''برش طلایی''' (Golden Cut),<ref>Summerson John, ''Heavenly Mansions: And Other Essays on Architecture'' (New York: W.W. Norton, 1963) p. &nbsp;37. "And the same applies in architecture, to the [[rectangle]]s representing these and other ratios (e.g. the 'golden cut'). The sole value of these ratios is that they are intellectually fruitful and suggest the rhythms of modular design."</ref> و '''عدد طلایی''' (Golden Number).<ref>Jay Hambidge, ''Dynamic Symmetry: The Greek Vase'', New Haven CT: Yale University Press, 1920</ref><ref>William Lidwell, Kritina Holden, Jill Butler, ''Universal Principles of Design: A Cross-Disciplinary Reference'', Gloucester MA: Rockport Publishers, 2003</ref><ref name="Pacioli">Pacioli, Luca. ''[[De divina proportione]]'', Luca Paganinem de Paganinus de Brescia (Antonio Capella) 1509, Venice.</ref>

[[ریاضی‌دان|ریاضی‌دانان]] از زمان [[اقلیدس]] به مطالعه خواص نسبت طلایی پرداخته‌اند، خواصی چون ظاهر آن در ابعاد یک [[پنج‌ضلعی]] و در مثلث طلایی که می‌توان آن را به یک مربع و مستطیل کوچک‌تری با همان [[نسبت ابعادی]] برش داد. نسبت طلایی در تحلیل تناسب اشیاء طبیعی و همچنین سامانه‌های مصنوعی ساخت انسان چون [[بازار مالی|بازارهای مالی]]، و در برخی موارد برازش با داده‌های مشکوک نیز به کار گرفته شده‌است.<ref>{{Cite news|first=Steven|last=Strogatz|author-link=Steven Strogatz|title=Me, Myself, and Math: Proportion Control|newspaper=[[The New York Times]]|date=September 24, 2012|url=http://opinionator.blogs.nytimes.com/2012/09/24/proportion-control/}}</ref> نسبت طلایی در برخی از الگوهای طبیعی شامل [[آرایش برگی|آرایش مارپیچ‌گونهٔ برگ‌ها]] و سایر اجزای گیاهان نیز پدیدار می‌گردد.

برخی از [[هنرمندان]] و [[معمار|معماران]] قرن بیستم شامل [[لو کوربوزیه]] و [[سالوادور دالی]]، آثارشان را در تناسب تقریبی با نسبت طلایی قرار داده و معتقدند که این مسئله موجب بالارفتن جنبه [[زیباشناختی]] آثارشان می‌گردد. این‌گونه کاربردها اغلب به فرم مستطیل طلایی ظاهر شده که در آن نسبت طول بزرگتر به کوچک‌تر برابر با نسبت طلایی است.

