نمایش مبدأ برای میدان مرتب

در [[ریاضیات]]، '''[[میدان (ریاضیات)|میدان]] مرتب''' (ordered field) میدانی است مجهز به [[ترتیب کلی]] عناصر آن که با عملیات میدانی سازگار باشد. مثال پایه از یک میدان مرتب، میدان [[عدد حقیقی|اعداد حقیقی]] است و هر میدان مرتب ددکیند کامل با یک میدان حقیقی یکریخت است.

همچنین هر [[توسیع میدانی|زیر میدان]] یک میدان مرتب، با ارث بردن رابطه ترتیب، خود یک میدان مرتب خواهد بود. هر میدان مرتب شامل یک [[توسیع میدانی|زیر میدان]] مرتب [[یکریختی|یکریخت]] با [[عدد گویا|اعداد گویا]] است. [[مربع (جبر)|مربع]]‌ها لزوماً در یک میدان مرتب نامنفی هستند؛ یعنی [[عدد مختلط|اعداد مختلط]] را نمی‌توان مرتب کرد زیرا مجذور ''i'' [[یکه موهومی]]، [[−۱|۱-]] است. [[میدان متناهی|میدان‌های منتاهی]] را نمی‌توان مرتب کرد.

از لحاظ تاریخی، اصول موضوعهٔ یک میدان مرتب به تدریج توسط ریاضیدانانی از جمله [[داویت هیلبرت]]، اتو هولدر و [[هانس هان]] از اعداد حقیقی انتزاع شد. این در نهایت به نظریه آرتین-شرایر در میدان‌های مرتب و میدان‌های حقیقی فرمال توسعه داده شد.

== تعاریف ==
دو تعریف مشترک معادل از یک میدان مرتب وجود دارد. تعریف '''ترتیب کلی''' از نظر تاریخی برای اولین بار ظاهر شد و اصل موضوع مرتبه اول <math>\leq</math> به عنوان یک [[رابطه دوتایی]] است. آرتین و شرایر این تعریف را بر حسب '''مخروط مثبت''' در سال ۱۹۲۶ ارائه کردند که زیرمجموعه عناصر نامنفی را تشریح می‌دهد. اگرچه مرتبهٔ دومی مرتبه بیشتر است، ولی ملاحظهٔ مخروط‌های مثبت به عنوان مخروط‌های اضافه ماکسیمال زمینهٔ بزرگ‌تری را فراهم می‌کند که در آن ترتیب‌های میدانی، ترتیب‌های اکسترمال جزئی هستند.

=== ترتیب کلی ===
یک [[میدان (ریاضیات)|میدان]] <math>(F, +, \cdot\,)</math> همراه با یک [[ترتیب کلی]] (اکید) <math>\,<\,</math> روی <math>F</math> یک میدان مرتب است اگر ترتیب برای همهٔ <math>a, b, c \in F</math> خواص زیر را دارا باشد:
* اگر <math>a < b</math> آنگاه  <math>a + c < b + c</math> و{{sfnfa|رودین|۱۳۸۷|ص=۹}}
* اگر <math>a > 0</math> و <math>b > 0</math> سپس <math>a \cdot b > 0</math>{{sfnfa|رودین|۱۳۸۷|ص=۹}}

=== مخروط مثبت ===
یک '''{{لنگر نمایان|مخروط مرتبه اول}}''' یا '''پیش ترتیب''' یک میدان <math>F</math> یک [[زیرمجموعه|زیر مجموعه]] است <math>P \subseteq F</math> که خواص زیر را دارد:{{sfn|Lam|2005|p=289}}
* برای <math>x</math> و <math>y</math> که در <math>P</math> ، هم <math>x + y</math> و هم <math>x \cdot y</math> در <math>P</math> هستند.
* اگر <math>x \in F</math> باشد آنگاه <math>x^2 \in P</math> به‌طور خاص، <math>1^2 = 1 \in P</math>
* عنصر <math>- 1</math> در <math>P</math> نیست.

یک '''{{لنگر نمایان|میدان پیش مرتب}}''' میدانی است که شامل پیش ترتیب <math>P</math> می‌باشد. عناصر ناصفر آن <math>P^*</math> [[زیرگروه|زیر گروهی]] از گروه ضربی <math>F</math>  را تشکیل می‌دهند.

اگر همچنین، مجموعه <math>F</math> اجتماع <math>P</math> و <math>- P,</math> باشد، به <math>P</math> '''مخروط مثبت''' از <math>F</math> می‌گوییم. عناصر ناصفر <math>P</math> عناصر '''مثبت''' <math>F</math>  نامیده می‌شوند.

یک میدان مرتب یک میدان  <math>F</math> به همراه یک مخروط مثبت <math>P</math> است.

