نمایش مبدأ برای مقدارویژه و بردارویژه

{{Short description|بردارهایی که به مضارب اسکالر خود نگاشته شده، به همراه اسکالرهای متناظر}}
در [[جبر خطی]]، یک '''بردارویژه''' {{به انگلیسی|Eigenvector|{{IPAc-en|ˈ|aɪ|g|ə|n|ˌ|v|ɛ|k|t|ər}}}} یا '''بردار مشخصه''' یک [[تبدیل خطی]]، یک بردار ناصفر است که وقتی آن تبدیل خطی رویش اعمال شود، حاصل برابر [[اسکالر (ریاضی)|اسکالری]] ضرب در آن بردار خواهد بود (این کار باعث تغییر مقیاس، یا تغییر اندازه بردار می‌شود، ولی راستا آن را تغییر نمی‌دهد). '''مقدارویژه''' {{به انگلیسی|Eigenvalue}} متناظر با یک بردار ویژه که اغلب به صورت <math>\lambda</math><ref>{{Cite web|date=2020-03-25|title=Comprehensive List of Algebra Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|access-date=2020-08-19|website=Math Vault|language=en-US}}</ref> نشان داده می‌شود، همان اسکالری است که در توصیف بردار ویژه ضرب شد.

از نظر [[هندسه|هندسی]]، یک بردارویژه متناظر با یک مقدارویژه [[عدد حقیقی|حقیقی]] ناصفر، به سمتی اشاره می‌کند که توسط تبدیل خطی مورد نظر کشیده می‌شود، همچنین مقدارویژه متناظر با این بردار ویژه نیز فاکتوری است که توسط آن کشیدگی صورت گرفته. اگر مقدارویژه منفی باشد، جهت برعکس می‌شود.{{sfn|Burden|Faires|1993|p=۴۰۱}} به بیان نادقیق، در فضای برداری چند بعدی، بردارویژه دوران نمی‌کند.

== تعریف صوری ==
اگر <math>T</math> یک [[تبدیل خطی]] از [[فضای برداری]] <math>V</math> به خودش، روی میدانی چون <math>F</math> باشد، و <math>\mathbf v</math> یک بردار ناصفر در <math>V</math> باشد، آنگاه <math>\mathbf v</math> یک بردارویژه <math>T</math> است اگر <math>T(\mathbf v)</math> ضریب [[اسکالر (ریاضی)|اسکالری]] از <math>\mathbf v</math> باشد. بدین شکل:

:<math>T(\mathbf{v}) = \lambda \mathbf{v},</math>

که در آن <math>\lambda</math> یک [[اسکالر (ریاضی)|اسکالر]] در <math>F</math> است که به آن '''مقدارویژه'''، '''مقدار مشخصه''' یا '''ریشه مشخصه''' متناظر با <math>\mathbf v</math> نیز می‌گویند.

برای یک پایه خاص، تناظر مستقیمی بین [[ماتریس مربعی|ماتریس‌های مربعی]] n-در-n و تبدیلات خطی از یک فضای برداری n-بعدی به خودش وجود دارد. ازین رو، در یک فضای برداری متناهی-بعدی، به‌طور معادل می‌توان مقادیر و بردار ویژه‌ها را با استفاده از زبان ماتریس‌ها یا زبان تبدیلات خطی توصیف نمود.{{sfn|Herstein|1964|pp=228, 229}}{{sfn|Nering|1970|p=۳۸}}

اگر <math>V</math> یک فضای برداری [[مجموعه متناهی|متناهی]]-[[بعد (فضای برداری)|بعدی]] باشد، تعریف فوق معادل است با:<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Eigenvalue|url=https://mathworld.wolfram.com/Eigenvalue.html#:~:text=Eigenvalues%20are%20a%20special%20set,Marcus%20and%20Minc%201988,%20p.|access-date=2020-08-19|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>

:<math>A\mathbf u = \lambda \mathbf u</math>

که در آن <math>A</math> نمایش ماتریسی <math>T</math> و <math>\mathbf u</math> بردار مختصاتی <math>\mathbf v</math> است.

== بررسی کلی ==
مقدارویژه و بردارویژه اغلب در تحلیل تبدیلات خطی بروز پیدا می‌کنند. پیشوند [[زبان انگلیسی|انگلیسی]] ''-eigen'' در انگلیسی از کلمه ''eigen'' [[زبان آلمانی|آلمانی]] گرفته شده (هم‌خانواده با کلمه انگلیسی ''own'') که در آلمانی به معنای «مناسب»، «مشخصه»، «خود» می‌باشد.{{sfn|Betteridge|1965}}<ref name=":0">{{Cite web|title=Eigenvector and Eigenvalue|url=https://www.mathsisfun.com/algebra/eigenvalue.html|access-date=2020-08-19|website=www.mathsisfun.com}}</ref> در اصل، از این مفاهیم جهت مطالعه محورهای اصلی دوران [[جسم صلب|اجسام صلب]] استفاده می‌شد، اما بعد کاربردهای گسترده‌تری چون این موارد پیدا کردند: [[تحلیل پایداری]]، [[تحلیل ارتعاش]]، [[اوربیتال اتمی|اوربیتال‌های اتمی]]، [[تشخیص چهره]] و [[قطری سازی ماتریس]].