== محاسبه ==
{| class="infobox bordered" cellpadding=5
| colspan="2" align="center" | {{اعداد گنگ}}
|-
|[[دستگاه اعداد دودویی|دودویی]]
| {{Gaps|1.1001|1110|0011|0111|0111}}...
|-
| [[ده‌دهی]]
| {{Val|1.618033988749894}}...<ref name="a001622"/>
|-
| [[دستگاه اعداد پایه ۱۶|مبنای ۱۶]]
| {{Gaps|1.9E37|79B9|7F4A|7C15}}...
|-
| [[کسر مسلسل]]
| <math>1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}}</math>
|-
| [[عدد جبری|فرم جبری]]
| <math>\frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>
|}
[[File:Phi uc lc.svg|thumb|upleft|حرف یونانی فی، نماد نسبت طلایی. اغلب حرف کوچک (φ یا <math>\varphi</math>) استفاده می‌شود، برخی مواقع از حرف بزرگ (<math>\Phi</math>) نیز جهت نمایش معکوس نسبت طلایی <math>\tfrac{1}{\phi}</math> استفاده می‌کنند.<ref name="MathWorld GR Conjugate">{{MathWorld|title=Golden Ratio Conjugate|urlname=GoldenRatioConjugate}}</ref>]]
دو کمیت ''a'' و ''b'' را ''نسبت طلایی'' <math>\phi</math> نامند اگر:
{{وسط‌چین}}
<math> \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi.</math><ref name=":0"/>
{{پایان وسط‌چین}}
یک روش جهت یافتن مقدار <math>\phi</math>، این است که از کسر سمت چپ شروع کرده و با ساده سازی و جایگزینی <math>\tfrac{b}{a}=\tfrac{1}{\phi}</math> به عبارت زیر برسیم:
{{وسط‌چین}}
<math>\frac{a+b}{a} = \frac{a}{a}+\frac{b}{a} = 1 + \frac{b}{a} = 1 + \frac{1}{\varphi}.</math>
{{پایان وسط‌چین}}
ازین رو خواهیم داشت:
{{وسط‌چین}}
<math> 1 + \frac{1}{\varphi} = \varphi. </math>
{{پایان وسط‌چین}}
که با ضرب <math>\varphi</math> معادله زیر را می‌دهد:
{{وسط‌چین}}
:<math>\varphi + 1 = \varphi^2</math>
{{پایان وسط‌چین}}
که با بازآرایی تبدیل به این عبارت می‌گردد:
{{وسط‌چین}}
<math>{\varphi}^2 - \varphi - 1 = 0.</math>
{{پایان وسط‌چین}}
با استفاده از فرمول مربعی، دو جواب به‌دست می‌آیند:
{{وسط‌چین}}
<math>\frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618033\dots</math> and <math>\frac{1 - \sqrt{5}}{2} = -0.618033\dots.</math>
{{پایان وسط‌چین}}
چون <math>\varphi</math> نسبتی بین دو کمیت مثبت است، پس کمیتی مثبت می‌باشد:
{{وسط‌چین}}
<math>\varphi=1.61803,39887,49894,84820,45868,34365,63811,7\cdots</math>
{{پایان وسط‌چین}}

== تاریخچه ==
{{همچنین ببینید|ریاضیات و هنر|اعداد فیبوناچی}}
به گفته ماریو لیویو:

{{گفتاورد|برخی از بزرگترین ذهن‌های ریاضیاتی تمام اعصار، از [[فیثاغورس]] گرفته تا [[اقلیدس]] در [[یونان باستان]]، تا ریاضیدان قرون وسطای ایتالیایی، [[لئوناردو فیبوناچی]] و منجم عصر رنسانس [[یوهانس کپلر]]، تا شخصیت‌های علمی عصر حاضر همچون فیزیکدان آکسفورد، [[راجر پنروز]]، ساعت‌های بی‌پایانی را بر روی این نسبت ساده و خواصش سپری کرده‌اند. … زیست‌شناسان، هنرمندان، موسیقی‌دانان، تاریخ‌دانان، معماران، روان‌شناسان و حتی عارفان، در مورد ماهیت همه‌جا حاضر بودن و زیبایی این نسبت اندیشه کرده و در موردش به مباحثه پرداخته‌اند. در حقیقت، می‌توان گفت که هیچ عددی در طول تاریخ ریاضیات همچون نسبت طلایی، ملهِم متفکران تمام رشته‌های علمی نبوده‌است.{{sfn|Livio|2003|p=6}}|title= «نسبت طلایی: داستان فی، حیرت‌انگیزترین عدد جهان»}}

ریاضی‌دانان یونان باستان اولین کسانی بودند که آن چیزی که امروز به نسبت طلایی می‌شناسیم را به دلیل حضور فراوانش در [[هندسه]] مورد مطالعه قرار دادند؛{{sfn|Livio|2003|p=4|ps=: "... line division, which Euclid defined for … purely geometrical purposes ..."}} تقسیم خط به «نسبت میانگین و غایی» (مقطع طلایی)، درهندسه [[ستاره پنج‌پر]] و [[پنج‌ضلعی]]‌ها واجد اهمیت است.{{sfn|Livio|2003|pp=۷–۸}} براساس یک روایت، ریاضیدان قرن پنج پیش از میلاد به نام [[هیپاسوس]] کشف نمود که نسبت طلایی نه یک [[عدد صحیح]] است و نه [[عدد گویا|گویا]] (بلکه یک [[عدد گنگ]] است)، این امر موجب شگفتی فیثاغورسیان گشت.{{sfn|Livio|2003|pp=۴–۵}} کتاب «''[[اصول اقلیدس]]''» (حدود ۳۰۰ قبل از میلاد)، چندین گزاره و اثبات‌های آن را به نسبت طلایی اختصاص داده{{sfn|Livio|2003|p=78}}{{efn|Euclid, ''[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html Elements]'', Book II, Proposition 11; Book IV, Propositions 10–11; Book VI, Proposition 30; Book XIII, Propositions 1–6, 8–11, 16–18.}} و اولین تعریف شناخته شده از آن را بیان نموده‌است:<ref name=Hemenway>{{cite book|last=Hemenway|first=Priya|title=Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science|url=https://archive.org/details/divineproportion0000heme|year=2005|publisher=Sterling|location=New York|isbn=978-1-4027-3522-6|pages=[https://archive.org/details/divineproportion0000heme/page/20 20]–21}}</ref>

