نمایش مبدأ برای مکمل دو

{{ویکی‌سازی}}
[[پرونده:Binary Representations.svg|بندانگشتی|مکمل‌دو]]
'''مکمل‌دو''' یا [[متمم (زبان‌شناسی)|متمم]] دو، در [[رایانه|رایانه‌های]] دیجیتال برای ساده کردن عمل [[تفریق]] و سایر عملیات منطقی به کار می‌روند. از این روش برای نمایش و کار با اعداد علامت‌دار ([[اعداد منفی]] و [[اعداد مثبت]]) استفاده می‌گردد. ''مکمل‌دو'' روش موفقی برای اینکار است چرا که ساده‌ترین روش برای [[مدار الکتریکی|مدارات الکتریکی]] است تا یک عدد علامت‌دار را محاسبه نمایند. هرچند در گذشته روش‌های دیگری مانند [[مکمل یک|مکمل‌یک]] استفاده می‌گردید، اما رایانه‌های امروزی از روش ''مکمل‌دو'' استفاده می‌کنند.

در هر مبنایی مثل r، دو نوع متمم وجود دارد. یکی متمم مبنا و دیگری متمم مبنای کاهش یافته. در مبنای دو یا همان [[دستگاه اعداد دودویی]] نیز، دو نوع متمم وجود دارد. یکی متمم دوم یا همان متمم مبنا و دیگری متمم اول یا همان متمم مبنای کاهش یافته.

مکمل دو یک عدد k بیتی مانند n برابر است با <math>2^k-n </math>

== مکمل دو و عملیات های ریاضی ==

مدار هایی که عملیات های ریاضی جمع و ضرب اعداد k بیتی را انجام می دهند، عموما این کار را به پیمانه  <math>2^k</math> انجام می دهند. یعنی اگر مثلا مداری دارید که اعداد ۴ بیتی را جمع می زند، و به آن  <math>13=(1101)_2</math> و  <math>9=(1001)_2</math> را ورودی دهید، آن مدار به شما  <math>( (13+9) \mod 2^4 )= ( 22 \mod 16 )= 6= (0110)_2 </math> را تحویل می دهد.

اگر این خاصیت را کنار این خاصیت مکمل دو بگذاریم که "مکمل دو هر عدد با منفی آن عدد به پیمانه  <math>2^k</math> همنهشت است"، می توانیم در عملیات های ریاضی به جای منفی اعداد، از مکمل دو آن ها استفاده کنیم.

=== مثال ===

فرض کنید با دستگاه های ۴ بیتی کار می کنیم.

مکمل دو عدد ۳، برابر  <math>2^4-3 = 13 </math> است.

جمع ۵ با منفی ۳ یا همان ۵ منهای ۳، برابر  <math>5+13 \mod 16 = 2 </math> است.

ضرب 2 در منفی ۳ با دستگاه های ۴ بیتی، برابر  <math>2*13 \mod 16 = 10 </math> است که ۱۰ طبق تعریف، مکمل دو عدد 6 یا همان منفی 6 است.

== شیوه‌های یافتن مکمل اول و مکمل دوم ==
در دستگاه اعداد دودویی پیدا کردن [[مکمل یک]] اعداد بسیار ساده‌است. کافیست به جای صفرها، یک، و به جای یک‌ها صفر قرار دهید.

''' مثال یک '''

 متمم اول عدد (۱۰۱۱۰۰۰)<sub>۲</sub> برابر است با (۰۱۰۰۱۱۱)<sub>۲</sub>

''' مثال دو '''

 متمم اول عدد (۰۱۰۱۱۰۱)<sub>۲</sub> برابر است با (۱۰۱۰۰۱۰)<sub>۲</sub>

''' مثال سه '''

همانطور که می‌بینید در این مثال با رها کردن دو صفر کم ارزش‌تر و اولین ۱ و سپس جایگزینی همهٔ ۱ها با ۰ها و همهٔ ۰ها با ۱ها در چهار رقم باارزش‌تر باقی‌مانده ، یا با با معکوس کردن (تغییر یک به صفر، و بلعکس) و جمع کردن عدد یک با عدد معکوس شده، مکمل دوم آن بدست می‌آید.
 متمم دوم عدد (۱۱۰۱۱۰۰)<sub>۲</sub> برابر است ب ا (۰۰۱۰۱۰۰)<sub>۲</sub>

''' مثال چهار'''
 متمم دوم عدد (۰۱۱۰۱۱۱)<sub>۲</sub> برابر است با (۱۰۰۱۰۰۱)<sub>۲</sub>

== منابع ==
* کتاب طراحی دیجیتال (مدار منطقی)، تألیف موریس مانو، سال ۱۹۲۷ - فصل اول بخش ۱-۵

[[رده:واژگان عمومی رایانه]]
[[رده:محاسبه اعداد دودویی]]