اساساً بردار ویژه ای چون <math>\mathbf{v}</math> از یک تبدیل خطی <math>T</math>، برداری ناصفر است با این ویژگی که اگر <math>T</math> بر آن اعمال شود، تغییر راستا ندهد. اعمال <math>T</math> به بردارویژه مورد نظر، تنها مقیاس بردار ویژه را به نسبت <math>\lambda</math> تغییر می‌دهد (یعنی طول آن را تغییر می‌دهد)، به <math>\lambda</math> مقدارویژهٔ بردارویژه <math>\mathbf{v}</math> گویند. این شرط را می‌توان با معادله زیر بیان کرد:

:<math>T(\mathbf{v}) = \lambda \mathbf{v},</math>

که به آن '''معادله ویژه''' گویند. در کل، <math>\lambda</math> ممکن است هر اسکالری باشد. به عنوان مثال، <math>\lambda</math> ممکن است منفی باشد، در این صورت، بردارویژه جهت تحت تغییر مقیاس تغییر جهت می‌دهد، همچنین مقدار ویژه ممکن است صفر یا یک [[عدد مختلط]] باشد.

[[File:Mona Lisa eigenvector grid.png|thumb|left|320px|در این [[نگاشت برشی]]، بردار قرمز تغییر جهت داده اما بردار آبی بین دو تصویر بدون تغییر جهت است. بردار آبی رنگ بردارویژه این نگاشت برشی است چرا که تغییر جهت نداده. از آنجا که بردار آبی تغییر مقیاس هم نداده (یعنی طولش تغییر نیافته‌است)، پس مقدارویژه آن ۱ خواهد بود.]]
تصویر [[مونالیزا|مونا لیزا]] در اینجا، مثالی تصویری و شهودی ازین بحث است. تبدیل خطی در این مثال را نگاشت برشی می‌نامند. نقاط نیمه بالایی به سمت راست جابجا شده‌اند و نقاط نیمه پایینی به سمت چپ. میزان جابجایی نقاط متناسب با این است که به چه میزان از محور افقی فاصله دارند؛ بنابراین بردارهایی که به هر نقطه از تصویر اصلی اشاره کرده بودند، با این تبدیل (بسته به موقعیتشان) طولانی‌تر یا کوتاه‌تر می‌شوند. نقاطی که در طول محور افقی قرار دارند هیچ تغییر موقعیتی نمی‌دهند و جابجا نمی‌شوند؛ لذا، هر برداری که مستقیماً به راست یا چپ اشاره کنند و مؤلفه عمودیشان صفر باشد، بردار ویژه ای برای این تبدیل محسوب می‌شوند، چون تحت این تبدیل تغییر جهت نمی‌دهند. به علاوه، چنین نگاشتی باعث تغییر طول نیز نمی‌شود.

== [[فضای برداری]] با بعد متناهی ==
در فضاهای برداری متناهی، می‌توانیم مسئله مقدارویژهٔ را به شیوهٔ ضرب ماتریسی بنویسیم. ماتریس مربعی <math>A \!</math> نگاشت خطی است. بردار ناصفر <math>x \!</math> را بردارویژه <math>A \!</math> و عدد <math> \lambda \!</math> را مقدارویژه آن می‌گوییم، چنانچه معادله ماتریسی زیر بین آن‌ها برقرار باشد:
{{وسط‌چین}}
{{وسط‌چین}}
<math>A x = \lambda x\!</math>
{{پایان}}
{{پایان وسط‌چین}}
در معادله ماتریسی حاضر دو مجهول وجود دارد: بردارویژه <math>x \!</math> و مقدارویژه <math> \lambda \!</math>. پس حل یکتایی برای آن وجود ندارد.

برای نمونه:

ماتریس زیر را در نظر می‌گیریم:
{{وسط‌چین}}
<div align = "left">
<math>
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
2 & 1 \\
\end{bmatrix}
</math>
</div>
{{پایان وسط‌چین}}
معادله ماتریسی بالا خواهد شد:
{{وسط‌چین}}
<div align = "left">
<math>
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
2 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
  x_1 \\
 x_2 \\
\end{bmatrix}
=
\lambda
\begin{bmatrix}
 x_1 \\
 x_2 \\
\end{bmatrix}
</math>
</div>
{{پایان وسط‌چین}}
ابتدا معادله را به صورت همگن درآورده و بردار
{{وسط‌چین}}
 <math>
\begin{bmatrix}
 x_1 \\
 x_2 \\
\end{bmatrix}
</math>
{{پایان وسط‌چین}}
را که قرار است بردار ویژه ما باشد در فاکتور قرار می‌دهیم:
{{وسط‌چین}}
<div align = "left">
<math>
\begin{pmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
2 & 1 \\
\end{bmatrix}
-
\lambda
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\end{pmatrix}
\begin{bmatrix}
 x_1 \\
 x_2 \\
\end{bmatrix}