پیش ترتیب‌ها روی <math>F</math> دقیقاً محل تلاقی خانواده‌های مخروط‌های مثبت روی <math>F</math> هستند. مخروط‌های مثبت پیش ترتیب‌های ماکسیمال هستند.{{sfn|Lam|2005|p=289}}

=== هم‌ارزی این دو تعریف ===
فرض کنید <math>F</math> یک میدان باشد. یک [[تناظر دوسویه]] بین بین ترتیبات میدانی <math>F</math> و مخروط‌های مثبت از <math>F</math> وجود دارد.

یک ترتیب میدان داده شده ≤ مانند خاصیت اول، مجموعه ای از عناصر را به طوری که <math>x \geq 0</math> باشد، تشکیل یک مخروط مثبت از <math>F</math> می‌دهد. متقابلاً، یک مخروط مثبت داده شده مثل <math>P</math> از <math>F</math> به صورتی که در خاصیت دوم است را می‌توان به یک ترتیب کلی <math>\,\leq_P\,</math> با در نظر گرفتن <math>x \leq_P y</math> بر <math>F</math>  مرتبط کرد به معنی <math>y - x \in P</math>. این ترتیب کلی <math>\,\leq_P\,</math> خواص تعریف اول را برآورده می‌کند.

== نمونه‌هایی از میدان‌های مرتب ==
نمونه‌هایی از میدان‌های مرتب عبارتند از:
* [[عدد گویا|اعداد گویا]]
* [[عدد حقیقی|اعداد حقیقی]]
* هر زیر میدان از یک میدان مرتب، مانند [[عدد جبری|اعداد جبری]] حقیقی یا اعداد محاسبه پذیر
* حوزه [[تابع گویا|توابع گویای]] حقیقی <math>\frac {p(x)} {q(x)}\,</math> ، که <math>p(x)</math> و <math>q(x)</math> [[چندجمله‌ای|چند جمله ای]] با ضرایب حقیقی هستند، <math>q(x) \ne 0\,</math> ، می‌تواند به یک میدان مرتب تبدیل شود با تعریف اینکه <math>\frac {p(x)} {q(x)} > 0\,</math> هرگاه <math>\frac {p_0} {q_0} > 0\,</math> که در آن چند جمله ای <math>p(x)=x</math> برای <math>p(x) = p_0\sdot x^n + \cdots</math> و <math>q(x) = q_0\sdot x^m + \cdots\,</math> از هر چند جمله ای ثابت بزرگتر است. این میدان مرتب [[خاصیت ارشمیدسی|ارشمیدسی]] نیست.
* میدان <math>\mathbb{R}((x))</math> [[سری توانی صوری|سری فرمال لورن]] با ضرایب حقیقی، که در آن ''x'' بی‌نهایت کوچک و مثبت در نظر گرفته می‌شود.
* ترانس سری
* میدان‌های بسته حقیقی
* اعداد فراحقیقی
* [[عدد ابرحقیقی|اعداد ابرحقیقی]]

[[اعداد سورئال]] به جای یک [[مجموعه (ریاضیات)|مجموعه]]، یک [[کلاس (نظریه مجموعه‌ها)|کلاس]] مناسب را تشکیل می‌دهند، اما در غیر این صورت از اصول موضوعهٔ یک میدان مرتب پیروی می‌کنند. هر میدان مرتب را می‌توان در اعداد سورئال نشاند.

== خواص میدان مرتب ==
[[پرونده:Invariance_of_less-than-relation_by_multiplication_with_positive_number.svg|بندانگشتی|خاصیت <math>a > 0 \land x < y \Rightarrow ax < ay</math>]]
[[پرونده:Translation_invariance_of_less-than-relation.svg|بندانگشتی|خاصیت <math>x < y \Rightarrow a+x < a+y</math>]]
برای هر ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' در ''F'':
* یا <math>-a \leq 0\leq a</math>  یا <math>a \leq 0\leq -a</math>.
* می‌توان «نابرابری‌ها» را اضافه کرد: اگر <math>a \leq b</math> و <math>c \leq d</math>، آنگاه <math>a + c \leq b + d</math> .
* می‌توان «نابرابری‌ها را در عناصر مثبت ضرب کرد»: اگر <math>a \leq b</math> و <math>0 \leq c</math>, آنگاه <math>a.c \leq b.c</math> .
* [[رابطه ترایا|ترایایی]] نابرابری: اگر <math>a < b</math> و <math>b < c</math> ، آنگاه <math>a < c</math> .
* اگر <math>a < b</math> و <math>a,b > 0</math>، آنگاه <math>\frac{1}{b} < \frac{1}{a}</math> .
* یک میدان مرتب دارای [[مشخصه (جبر)|مشخصه]] ۰ است. (از آنجا که <math>1 > 0</math>، سپس <math>1 + 1 > 0</math>، و <math>1 + 1 + 1 > 0</math>، و الی آخر. اگر میدان دارای مشخصه <math>p > 0</math> باشد، آنگاه −۱ حاصل جمع <math>p-1</math> تایی‌های خواهد بود، اما -۱ مثبت نیست) به ویژه، میدان‌های متناهی را نمی‌توان مرتب کرد.
* مجذورها نامنفی هستند: برای همهٔ aهای در ''F'' <math>0 \leq a^2</math> .
* هر مجموع نابدیهی از مجذورها ناصفر است. معادلا :: <math>\textstyle \sum_{k=1}^n a_k^2 = 0 \; \Longrightarrow \; \forall k \; \colon a_k = 0 .</math>{{sfn|Lam|2005|p=41}}{{sfn|Lam|2005|p=232}}