{{quote|گویند یک خط راست به نسبت غایی و میانگین تقسیم‌بندی شده، هرگاه نسبت کل خط به قسمت بزرگتر برابر با نسبت بخش بزرگتر به کوچکتر باشد.{{sfn|Livio|2003|p=3}}{{efn|"῎Ακρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα τετμῆσθαι λέγεται, ὅταν ᾖ ὡς ἡ ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα, οὕτως τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἔλαττὸν."<ref>{{cite book |title=Euclid's Elements of Geometry |author=Richard Fitzpatrick (translator) |year=2007 |isbn=978-0-615-17984-1|page=156}}</ref>}}}}

[[File:Michael Maestlin.jpg|thumb|[[میشائل مستلین|مایکل مستلین]]، اولین کسی بود که تخمینی در مبنای ده برای این نسبت ارائه نمود.]]
نسبت طلایی طی هزاره بعدی به عنوان موضوعی حاشیه‌ای و غیر مهم مورد مطالعه قرار گرفت. [[ابوکامل]] (حدود ۸۵۰ تا ۹۳۰ میلادی) این نسبت را جهت محاسبات هندسی پنج‌ضلعی‌ها و ده‌ضلعی‌ها به کار برد؛ نوشتجات او الهام‌بخش [[فیبوناچی]] بود (لئوناردو از پیزا) (در حدود ۱۱۷۰ تا ۱۲۵۰)، که از این نسبت در مسائل هندسی مرتبط با آن استفاده نمود، گرچه که هیچگاه بین آن‌ها و [[اعداد فیبوناچی|دنباله عددی]] که اکنون به نام خودش معروف‌اند، ارتباطی ایجاد نکرد.{{sfn|Livio|2003|pp=۸۸–۹۶}}

[[لوکا پاچیولی]] کتاب خود را با نام ''[[در باب تناسب الهی]]'' (۱۵۰۹ میلادی) را بر اساس همین نسبت نامگذاری نمود، این کتاب خواص این نسبت همچون ظهور آن در برخی از [[جسم افلاطونی|اجسام افلاطونی]] را نیز در بر می‌گرفت.<ref name="Pacioli"/>{{sfn|Livio|2003|pp=۱۳۱–۱۳۲}} [[لئوناردو داوینچی]]، که کتاب مذکور را تصویر آرایی نمود، از این نسبت، ''sectio aurea'' (به معنی «مقطع طلایی») یاد نمود.<ref>{{cite journal|last=Baravalle|first=H. V.|title=The geometry of the pentagon and the golden section|url=https://archive.org/details/sim_mathematics-teacher_1948_41_1/page/22|journal=Mathematics Teacher|volume=41|year=1948|pages=22–31}}</ref> ریاضی‌دانان قرن ۱۶م میلادی چون [[رافائل بومبلی|رافائل بومیلی]]، برخی از مسائل هندسی را با کمک این نسب حل نمودند.{{sfn|Livio|2003|p=۱۴۱}}