= 0
</math>
</div>
{{پایان وسط‌چین}}
در واقع ما از [[ماتریس همانی]] (یکه) دوبعدی به‌خاطر حفظ طبیعت ماتریسی جمله‌ها استفاده کرده‌ایم. پس از ضرب <math> \lambda </math> در ماتریس همانی و تفریق دو ماتریس داریم:
{{وسط‌چین}}
<div align = "left">
<math>
\begin{bmatrix}
1 - \lambda & 2 \\
2 & 1 - \lambda \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
 x_1 \\
 x_2 \\
\end{bmatrix}

= 0
</math>
</div>
{{پایان وسط‌چین}}
معادله ماتریسی حاصل حالتی خاص دارد. به منظور مقایسه و جهت وضوح در ادامه، معادله اسکالر بسیار ساده زیر را در نظر می‌گیریم:
{{وسط‌چین}}
<div align = "left">
<math> a y = 0 \!</math>
</div>
{{پایان وسط‌چین}}
که در اینجا <math> a \!</math> عددی ثابت است. متغیر مجهول <math> y \!</math>، تنها و تنها، زمانی جواب غیر از صفر اختیار می‌کند که داشته باشیم:
{{وسط‌چین}}
<div align = "left">
<math> a = 0 \!</math>
</div>
{{پایان وسط‌چین}}
که در این صورت، هر عددی جواب این معادله است.

برای معادله ماتریسی هم درست همین حالات را داریم؛ یعنی، برای وجود جواب‌های غیر صفر به بردار ویژه
{{وسط‌چین}}
 <math> x =
\begin{bmatrix}
 x_1 \\
 x_2 \\
\end{bmatrix}
</math>
{{پایان وسط‌چین}}
لازم است که [[دترمینان]] [[ماتریس ضرایب]] صفر شود، و اقناع همین شرط است که به شکل‌یابی [[معادله مشخصه]] ماتریس <math> A \!</math> می‌انجامد. پس، داریم:
{{وسط‌چین}}
<div align = "left">
<math>\det\begin{bmatrix} 1-\lambda & 2\\2 & 1-\lambda \end{bmatrix} = (1 - \lambda)^2 - 4 = 0.</math>
</div>
{{پایان وسط‌چین}}
با حل این معادله درجه دوم دو جواب زیر برای دو مقدار ویژه ماتریس مفروض به‌دست می‌آیند:
{{وسط‌چین}}
<div align = "left">
<math> \lambda_1 = 3, \lambda_2 = -1 \!</math>
</div>
{{پایان وسط‌چین}}

== نکات و اشارات ==
تجزیه [[مقادیر ویژه]] را می‌توان تکنیکی بسیار مؤثر و قوی در تبدیل [[پیچیدگی]] به سادگی دانست. با نگاهی دقیق به این معادله می‌شود رمز این توانائی را تا حدودی دید:

[[ضرب ماتریس]] <math>A \!</math> در بردار <math>x \!</math> در سمت چپ (عملی سنگین) به ضرب تنها و تنها یک اسکالر ساده در همان بردار (عملی سبک و سریع) در سمت راست تقلیل یافته‌است.

اگر قرار باشد بردار A در ماتریس T به میزان n بار ضرب شود عمل به توان رساندن T از نظر محاسباتی بسیار پرهزینه و زمان‌بر است. اگر ماتریس T قطری باشد به توان رساندن ماتریس T برابر با، به توان‌رساندن قطر ماتریس است. در صورتی که T قطری نباشد برای کاهش حجم محاسبات و ساده‌سازی، باید از مقدار ویژه و بردار ویژه استفاده کرد.<ref>{{یادکرد وب |نویسنده = |نشانی=https://www.youtube.com/watch?v=Mj6qhtK0hGA |عنوان=Linear Algebra – Changing to the eigenbasis | ناشر = |تاریخ = |تاریخ بازبینی= 23 آوریل ۲۰۲۰}}</ref>

== فضاهای بی‌نهایت بعدی ==
[[تابع پیوسته|توابع پیوسته]] ریاضی را می‌توان بردارهایی با تعداد بی‌نهایت مؤلفه در نظر گرفت، که در فضایی بی‌نهایت بعدی جای گرفته باشد. عمل‌گرهای قابل اعمال بر این‌گونه بردارها هم بی‌نهایت بعدی بوده و استفاده از مقدار ویژه‌های آن‌ها نقشی کارسازتر و پراهمیت‌تر به خود می‌گیرد.