هر زیر میدان از یک میدان مرتب نیز یک میدان مرتب است (ترتیب القایی به ارث می‌برد). کوچکترین زیر میدان نسبت به [[عدد گویا|اعداد گویا]] [[یکریختی|یکریخت]] است (مثل هر میدان دیگری با مشخصه ۰) و ترتیب در این زیر میدان گویا مثل ترتیب خود گویاها است. اگر هر عنصر از یک میدان مرتب بین دو عنصر از زیر میدان گویای آن قرار گیرد، آنگاه میدان ''[[خاصیت ارشمیدسی|ارشمیدسی]]'' است. وگرنه چنین میدانی یک میدان مرتب غیر ارشمیدسی است و شامل [[بی‌نهایت‌کوچک|بی‌نهایت کوچک]]‌ها می‌باشد؛ مثلاً، [[عدد حقیقی|اعداد حقیقی]] یک میدان ارشمیدسی را تشکیل می‌دهند، اما [[عدد ابرحقیقی|اعداد ابرحقیقی]] یک میدان غیر ارشمیدسی را تشکیل می‌دهند، زیرا اعداد حقیقی را با عناصر بزرگتر از هر [[عدد طبیعی]] استاندارد می‌توان [[توسیع میدانی|گسترش]] داد.<ref name="BairHenry">{{Cite web|url=http://orbi.ulg.ac.be/bitstream/2268/13591/1/ImplicitDiff.pdf|title=Implicit differentiation with microscopes|publisher=[[دانشگاه لیژ|University of Liège]]|accessdate=2013-05-04|last=Bair, Jaques|last2=Henry, Valérie}}</ref>

یک میدان مرتب ''F'' با میدان عدد حقیقی '''R''' یکریخت است اگر هر زیر مجموعه ناتهی از ''F'' با کران بالا در ''F'' [[اینفیمم و سوپریمم|حداقل کران بالایی]] در ''F'' داشته باشد. این خاصیت نشان می‌دهد که میدان ارشمیدسی{{sfnfa|رودین|۱۳۸۷|ص=۱۰}} است.

=== فضاهای برداری روی یک میدان مرتب ===
[[فضای برداری|فضاهای برداری]] (مخصوصاً ''n''-فضاها) روی یک میدان مرتب، نشان دهندهٔ برخی از ویژگی‌های خاص هستند و ساختارهای خاصی دارند، مثلا: [[جهت (فضای برداری)|جهت‌گیری]]، [[آنالیز محدب|تحدب]]، و [[فضای ضرب داخلی|فضای ضرب داخلی مثبت-معین]]. برای بحث در مورد آن ویژگی‌های <math>R^n</math> '''،''' که می‌توانند به فضاهای برداری بیش از سایر میدان‌های مرتب تعمیم یابند.

== میدان‌های قابل تبدیل به میدان مرتب ==
هر میدان مرتب یک میدان فرمال حقیقی است، برای مثال ۰ را نمی‌توان به صورت مجموع مجذورهای ناصفر نوشت.{{sfn|Lam|2005|p=41}}{{sfn|Lam|2005|p=232}}

متقابلاً، هر میدان فرمال حقیقی شامل یک ترتیب کلی سازگار است که آن را به یک میدان مرتب تبدیل می‌کند. (این ترتیب نیازی به تعیین منحصر به فرد نیست) برای اثبات از [[لم زرن|لم زورن]] استفاده می‌شود.{{sfn|Lam|2005|p=236}}