ریاضی‌دان آلمانی به نام سیمون جیکوب (فوت در ۱۵۶۴ میلادی) خاطر نشان می‌سازد که اعداد فیبوناچی پیاپی، به نسبت طلایی میل می‌کنند (یعنی نسبت اعداد فیبوناچی پشت سرهم)؛<ref>{{cite journal|doi= 10.1006/hmat.1995.1033|title=A Supplement to J. Shallit's Paper "Origins of the Analysis of the Euclidean Algorithm"|journal=[[Historia Mathematica]]|volume=22|issue=4|pages=422–424|year=1995|last1=Schreiber|first1=Peter}}</ref> این حقیقت مجدداً توسط [[یوهانس کپلر]] در ۱۶۰۸ میلادی کشف شد.{{sfn|Livio|2003|pp=۱۵۱–۱۵۲}} اولین تخمین در [[مبنای ده]] از معکوس نسبت طلایی، در سال ۱۵۹۷ میلادی توسط [[میشائل مستلین|مایکل مستلین]] از [[دانشگاه توبینگن]]، در قالب نامه‌ای به دانش‌آموز گذشتهٔ خود به نام کپلر، به صورت «حدوداً ۰٫۶۱۸۰۳۴۰» بیان شد.<ref>{{cite web| url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Golden_ratio.html | title = The Golden Ratio | work = The MacTutor History of Mathematics archive | access-date = 2007-09-18}}</ref> در همان سال، کپلر به مستلین از مثلث کپلر نامه نوشت و در آن نسبت طلایی را با قضیه فیثاغورس ترکیب نمود. کپلر اینگونه می‌نویسد:

{{گفتاورد|هندسه دو گنجینه بزرگ دارد: یکی از آن‌ها قضیه فیثاغورس است، دیگری تقسیم خط به دو نسبت غایی و میانگین است. اولین قسمت را می‌توانیم به توده‌ای از طلا مقایسه کنیم، دومی را می‌توان نوعی جواهر قیمتی در نظر گرفت.<ref name=Fink>{{cite book | title = A Brief History of Mathematics: An Authorized Translation of Dr. Karl Fink's Geschichte der Elementar-Mathematik |last1=Fink |first1=Karl |last2=Beman |first2=Wooster Woodruff |last3=Smith |first3=David Eugene |author-link3=David Eugene Smith |publisher=Open Court Publishing Co |location=Chicago |date=1903 |edition=2nd |page=223 |url=https://archive.org/details/bub_gb_3hkPAAAAIAAJ/page/n238}}</ref>}}

ریاضی‌دانان قرن ۱۸م میلادی به نام‌های [[ابراهام دو مواور]]، [[دانیل برنولی]]، و [[لئونارد اویلر]] از فرمولی بر مبنای نسبت طلایی استفاده نمودند که مقدار عدد فیبوناچی را بر پایه موقعیتش در دنباله به‌دست می‌آورد؛ در ۱۸۴۳ میلادی، این حقیقت توسط جکوئس فیلیپ ماری بینت، مجدداً کشف شد و از همین رو این فرمول به «فرمول بینت» (Binet's Formula) معروف شد.<ref>{{MathWorld|title=Binet's Fibonacci Number Formula|urlname=BinetsFibonacciNumberFormula}}</ref> مارتین اهم، اولین کسی بود که از اصطلاح آلمانی ''goldener Schnitt'' (به معنی «مقطع طلایی») جهت توصیف این نسبت در ۱۸۳۵ میلادی استفاده نمود.<ref>{{Cite book | title = A Mathematical History of Division in Extreme and Mean Ratio | last = Herz-Fischler | first = Roger | publisher = Wilfrid Laurier University Press | year = 1987 | isbn = 978-0-88920-152-1 | url-access = registration | url = https://archive.org/details/mathematicalhist0000herz_z2u3}}</ref> جیمز سولی در سال ۱۸۷۵ میلادی از اصطلاح انگلیسی معادلی برای آن استفاده نمود.<ref>{{Cite book|last1=Posamentier|first1=Alfred S.|author-link1=Alfred S. Posamentier|last2=Lehmann |first2=Ingmar|title=The Glorious Golden Ratio|url=https://books.google.com/books?id=Gw-lqvE6fNgC&pg=PT8|year=2011|publisher=[[Prometheus Books]]|isbn=978-1-61614-424-1|page=8}}</ref>