=== عمل‌گر مشتق‌گیری ===
به عنوان یک مثال ساده و بسیار پر استفاده، عمل‌گر [[مشتق‌گیری]] از [[توابع مشتق‌پذیر]] ریاضی را در نظر می‌گیریم:
{{وسط‌چین}}
{{وسط‌چین}}
<math>\frac{d}{dx} f(x) = g(x) \!</math>
{{پایان}}
{{پایان وسط‌چین}}
در این‌جا عمل‌گر <math>\frac{d}{dx} \!</math> بر روی [[تابع مشتق‌پذیر]] <math>f(x) \!</math> عمل نموده و تابع <math>g(x) \!</math> را به دست داده‌است.

مقدارهای ویژه مرتبط با آن به همان صورتی که در مورد ماتریس‌ها دیدیم معرفی می‌شوند:
{{وسط‌چین}}
{{وسط‌چین}}
<math>\frac{d}{dx} f(x) = \lambda f(x) \!</math>
{{پایان}}
{{پایان وسط‌چین}}
در این‌جا به سبب بی‌نهایت بودن بعد فضا، به جای بردار ویژه، عبارت [[تابع ویژه]] را داریم. در واقع در جستجوی توابعی هستیم که مشتق مرتبه اول آن‌ها مضربی از خودشان است. با اندکی توجه در می‌یابیم که عمومی‌ترین پاسخ در این‌جا عبارت است از:
{{وسط‌چین}}
{{وسط‌چین}}
<math> f(x) = e^{i \omega x}, \lambda = {i\omega} \!</math>
{{پایان}}
{{پایان وسط‌چین}}
چرا که داریم:
{{وسط‌چین}}
{{وسط‌چین}}
<math>\frac{d}{dx} e^{i \omega x} = {i\omega} e^{i \omega x} \!</math>
{{پایان}}
{{پایان وسط‌چین}}
از همین نقطه است که مهم‌ترین و فراگیرترین تبدیل [[فیزیک ریاضی]] -[[تبدیل فوریه]]- تولد می‌یابد.

== جستارهای وابسته ==
* [[نظریه طیفی]]
* [[تبدیلات فوریه]]
* [[آنالیز مودی با استفاده از اف‌ای‌ام]]
* [[روش‌های طیفی فوریه]]
* [[نظریه طیفی گراف‌ها]]
* [[مکانیک کوانتومی]]