[[میدان متناهی|میدانهای متناهی]] و به‌طور کلی میدان‌های [[مشخصه (جبر)|مشخصه]] مثبت را نمی‌توان به میدان‌های مرتب تبدیل کرد، زیرا در مشخصه ''p''، عنصر -۱ را می‌توان به صورت مجموع (<math>p-1</math>) مجذورهای <math>1^2</math> نوشت. [[عدد مختلط|اعداد مختلط را]] نیز نمی‌توان به یک میدان مرتب تبدیل کرد، زیرا -۱ مجذوری از [[یکه موهومی]] ''i'' است. همچنین، [[عدد پی-ادیک|اعداد ''p'' -adic]] را نمی‌توان مرتب کرد، زیرا طبق لم هنسل، '''Q''' <sub>2</sub> شامل ریشهٔ زوج ۷- است، پس <math>1^2+1^2+1^2+2^2+(\surd(-7))^2=0</math> ، و '''Q''' <sub>''p''</sub> (<math>p > 2</math>) حاوی یک جذر <math>p-1</math> است، بنابراین <math>(p-1)* 1^2 + (\surd(1-p))^2 = 0</math>.{{efn|مجذورات <math>\sqrt{-7}</math> و <math>\sqrt{1-p}</math> در <math>\mathbb{Q}</math> قرار داشته اما منفی هستند، لذا این ریشه‌ها نمی‌توانند در <math>\mathbb{Q}</math> باشند، یعنی توسیع <math>\mathit{p}</math>-ادیک هایشان متناوب نیستند.}}

== توپولوژی ناشی از ترتیب ==
اگر ''F'' به [[توپولوژی ترتیبی]] شامل مرتبه کلی ≤ باشد، آنگاه اصول موضوع تضمین می‌کنند که عملیات + و × [[تابع پیوسته|پیوسته]] هستند، پس ''F'' یک [[میدان (ریاضیات)|میدان]] توپولوژیکی است.

== توپولوژی هریسون ==
'''توپولوژی هریسون'''، یک توپولوژی در مجموعه‌ای از ترتیبات <math>X_F</math> از یک میدان فرمال حقیقی <math>F</math> است. هر مرتبه را می‌توان به عنوان یک همومورفیسم گروهی ضربی از *F بروی <math>\pm 1</math> در نظر گرفت. با قرار دادن <math>\pm 1</math> [[فضای گسسته|توپولوژی گسسته]] و <math>\pm 1 ^ F</math> [[توپولوژی حاصل‌ضربی|توپولوژی ضربی]]، [[توپولوژی زیرفضایی|توپولوژی زیرفضا]]<nowiki/>ی <math>X_F</math> را القا می‌کند. '''مجموعه هریسون''' <math>H(a) = \{ P \in X_F : a \in P \}</math> [[زیرپایه (توپولوژی)|زیرپایه ی]] توپولوژی هریسون را تشکیل می‌دهد. حاصل یک فضای بولین است ([[فضای فشرده]]، [[فضای هاسدورف]] و کاملاً منقطع) و <math>X_F</math> زیرمجموعه‌ای بسته بوده، لذا مجدداً بولین است.{{sfn|Lam|2005|p=271}}{{sfn|Lam|1983|pp=1-2}}

== فن‌ها و میدان‌های فوق مرتب ==
یک '''فَن''' (fan) روی <math>F</math> پیش ترتیبی چون <math>T</math> است با این ویژگی که اگر <math>S</math> زیرگروهی از شاخص ۲ در <math>F^{*}</math> شامل <math>T - \{0\}</math> بوده و شامل ۱- نباشد، آنگاه <math>S</math> یک ترتیب است (یعنی <math>S</math> تحت عمل جمع بسته‌است).{{sfn|Lam|1983|p=۳۹}} '''میدان فوق مرتب''' میدانی کلاً حقیقی است که در آن مجموع مربعات یک فن را تشکیل می‌دهند.{{sfn|Lam|1983|p=۴۵}}

== یادداشت‌ها ==
{{یادداشت‌ها}}

== ارجاعات ==
{{پانویس|۲}}

== منابع ==
{{پانویس}}
{{آغاز منابع}}
{{چپ‌چین}}
* {{citation|last=Lam|first=T. Y.|title=Orderings, valuations and quadratic forms|series=CBMS Regional Conference Series in Mathematics|volume=52|publisher=[[انجمن ریاضی آمریکا (AMS)|American Mathematical Society]]|year=1983|isbn=0-8218-0702-1|zbl=0516.12001|url-access=registration|url=https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt}}
* {{cite book|title=Introduction to Quadratic Forms over Fields|volume=67|series=Graduate Studies in Mathematics|first=Tsit-Yuen|last=Lam|publisher=American Mathematical Society|year=2005|isbn=0-8218-1095-2|zbl=1068.11023}}
* {{Lang Algebra|edition=3}}
{{پایان چپ‌چین}}
* {{یادکرد کتاب|نام خانوادگی = رودین|نام = والتر|عنوان = اصول آنالیز ریاضی|ترجمه = علی اکبر عالم زاده|ناشر = علمی و فنی |شهر = تهران|سال = ۱۳۸۷|شابک= 9789646215009}}
{{پایان منابع}}

[[رده:ساختارهای جبری مرتب]]
[[رده:گروه‌های مرتب]]
[[رده:هندسه جبری حقیقی]]