در ۱۹۱۰ میلادی، ریاضی‌دانی به نام مارک بار، شروع به استفاده از الفبای یونانی [[فی]] «<math>\varphi</math>»، به عنوان نمادی برای نسبت طلایی نمود.<ref>{{Cite book|last1=Posamentier|first1=Alfred S.|author-link1=Alfred S. Posamentier|last2=Lehmann |first2=Ingmar|title=The Glorious Golden Ratio|url=https://books.google.com/books?id=Gw-lqvE6fNgC&pg=PT285|year=2011|publisher=[[Prometheus Books]]|isbn=978-1-61614-424-1|page=285}}</ref>{{efn|After Classical Greek sculptor [[Phidias]] (c. &nbsp;490–430&nbsp;BC);<ref>{{Cite book|last=Cook|first=Theodore Andrea|author-link=Theodore Andrea Cook|title=The Curves of Life|year=1914|page=420|url=https://archive.org/details/cu31924028937179/page/n455|publisher=Constable and Company Ltd|location=London}}</ref> Barr later wrote that he thought it unlikely that Phidias actually used the golden ratio.<ref>{{cite magazine|first=Mark|last=Barr|title=Parameters of beauty|magazine=[[Architecture (magazine, 1900–1936)|Architecture]] (NY)|volume=60|page=325|year=1929}} Reprinted: {{cite magazine|title=Parameters of beauty|magazine=Think|volume= 10–11|publisher=International Business Machines Corporation|year=1944}}</ref>}} همچنین این عدد با نماد <math>\tau</math> ([[تاو]])، حرف اول کلمه ای از [[یونان باستان]] (τομή به معنای «برش» یا «مقطع») نیز نمایش داده شده.{{sfn|Livio|2003|p=5}}<ref>{{Mathworld|title=Golden Ratio|urlname=GoldenRatio}}</ref>

[[راجر پنروز]]، بین سال‌های ۱۹۷۳ و ۱۹۷۴ میلادی، [[کاشی‌کاری]] پنروز را توسعه داد که الگویی مرتبط با نسبت طلایی است، هم از نظر نسبت مساحت‌های دو کاشی [[لوزی]] شکل آن و همچنین از نظر فراوانی نسبی‌شان در الگو.<ref>{{cite book |last=Gardner |first=Martin |author-link=Martin Gardner |title=The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems|publisher=W.W. Norton & Company|year=2001|isbn=978-0-393-02023-6|pages=77, 88|url=https://books.google.com/books?id=orz0SDEakpYC&pg=PA88}}</ref> کاشی‌کاری پنروز منجر به کشف [[شبه‌کریستال]]‌ها توسط [[دن شختمن]] در اوایل دهه ۱۹۸۰ میلادی شد،<ref>{{cite web|url=http://www.bloomberg.com/news/2011-10-05/technion-s-shechtman-wins-chemistry-nobel-for-discovery-of-quasicrystals.html|title=Tecnion's Shechtman Wins Nobel in Chemistry for Quasicrystals Discovery|last=Gerlin|first=Andrea|date=October 5, 2011|website=[[Bloomberg News|Bloomberg]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20141205014945/http://www.bloomberg.com/news/2011-10-05/technion-s-shechtman-wins-chemistry-nobel-for-discovery-of-quasicrystals.html|archive-date=December 5, 2014|access-date=January 4, 2019}}</ref><ref>{{citation|title=Introduction to the Mathematics of Quasicrystals|first=Marko V.|last=Jaric|publisher=Elsevier|year=2012|isbn=978-0-323-15947-0|page=x|url=https://books.google.com/books?id=OToVjZW9CKMC&pg=PR10|quote=Although at the time of the discovery of quasicrystals the theory of quasiperiodic functions had been known for nearly sixty years, it was the mathematics of aperiodic Penrose tilings, mostly developed by [[Nicolaas de Bruijn]], that provided the major influence on the new field.}}</ref> برخی از این شبه‌بلورها از خود تقارن بیست‌وجهی بروز می‌دهند.{{sfn|Livio|2003|pp=203–209}}<ref>{{cite journal |title=Quasicrystalline Materials|journal=[[American Scientist]]|volume=84|issue=3|pages=230–241|year=1996|last1=Goldman|first1=Alan I.|display-authors= et al.}}</ref>

== طبیعت ==
[[لئوناردو دا وینچی]] اولین کسی بود که نسبت دقیق استخوان‌های انسان را اندازه‌گیری نمود و ثابت کرد که این تناسبات با ضریب عدد طلایی هستند.

[[کپلر]] (Johannes Kepler 1571-1630) منجم معروف نیز علاقه بسیاری به نسبت طلایی داشت بگونه‌ای که در یکی از کتاب‌های خود این‌گونه نوشت: «هندسه دارای دو گنج بسیار با اهمیت می‌باشد که یکی از آن‌ها [[قضیه فیثاغورث]] و دومی رابطه تقسیم یک [[پاره‌خط|پاره خط]] با نسبت طلایی می‌باشد. اولین گنج را می‌توان به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد». تحقیقاتی که کپلر راجع به مثلثی که اضلاع آن به نسبت اضلاع مثلث مصری باشد به حدی بود که امروزه این مثلث به مثلث کپلر نیز معروف می‌باشد.