== پانویس ==
{{پانویس}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
{{refbegin|30em}}
* {{Citation| title = Tensor calculus
 | last1 = Akivis | first1 = Max A.
 | last2 = Goldberg | first2 = Vladislav V.
 | year = 1969
 | publisher = Science Publishers, Moscow
 | series = Russian
}}
* {{Citation| chapter = Eigenvalue, eigenfunction, eigenvector, and related terms
 | last = Aldrich | first = John | year = 2006
 | title = Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
 | editor-last = Miller | editor-first = Jeff
 | chapter-url = http://jeff560.tripod.com/e.html
 }}
* {{Citation| title = Lecture notes in analytical geometry
 | last = Alexandrov | first = Pavel S. | year = 1968
 | publisher = Science Publishers, Moscow
 | series = Russian
}}{{ISBN?}}
* {{Citation| title = Elementary Linear Algebra | edition = 5th
 | last = Anton | first = Howard | year = 1987
 | publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | location = New York
 | isbn = 0-471-84819-0
}}
* {{Citation| title = Linear Algebra Done Right | edition = 3rd
 | last = Axler | first = Sheldon
 | publisher = Springer
 | page = 77
 | isbn = 978-3-319-30765-7
}}
* {{citation| title = A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields
 | last1 = Beauregard | first1 = Raymond A.
 | last2 = Fraleigh | first2 = John B.
 | year = 1973
 | publisher = [[Houghton Mifflin Co.]] | location = Boston
 | url = https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau | url-access = registration
 | isbn = 0-395-14017-X
}}
* {{Citation| title = A first course in linear algebra
 | last = Beezer | first = Robert A. | year = 2006
 | publisher = Free online book under GNU licence, University of Puget Sound
 | url = http://linear.ups.edu/
}}
* {{Citation| title = A Practical Guide to the study of Glacial Sediments
 | last1 = Benn | first1 = D.
 | last2 = Evans | first2 = D.
 | year = 2004
 | publisher = Arnold | location = London
 | pages = 103–107
}}
* {{Citation| title = The New Cassell's German Dictionary
 | last = Betteridge | first = Harold T. | year = 1965
 | publisher = [[Funk & Wagnall]] | location = New York
 | lccn = 58-7924
}}
* {{Citation| title = Linear and multilinear algebra
 | last1 = Bowen | first1 = Ray M.
 | last2 = Wang | first2 = Chao-Cheng
 | year = 1980
 | publisher = Plenum Press, New York
 | isbn = 0-306-37508-7
}}
* {{citation| title = Numerical Analysis | edition = 5th
 | last1 = Burden | first1 = Richard L.
 | last2 = Faires | first2 = J. Douglas
 | year = 1993
 | publisher = [[Prindle, Weber and Schmidt]] | location = Boston
 | url = https://archive.org/details/numericalanalysi00burd | url-access = registration
 | isbn = 0-534-93219-3
}}
* {{Citation| title = Linear Algebra: An Introduction to Linear Algebra for Pre-Calculus Students
 | last1 = Carter | first1 = Tamara A.
 | last2 = Tapia | first2 = Richard A.
 | last3 = Papaconstantinou | first3 = Anne
 | publisher = Rice University, Online Edition
 | url = http://ceee.rice.edu/Books/LA/index.html
 | access-date = 19 February 2008
}}
* {{Citation| chapter = Chapter II. The mathematical tools of quantum mechanics
 | last = Cohen-Tannoudji | first = Claude | year = 1977
 | author-link = Claude Cohen-Tannoudji
 | title = Quantum mechanics
 | publisher = John Wiley & Sons
 | isbn = 0-471-16432-1
}}
* {{citation| title = Linear Algebra: An Introductory Approach | edition = 4th
 | last = Curtis | first = Charles W. | year = 1999
 | author-link = Charles W. Curtis
 | publisher = Springer
 | isbn = 0-387-90992-3
}}
* {{Citation| title = Applied numerical linear algebra
 | last = Demmel | first = James W. | year = 1997
 | author-link = James Demmel
 | publisher = SIAM
 | isbn = 0-89871-389-7
}}
* {{cite arxiv| title = Eigenvectors from Eigenvalues: a survey of a basic identity in linear algebra
 | last1 = Denton | first1 = Peter B.
 | last2 = Parke | first2 = Stephen J.
 | last3 = Tao | first3 = Terence
 | last4 = Zhang | first4 = Xining
 | class = math.RA
 | eprint = 1908.03795
 | date = 10 August 2019
}}
* {{Citation| title = On the definition and the computation of the basic reproduction ratio R0 in models for infectious diseases in heterogeneous populations
 | vauthors = Diekmann O, Heesterbeek JA, Metz JA
 | journal = Journal of Mathematical Biology
 | year = 1990 | volume = 28 | issue = 4 | pages = 365–382
 | doi = 10.1007/BF00178324 | hdl = 1874/8051 | pmid = 2117040
 | s2cid = 22275430
 | hdl-access = free
 | ref = {{harvid|''Journal of Mathematical Biology''|1990}}
}}
* {{citation| title = A First Course In Abstract Algebra | edition = 2nd
 | last = Fraleigh | first = John B. | year = 1976
 | publisher = [[Addison-Wesley]] | location = Reading
 | isbn = 0-201-01984-1
}}
* {{Citation| title = Linear algebra | edition = 3rd
 | last1 = Fraleigh | first1 = John B.
 | last2 = Beauregard | first2 = Raymond A.
 | year = 1995
 | publisher = Addison-Wesley Publishing Company
 | isbn = 0-201-83999-7
}}
* {{Citation| title = The QR Transformation, I (part 1)
 | last = Francis | first = J. G. F. | year = 1961
 | journal = [[The Computer Journal]]
 | volume = 4 | issue = 3 | pages = 265–271
 | doi = 10.1093/comjnl/4.3.265
 | doi-access = free
}}and {{Citation| title = The QR Transformation, II (part 2)
 | last = Francis | first = J. G. F. | year = 1962
 | journal = The Computer Journal
 | volume = 4 | issue = 4 | pages = 332–345
 | doi = 10.1093/comjnl/4.4.332
 | doi-access = free
}}
* {{Citation| title = The QR Transformation, II (part 2)
 | last = Francis | first = J. G. F. | year = 1962
 | journal = The Computer Journal
 | volume = 4 | issue = 4 | pages = 332–345
 | doi = 10.1093/comjnl/4.4.332
 | doi-access = free
}}
* {{Citation| title = Linear algebra | edition = 2nd
 | last1 = Friedberg | first1 = Stephen H.
 | last2 = Insel | first2 = Arnold J.
 | last3 = Spence | first3 = Lawrence E.
 | year = 1989
 | publisher = Prentice Hall | location = Englewood Cliffs, NJ
 | isbn = 0-13-537102-3
}}
* {{Citation| title = Lecture notes in linear algebra
 | last = Gelfand | first = I. M. | year = 1971
 | publisher = Science Publishers, Moscow
 | series = Russian
}}
* {{Citation| title = Indefinite linear algebra and applications
 | last1 = Gohberg | first1 = Israel
 | last2 = Lancaster | first2 = Peter
 | last3 = Rodman | first3 = Leiba
 | year = 2005
 | publisher = Birkhäuser Verlag | place = Basel, Boston, Berlin
 | isbn = 3-7643-7349-0
}}
* {{Citation| title = Eigenvalue computation in the 20th century
 | last1 = Golub | first1 = Gene F.
 | last2 = van der Vorst | first2 = Henk A.
 | journal = Journal of Computational and Applied Mathematics
 | year = 2000 | volume = 123 | issue = 1–2 | pages = 35–65
 | url = https://dspace.library.uu.nl/bitstream/1874/2663/1/eighistory.pdf
 | bibcode = 2000JCoAM.123...35G | doi = 10.1016/S0377-0427(00)00413-1
}}
* {{Citation| title = Matrix computations | edition = 3rd
 | last1 = Golub | first1 = Gene H.
 | last2 = Van Loan | first2 = Charles F.
 | author1-link = Gene H. Golub
 | author2-link = Charles F. Van Loan
 | year = 1996
 | publisher = Johns Hopkins University Press | location = Baltimore, MD
 | isbn = 978-0-8018-5414-9
}}
* {{Citation| title = Graphical representation of particle shape using triangular diagrams: an Excel spreadsheet method
 | last1 = Graham | first1 = D.
 | last2 = Midgley | first2 = N.
 | journal = [[Earth Surface Processes and Landforms]]
 | year = 2000 | volume = 25 | issue = 13 | pages = 1473–1477
 | bibcode = 2000ESPL...25.1473G | doi = 10.1002/1096-9837(200012)25:13<1473::AID-ESP158>3.0.CO;2-C | s2cid = 128825838
}}
* {{Citation| title = Linear Algebra | edition = 4th
 | last = Greub | first = Werner H. | year = 1975
 | publisher = Springer-Verlag | location = New York
 | isbn = 0-387-90110-8
}}
* {{Citation| title = Finite-dimensional vector spaces | edition = 8th
 | last = Halmos | first = Paul R. | year = 1987
 | author-link = Paul Halmos
