نمایش مبدأ برای میانه (آمار)

'''میانه''' {{انگلیسی|Median}} در [[آمار]] و [[نظریه احتمالات]] یکی از [[سنجش‌های گرایش به مرکز]] است. میانه عددی است که یک [[جمعیت آماری]] یا یک [[توزیع احتمال|توزیع احتمالی]] را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند.
یکی از مزیت‌های مهم میانه نسبت به میانگین این است که میانه از اعداد بسیار بزرگ و بسیار کوچک مجموعهٔ اندازه‌ها متأثر نمی‌شود.<ref>{{پک|هادی رنحبران|۱۳۸۴|ک=آمار و احتمال|ص=۱۴}}</ref>

یکی از مهم‌ترین خاصیت میانه این است که مجموع قدر مطلق تفاوت‌های مقادیر مختلف [[متغیر تصادفی]] از میانه [[کمینه]] است.<ref>{{پک|هادی رنحبران|۱۳۸۴|ک=آمار و احتمال|ص=۱۴}}</ref> یعنی:
{{وسط چین}}
<math>\sum_{i=1}^N |x_i - M|=min</math>
{{پایان وسط چین}}

== بررسی میانه در مجموعه متناهی ==
[[File:میانه در فضای گسسته.png|thumb|دو مثال از میانه در دو مجموعه متناهی فرد عضوی و زوج عضوی]]
برای پیدا کردن میانه در یک مجموعه <math>N</math> عضوی:

# ابتدا باید اعداد را از کوچک به بزرگ مرتب کرد.
# اگر تعداد اعداد مجموعه مرتب شده، [[فرد]] باشد عدد وسط میانه (عدد ردیف <math>\frac{N+1}{2}</math>) خواهد بود.<ref>{{پک|هادی رنحبران|۱۳۸۴|ک=آمار و احتمال|ص=۱۳}}</ref> به‌طور مثال در مجموعه هفت عضوی {۱٬۳٬۳٬۵٬۷٬۸٬۹} میانه عدد چهارم یعنی ۵ است.
# اگر تعداد اعداد مجموعه مرتب شده، [[زوج]] باشد، میانه برابر [[میانگین]] دو عدد میانی (عددهای ردیف <math>\frac{N}{2}</math> و <math>\frac{N}{2} +1</math>) خواهد بود.<ref>{{پک|هادی رنحبران|۱۳۸۴|ک=آمار و احتمال|ص=۱۳}}</ref> به‌طور مثال در مجموعه هشت عضوی {۱٬۲٬۳٬۳٬۵٬۶٬۷٬۱۰} میانه برابر میانگین اعداد چهارم و پنجم (۳ و ۵)، یعنی ۴ خواهد بود.

== مقایسه میانه، میانگین و مد ==
{{همچنین ببینید|میانگین|مد (آمار)}}

{| class="wikitable"
|+ مقایسه مشترک [[شاخص‌های مرکزی]] در مجموعه { ۱۰, ۷, ۶, ۵, ۳, ۳, ۲, ۱ }
! نوع
! توضیح
! مثال
! نتیجه
|-
| align="center" | [[میانگین حسابی]]
| جمع ارزش یک مجموعه داده تقسیم بر تعداد ارزش‌ها: <math>\scriptstyle\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i</math>
| align="center" |۸ / (۱+۲+۳+۳+۵+۶+۷+۱۰)
| align="center" | '''۴٫۶۲۵'''
|-
| align="center" | میانه (آمار)
| ارزش عددی واقع شده در وسط یک مجموعه داده <sub>پس از حذف بزرگترین و کوچکترین داده از مجموعه</sub>
| align="center" | ۱۰, ۷, ۶, '''۵''', '''۳''', ۳, ۲, ۱
| align="center" | '''۴=۲÷(۳+۵)'''
|-
| align="center" | [[مد (آمار)|مد]]
| پر تکرارترین ارزش در یک مجموعه داده
| align="center" | ۱۰, ۷, ۶, ۵, '''۳''', '''۳''', ۲, ۱
| align="center" | '''۳'''
|}
== محاسبه‌ی میانه در داده‌های طبقه بندی شده==
ابتدا از فرمول <math>\frac{N}{2}</math> محل میانه به دست می‌آید. سپس در ستون [[فراوانی تجمعی]]، اولین ستونی که [[فراوانی تجمعی]] آن بزرگ‌تر یا مساوی <math>\frac{N}{2}</math> در نظر گرفته می‌شود، میانه از رابطه زیر به دست می‌آید.
{{چپ چین}}
<math>me=L_i+\frac{\frac{N}{2} - F_{i-1}}{f_i}C</math>
{{پایان چپ چین}}
که ستون <math>i</math>م ستون شامل میانه، <math>F_i</math> [[فراوانی تجمعی]] ستون پیشین ستون شامل میانه، <math>L_i</math> حد پایین طبقه میانه‌دار، <math>f_i</math> [[فراوانی مطلق|فراوانی]] ستون شامل میانه، <math>C</math> طول بازه و <math>N</math> تعداد داده‌ها است.