== نسبت طلایی در طبیعت ==
نسبت طلایی به صورت نامحدود در جاهای مختلف استفاده شده‌است و در واقع کسی نمی‌تواند میزان آن‌ها را حساب کند. اغلب می‌توان اعداد فیبوناچی را به تعداد معین در طبیعت پیدا کرد که مطالعه در نحوه رشد گیاهان گوناگون یکی از چیزهایی است که می‌توان نسبت طلایی را مشاهده کرد. بیشتر هنرمندان به همین دلیل از نسبت طلایی در طراحی‌های خود استفاده می‌کنند. چند نمونه از نسبت طلایی در طبیعت را در زیر معرفی کرده‌ایم:
* '''میوه و دانه‌های آن و سبزیجات:''' اگر کمی به مرکز دانه‌ها توجه کنید و روند تعدادی مارپیچ را دنبال کنید به یکی از اعداد فیبوناچی خواهید رسید. به عنوان مثال اگر تعداد مارپیچ‌های به کار رفته در دانهٔ آفتابگردان را بشمرید به [[عدد پی]] در دنبالهٔ فیبوناچی خواهید رسید. همچنین می‌توان الگوریتم این مارپیچ‌ها را در کلم، کاهو و آناناس نیز مشاهده کرد.
* '''گل‌ها و شاخه‌های درختان:''' گیاهان و شاخه‌های درختان جزو مواردی هستند که به راحتی می‌توانید نسبت طلایی را در آن‌ها مشاهده کنید. اگر به روند رشد یک درخت در طولانی مدت نگاه کنید، مسیر رشد یک دنباله فیبوناچی را تشکیل می‌دهد. برای گل‌ها نیز این چنین است و اگر تعداد گلبرگ‌های یک گل را بشمارید، غالباً تعداد کل را به عنوان یکی از اعداد در دنباله فیبوناچی خواهید دید. نمونهٔ بارز آن نیز گلبرگ‌های گل رز است.
* '''آناتومی بدن انسان:''' اگر به خود در آینه نگاه کنید این نسبت را درک خواهید کرد. در بدن انسان این تقسیم‌بندی به درستی اجرا شده‌است و حتی در مولکول‌های DNA نیز وجود دارد و در هر مارپیچ از DNA این میزان کاملاً قابل اندازه‌گیری است. 
== جستارهای وابسته ==
* [[عدد گنگ]]
* [[دنباله فیبوناچی]]

== یادداشت‌ها ==
{{یادداشت‌ها}}

== ارجاعات ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله|۲}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
* {{Cite book | last = Livio | first = Mario | author-link = Mario Livio | title = The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number | url = https://books.google.com/books?id=bUARfgWRH14C | orig-year = 2002 | edition = First trade paperback | year = 2003 | publisher = [[Random House|Broadway Books]] | location = New York City | isbn = 978-0-7679-0816-0}}
* {{Cite book | last1 = Stakhov | first1 = Alexey P. | author-link1 = Alexey Stakhov | last2 = Olsen | first2 = Scott | title = The Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science | url = https://books.google.com/books?id=K6fac9RxXREC | year = 2009 | publisher = [[World Scientific Publishing]] | location = Singapore | isbn = 978-981-277-582-5}}
{{پایان چپ‌چین}}