 | publisher = Springer-Verlag | location = New York
 | isbn = 0-387-90093-4
}}
* {{Citation| title = Cauchy and the spectral theory of matrices
 | last = Hawkins | first = T. | year = 1975
 | journal = Historia Mathematica
 | volume = 2 | pages = 1–29
 | doi = 10.1016/0315-0860(75)90032-4
 | doi-access = free
}}
* {{Citation| title = Mathematical epidemiology of infectious diseases
 | last1 = Heesterbeek | first1 = J. A. P.
 | last2 = Diekmann | first2 = Odo
 | year = 2000
 | publisher = John Wiley & Sons | location = West Sussex, England
 | series = Wiley series in mathematical and computational biology
 | url = {{google books|plainurl=y|id=5VjSaAf35}}
}}
* {{Citation| title = Linear Algebra
 | last = Hefferon | first = Jim | year = 2001
 | publisher = Online book, St Michael's College | location = Colchester, VT
 | url = http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/
}}
* {{citation| title = Topics In Algebra
 | last = Herstein | first = I. N. | year = 1964
 | publisher = [[Blaisdell Publishing Company]] | location = Waltham
 | isbn = 978-1-114-54101-6
}}
* {{Citation| title = Matrix analysis
 | last1 = Horn | first1 = Roger A.
 | last2 = Johnson | first2 = Charles F.
 | year = 1985
 | publisher = Cambridge University Press
 | isbn = 0-521-30586-1
}}
* {{Citation| title = Mathematical thought from ancient to modern times
 | last = Kline | first = Morris | year = 1972
 | publisher = Oxford University Press
 | isbn = 0-19-501496-0
}}
* {{Citation| title = GIS-stereoplot: an interactive stereonet plotting module for ArcView 3.0 geographic information system
 | last1 = Knox-Robinson | first1 = C.
 | last2 = Gardoll | first2 = Stephen J.
 | journal = Computers & Geosciences
 | year = 1998 | volume = 24 | issue = 3 | page = 243
 | bibcode = 1998CG.....24..243K | doi = 10.1016/S0098-3004(97)00122-2
}}
* {{Citation| title = Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review | edition = 2nd Revised
 | last1 = Korn | first1 = Granino A.
 | last2 = Korn | first2 = Theresa M.
 | year = 2000
 | journal = New York: McGraw-Hill
 | bibcode = 1968mhse.book.....K | isbn = 0-486-41147-8
}}
* {{Citation| title = On some algorithms for the solution of the complete eigenvalue problem
 | last = Kublanovskaya | first = Vera N. | year = 1961
 | journal = USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics
 | volume = 3 | pages = 637–657
}}. Also published in: {{Citation| title = О некоторых алгорифмах для решения полной проблемы собственных значений
 | trans-title = On certain algorithms for the solution of the complete eigenvalue problem
 | journal = Журнал вычислительной математики и математической физики (Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics)
 | year = 1961 | volume = 1 | issue = 4 | pages = 555–570
 | language = ru
}}
* {{Citation| title = An introduction to linear algebra
 | last = Kuttler | first = Kenneth | year = 2007
 | publisher = Brigham Young University
 | url = http://www.math.byu.edu/~klkuttle/Linearalgebra.pdf
}}
* {{Citation| title = Matrix theory
 | last = Lancaster | first = P. | year = 1973
 | publisher = Science Publishers | location = Moscow
 | series = Russian
}}
* {{Citation| title = Elementary linear algebra | edition = 5th
 | last1 = Larson | first1 = Ron
 | last2 = Edwards | first2 = Bruce H.
 | year = 2003
 | publisher = Houghton Mifflin Company
 | isbn = 0-618-33567-6
}}
* {{Citation| title = Schaum's outline of theory and problems of linear algebra | edition = 2nd
 | last = Lipschutz | first = Seymour | year = 1991
 | publisher = McGraw-Hill Companies | location = New York
 | series = Schaum's outline series
 | isbn = 0-07-038007-4
}}
* {{Cite book| title = Schaum's Easy Outline of Linear Algebra
 | last1 = Lipschutz | first1 = Seymour
 | last2 = Lipson | first2 = Marc
 | publisher = McGraw Hill Professional
 | url = {{google books|plainurl=y|id=pkESXAcIiCQC|page=111}}
 | date = 12 August 2002 | page = 111
 | isbn = 978-0-07-139880-0
}}
* {{Citation| title = Matrix analysis and applied linear algebra
 | last = Meyer | first = Carl D. | year = 2000
 | publisher = Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM) | location = Philadelphia
 | isbn = 978-0-89871-454-8
}}
* {{citation| title = Linear Algebra and Matrix Theory | edition = 2nd
 | last = Nering | first = Evar D. | year = 1970
 | publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | location = New York
 | lccn = 76091646
}}
* {{Citation| title = Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing | edition = 3rd
 | last1 = Press | first1 = William H.
 | last2 = Teukolsky | first2 = Saul A.
 | last3 = Vetterling | first3 = William T.
 | last4 = Flannery | first4 = Brian P.
 | author2-link = Saul Teukolsky
 | year = 2007
 | isbn = 978-0-521-88068-8
}}
* {{Citation| title = Advanced linear algebra | edition = 3rd
 | last = Roman | first = Steven | year = 2008
 | publisher = Springer Science + Business Media | place = New York
 | isbn = 978-0-387-72828-5
}}
* {{Citation| title = Course of Linear Algebra and Multidimensional Geometry: the textbook
 | last = Sharipov | first = Ruslan A. | year = 1996
 | arxiv = math/0405323 | bibcode = 2004math......5323S | isbn = 5-7477-0099-5
}}
* {{Citation| title = Linear algebra
 | last = Shilov | first = Georgi E. | year = 1977
 | others = Translated and edited by Richard A. Silverman
 | publisher = Dover Publications | place = New York
 | isbn = 0-486-63518-X
}}
* {{Citation| title = Applied linear algebra and matrix analysis
 | last = Shores | first = Thomas S. | year = 2007
 | publisher = Springer Science+Business Media
 | isbn = 978-0-387-33194-2
}}
* {{Citation| title = Pebbles in the lower Colorado River, Texas, a study of particle morphogenesis
 | last1 = Sneed | first1 = E. D.
 | last2 = Folk | first2 = R. L.
 | journal = Journal of Geology
 | year = 1958 | volume = 66 | issue = 2 | pages = 114–150
 | bibcode = 1958JG.....66..114S | doi = 10.1086/626490
| s2cid = 129658242 }}
* {{Citation| title = Introduction to linear algebra
 | last = Strang | first = Gilbert | year = 1993
 | publisher = Wellesley-Cambridge Press | location = Wellesley, MA
 | isbn = 0-9614088-5-5
}}
* {{Citation| title = Linear algebra and its applications
 | last = Strang | first = Gilbert | year = 2006
 | publisher = Thomson, Brooks/Cole | location = Belmont, CA
 | isbn = 0-03-010567-6
}}
* {{Citation| title = Numerical Linear Algebra
 | last1 = Trefethen | first1 = Lloyd N.
 | last2 = Bau | first2 = David
 | year = 1997
 | publisher = SIAM
}}
* {{cite arxiv| title = Graph eigenvectors, fundamental weights and centrality metrics for nodes in networks
 | last = Van Mieghem | first = Piet
 | class = math.SP
 | eprint = 1401.4580
 | date = 18 January 2014
}}
* {{Cite web| title = Eigenvector
 | last = Weisstein | first = Eric W.
 | website = mathworld.wolfram.com
 | url = http://mathworld.wolfram.com/Eigenvector.html
 | access-date = 4 August 2019
 | ref = {{harvid|Wolfram.com: Eigenvector}}
}}
* {{Cite magazine| title = Neutrinos Lead to Unexpected Discovery in Basic Math
 | last = Wolchover | first = Natalie
 | magazine = Quanta Magazine
 | url = https://www.quantamagazine.org/neutrinos-lead-to-unexpected-discovery-in-basic-math-20191113/
 | date = 13 November 2019 | access-date = 27 November 2019
}}
* {{Citation| title = Estimation of 3D motion and structure of human faces
 | last1 = Xirouhakis | first1 = A.
 | last2 = Votsis | first2 = G.
 | last3 = Delopoulus | first3 = A.
 | year = 2004
 | publisher = National Technical University of Athens
 | url = http://www.image.ece.ntua.gr/papers/43.pdf
}}
* {{in lang|ru}}{{cite encyclopedia| title = Eigenvalue
 | last1 = Pigolkina | first1 = T. S.
 | last2 = Shulman | first2 = V. S.
 | year = 1977
 | encyclopedia = Mathematical Encyclopedia
 | editor-last = Vinogradov | editor-first = I. M.
 | publisher = Soviet Encyclopedia | place = Moscow
 | volume = 5
}}
{{refend}}
{{پایان چپ‌چین}}