به‌طور مثال در جدول توزیع فراوانی زیر:

{| class="wikitable"
! بازه
! ۵ تا ۹
! ۱۰ تا ۱۴
! ۱۵ تا ۱۹
! ۲۰ تا ۲۴
|-
| align="center" | [[فراوانی]] (<math>f_i</math>)
| align="center"| ۳
| align="center"| ۷
| align="center"| ۴
| align="center"| ۴
|-
| align="center" |[[فراوانی تجمعی]]
| align="center" | ۳
| align="center" | ۱۰
| align="center" | ۱۴
| align="center"| ۱۸
|}

{{چپ چین}}
<math>\frac{N}{2}=\frac{18}{2}=9 \rightarrow </math>میانه در ستون دوم است

<math>me=L_2 + (\frac{\frac{N}{2} - F_1}{f_2})C=10+(\frac{9-3}{7})\times 4=13.42</math>
{{پایان چپ چین}}
پس میانه در جدول توزیع فراوانی بالا برابر ۱۳/۴۲ است.

== میانه در توزیع متغیر تصادفی پیوسته ==
[[File:نمایش مد، میانه و میانگین در یک تابع توزیع احتمال.png|thumb|نمایش مد، میانه و میانگین در یک تابع توزیع احتمال.<ref>{{cite web|title=AP Statistics Review - Density Curves and the Normal Distributions|url=http://apstatsreview.tumblr.com/post/50058615236/density-curves-and-the-normal-distributions?action=purge|accessdate=16 March 2015|archiveurl=https://web.archive.org/web/20150402183703/http://apstatsreview.tumblr.com/post/50058615236/density-curves-and-the-normal-distributions?action=purge|archivedate=۲ آوریل ۲۰۱۵|dead-url=yes}}</ref>]]

برای هر [[توزیع احتمال]] f با [[تابع توزیع تجمعی]] F میانه m نقطه‌ای نقطه‌ای تعریف می‌شود که:
{{چپ چین}}
:<math>\operatorname{P}(X\leq m) \geq \frac{1}{2}\text{ و }\operatorname{P}(X\geq m) \geq \frac{1}{2}\,\!</math>
{{پایان چپ چین}}
نامساوی‌های بالا را می‌توان به شکل انتگرالی نیز نشان داد:
{{چپ چین}}
:<math>\int_{(-\infty,m]} dF(x) \geq \frac{1}{2}\text{ و }\int_{[m,\infty)} dF(x) \geq \frac{1}{2}\,\!</math>
{{پایان چپ چین}}
با توجه به این که تابع [[توزیع احتمال]] f برابر با مشتق [[تابع توزیع تجمعی]] F است داریم:
{{چپ چین}}
:<math>\operatorname{P}(X\leq m) = \operatorname{P}(X\geq m)=\int_{-\infty}^m f(x)\, dx=\int_m^{\infty} f(x)\, dx=\frac{1}{2}.\,\!</math>
{{پایان چپ چین}}
[[File:مقایسه مد، میانه و میانگین.png|thumb|مقایسه مُد، میانه و میانگین در دو [[توزیع لگاریتمی نرمال]] با [[انحراف معیار]]های متفاوت]]

== جستارهای وابسته ==
* [[میانگین]]
* [[مد]]
* [[چارک (آمار)|چارک]]
* [[دهک (آمار)|دهک]]
* [[پراکندگی (آمار)|پراکندگی]]

== منابع ==
{{پانویس}}

== برای مطالعهٔ بیشتر ==
* {{یادکرد کتاب|نام خانوادگی = رنجبران| نام = هادی | عنوان = آمار و احتمال|ناشر = نشر کتب دانشگاهی|سال = ۱۳۸۴|مکان = تهران}}
* {{یادکرد-ویکی

|پیوند= http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Median&oldid=200485146
|عنوان= Median
|زبان=انگلیسی
|بازیابی= ۲۶ مارس ۲۰۰۸
}}
{{آمار}}

[[رده:آمار باثبات]]
[[رده:میانگین‌ها]]
[[رده:واژگان آمار]]