== برای مطالعه بیشتر ==
{{چپ‌چین}}
{{refbegin|30em}}
* {{Cite book
| last = Doczi
| first = György
| title = The Power of Limits: Proportional Harmonies in Nature, Art, and Architecture
| orig-year = 1981
| year = 2005
| publisher = Shambhala Publications
| location = Boston
| isbn = 978-1-59030-259-0
}}
* {{cite book
 | last = Hemenway
 | first = Priya
 | title = Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science
 | url = https://archive.org/details/divineproportion0000heme
 | year = 2005
 | publisher = Sterling
 | location = New York
 | isbn = 978-1-4027-3522-6
 }}
* {{Cite book
| last = Huntley
| first = H. E.
| title = The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty
| url = https://archive.org/details/divineproportion0000hunt
| year = 1970
| publisher = Dover Publications
| location = New York
| isbn = 978-0-486-22254-7
| url-access = registration
}}
* {{Cite book
| last = Joseph
| first = George G.
| title = The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics
| orig-year = 1991
| url = https://archive.org/details/crestofpeacockno00jose
| edition = New
| year = 2000
| publisher = Princeton University Press
| location = Princeton, NJ
| isbn = 978-0-691-00659-8
}}
* {{Cite book
| last = Sahlqvist
| first = Leif
| title = Cardinal Alignments and the Golden Section: Principles of Ancient Cosmography and Design
| edition = 3rd Rev.
| year = 2008
| publisher = BookSurge
| location = Charleston, SC
| isbn = 978-1-4196-2157-4
}}
* {{Cite book
| last = Schneider
| first = Michael S.
| title = A Beginner's Guide to Constructing the Universe: The Mathematical Archetypes of Nature, Art, and Science
| url = https://archive.org/details/beginnersguideto00schn
| year = 1994
| publisher = HarperCollins
| location = New York
| isbn = 978-0-06-016939-8
}}
* {{Cite book
| last = Scimone
| first = Aldo
| title = La Sezione Aurea. Storia culturale di un leitmotiv della Matematica
| year = 1997
| publisher = Sigma Edizioni
| location = Palermo
| isbn = 978-88-7231-025-0
}}
* {{Cite book
| last = Walser
| first = Hans
| others = Peter Hilton trans.
| title = The Golden Section
| orig-year = ''Der Goldene Schnitt'' 1993
| url = https://archive.org/details/goldensection0000wals
| year = 2001
| publisher = The Mathematical Association of America
| location = Washington, DC
| isbn = 978-0-88385-534-8
| url-access = registration
}}
{{refend}}
{{پایان چپ‌چین}}

== پیوند به بیرون ==
<!--======================== {{No more links}} ============================
  | PLEASE BE CAUTIOUS IN ADDING MORE LINKS TO THIS ARTICLE. Wikipedia |
  | is not a collection of links nor should it be used for advertising. |
  | |
  | Excessive or inappropriate links WILL BE DELETED. |
  | See [[Wikipedia:External links]] & [[Wikipedia:Spam]] for details. |
  | |
  | If there are already plentiful links, please propose additions or |
  | replacements on this article's discussion page, or submit your link |
  | to the relevant category at the Open Directory Project (dmoz.org) |
  | and link back to that category using the {{dmoz}} template. |
=== {{No more links}} =========-->
{{چپ‌چین}}
* {{springer|title=Golden ratio|id=p/g044570}}
* [http://demonstrations.wolfram.com/GoldenSection/ "Golden Section"] by Michael Schreiber, [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007.
* {{MathWorld|title=Golden Ratio|urlname=GoldenRatio}}
* {{cite web | url = http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/phi.html| title = The Golden section ratio: Phi| last = Knott| first = Ron}} Information and activities by a mathematics professor.
* [https://web.archive.org/web/20071105084747/http://www.contracosta.cc.ca.us/math/pentagrm.htm The Pentagram & The Golden Ratio]. Green, Thomas M. Updated June 2005. Archived November 2007. Geometry instruction with problems to solve.
* [http://www.maa.org/external_archive/devlin/devlin_05_07.html The Myth That Will Not Go Away], by [[Keith Devlin]], addressing multiple allegations about the use of the golden ratio in culture.
* [https://xkcd.com/spiral/ Spurious golden spirals] collected by [[Randall Munroe]]
{{پایان چپ‌چین}}

{{اعداد جبری}}
{{عدد گنگ}}
{{نسبت‌های فلزی}}
{{ریاضیات یونان باستان}}
{{ریاضیات و هنر}}

{{داده‌های کتابخانه‌ای}}

[[رده:نسبت طلایی]]
[[رده:هندسه مسطحه اقلیدسی]]
<!--[[رده:اعداد گنگ]]-->[[رده:اعداد گنگ مربعی]]
[[رده:ثابت‌های ریاضی]]
[[رده:تاریخ هندسه]]
[[رده:نظریه هنرهای تجسمی]]
[[رده:ترکیب‌بندی در هنرهای تجسمی]]