== برای مطالعه بیشتر ==
{{چپ‌چین}}
{{refbegin}}
* {{cite web| title = A Beginner's Guide to Eigenvectors
 | publisher = [[Deeplearning4j]]
 | year = 2015
 | url = http://deeplearning4j.org/eigenvector | url-status = dead
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20180721133013/https://deeplearning4j.org/eigenvector
 | access-date = 18 August 2015 | archive-date = 21 July 2018
 | ref = none
}}
* {{cite web| title = λ – Eigenvalues
 | last = Hill | first = Roger | year = 2009
 | work = Sixty Symbols
 | publisher = [[Brady Haran]] for the [[University of Nottingham]]
 | url = http://www.sixtysymbols.com/videos/eigenvalues.htm
 | ref = none
}}
{{refend}}
{{پایان چپ‌چین}}

== پیوند به بیرون ==
{{چپ‌چین}}
* [http://www.physlink.com/education/AskExperts/ae520.cfm What are Eigen Values?] – non-technical introduction from PhysLink.com's "Ask the Experts"
* [http://people.revoledu.com/kardi/tutorial/LinearAlgebra/EigenValueEigenVector.html Eigen Values and Eigen Vectors Numerical Examples] – Tutorial and Interactive Program from Revoledu.
* [https://web.archive.org/web/20100325112901/http://khanexercises.appspot.com/video?v=PhfbEr2btGQ Introduction to Eigen Vectors and Eigen Values] – lecture from Khan Academy
* [https://www.youtube.com/watch?v=PFDu9oVAE-g&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab&index=14 Eigenvectors and eigenvalues | Essence of linear algebra, chapter 10] – A visual explanation with [[3Blue1Brown]]
* [https://www.symbolab.com/solver/matrix-eigenvectors-calculator Matrix Eigenvectors Calculator] from Symbolab (Click on the bottom right button of the 2x12 grid to select a matrix size. Select an <math>n \times n</math> size (for a square matrix), then fill out the entries numerically and click on the Go button. It can accept complex numbers as well.)
{{پایان چپ‌چین}}

=== نظریه ===
{{چپ‌چین}}
* {{Springer|title=Eigen value|id=p/e035150}}
* {{Springer|title=Eigen vector|id=p/e035180}}
* {{planetmath reference|id=4397|title=Eigenvalue (of a matrix)}}
* [http://mathworld.wolfram.com/Eigenvector.html Eigenvector] – Wolfram [[MathWorld]]
* [http://ocw.mit.edu/ans7870/18/18.06/javademo/Eigen/ Eigen Vector Examination working applet]
* [http://web.mit.edu/18.06/www/Demos/eigen-applet-all/eigen_sound_all.html Same Eigen Vector Examination as above in a Flash demo with sound]
* [http://www.sosmath.com/matrix/eigen1/eigen1.html Computation of Eigenvalues]
* [http://www.cs.utk.edu/~dongarra/etemplates/index.html Numerical solution of eigenvalue problems] Edited by Zhaojun Bai, [[James Demmel]], Jack Dongarra, Axel Ruhe, and [[Henk van der Vorst]]
* Eigenvalues and Eigenvectors on the Ask Dr. Math forums: [http://mathforum.org/library/drmath/view/55483.html], [http://mathforum.org/library/drmath/view/51989.html]
{{پایان چپ‌چین}}

=== اپلت‌ها ===
{{چپ‌چین}}
* [http://scienceapplets.blogspot.com/2012/03/eigenvalues-and-eigenvectors.html Java applet about eigenvectors in the real plane]
* [http://reference.wolfram.com/language/guide/DifferentialEquations.html Wolfram Language functionality for Eigenvalues, Eigenvectors and Eigensystems]
{{پایان چپ‌چین}}

{{جبر خطی}}
{{شاخه‌های ریاضیات}}

[[رده:تجزیه مقادیر منفرد]]
[[رده:جبر خطی]]
[[رده:جبر مجرد]]
[[رده:ریاضی فیزیک]]
[[رده:نظریه ماتریس‌ها]]