نمایش مبدأ برای معیار تسلیم فون میسز

[[پرونده:Yield surfaces.svg|بندانگشتی|286x286پیکسل|سطوح تسلیم فون میزس در مختصات تنش اصلی استوانه‌ای با شعاع <math display="inline">\sqrt{\frac{2}{3}} \sigma_y</math> را حول محور هیدرواستاتیکی احاطه می‌کند. (در شکل همچنین سطح تسلیم شش ضلعی Tresca نیز نشان داده شده‌است)]]
'''معیار اعوجاج حداکثر''' {{به انگلیسی|maximum distortion criterion}} که با نام '''معیار تسلیم فون میزس''' نیز شناخته می‌شود، بیان می‌کند که یک ماده [[شکل‌پذیری|شکل‌پذیر]] (داکتیل) زمانی آغاز به [[تسلیم (مهندسی)|تسلیم شدن]] می‌کند که [[تانسور تنش کشی|متغیر دوم تنش انحرافی]] یا J<sub>2</sub> به یک مقدار بحرانی برسد.<ref name="von Mises, R. 1913">{{cite journal|last=von Mises|first=R.|year=1913|title=Mechanik der festen Körper im plastisch-deformablen Zustand|url=http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID=GDZPPN002503697|journal=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen|series=Mathematisch-Physikalische Klasse|volume=1913|issue=1|pages=582–592}}</ref> این معیار بخشی از نظریه پلاستیسیته است که بیشتر در مورد مواد شکل‌پذیر مانند برخی فلزات اعمال می‌شود. قبل از تسلیم، پاسخ ماده را می‌توان به عنوان یک رفتار الاستیک غیرخطی، ویسکوالاستیک یا الاستیک خطی فرض کرد.

در [[علم مواد]] و [[مهندسی]]، معیار تسلیم فون میزس بر حسب تنش فون میزس یا تنش کششی معادل، σ<sub>v</sub> فرموله شده‌است. تنش فون میزس معادل یک مقدار اسکالر است که می‌تواند از [[تانسور تنش کشی|تانسور تنش کوشی]] محاسبه شود. در این مورد، گفته می‌شود که یک ماده زمانی شروع به تسلیم شدن می‌کند که تنش فون میزس به استحکام تسلیم، σ<sub>y</sub> برسد. تنش فون میزس برای پیش‌بینی تسلیم مواد تحت بارگذاری‌های پیچیده، از نتایج آزمایش‌های کشش تک محوری استفاده می‌کند.

اگرچه اعتقاد بر این است که [[جیمز کلرک ماکسول]] در سال ۱۸۶۵ آن را فرموله کرد، اما ماکسول فقط شرایط کلی را در نامه‌ای به [[ویلیام تامسون]] (لرد کلوین) شرح داد.<ref>{{Cite web|url=https://books.google.com/books?id=kiCVc3AJhVwC&pg=PA152|title=Deformation Theory of Plasticity, p. 151, Section 4.5.6|access-date=2017-06-11}}</ref> [[ریشارد فن میزس|ریچارد ادلر فون میزس]] آن را با دقت در سال ۱۹۱۳ فرموله کرد.<ref name="von Mises, R. 19132">{{cite journal|last=von Mises|first=R.|year=1913|title=Mechanik der festen Körper im plastisch-deformablen Zustand|url=http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID=GDZPPN002503697|journal=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen|series=Mathematisch-Physikalische Klasse|volume=1913|issue=1|pages=582–592}}</ref><ref>{{cite book|last=Ford|title=Advanced Mechanics of Materials|url=https://archive.org/details/bwb_p9-eiv-334|publisher=Longmans|location=London|year=1963}}</ref> [[تایتوس ماکسیمیلیان هوبر]] (۱۹۰۴)، در مقاله‌ای که به زبان لهستانی نوشته شده‌است، تا حدی این معیار را با تکیه مناسب بر انرژی کرنش اعوجاج، نه بر انرژی کل کرنش مانند پیشینیان خود، پیش‌بینی کرد.<ref>{{cite journal|last=Huber|first=M. T.|year=1904|title=Właściwa praca odkształcenia jako miara wytezenia materiału|journal=Czasopismo Techniczne|location=Lwów|volume=22}} Translated as {{cite journal|year=2004|title=Specific Work of Strain as a Measure of Material Effort|url=http://am.ippt.pan.pl/am/article/viewFile/v56p173/pdf|journal=Archives of Mechanics|volume=56|pages=173–190}}</ref><ref name="Hill, R. 1950">{{cite book|first=R.|last=Hill|title=The Mathematical Theory of Plasticity|location=Oxford|publisher=Clarendon Press|year=1950}}</ref><ref name="Timoshenko, S. 1953">{{cite book|first=S.|last=Timoshenko|title=History of strength of materials|url=https://archive.org/details/historyofstrengt0000timo|location=New York|publisher=McGraw-Hill|year=1953}}</ref> [[هاینریش هنکی]] مهندس آلمانی همان معیار فون میزس را به‌طور مستقل در سال ۱۹۲۴ تدوین کرد.<ref>{{cite journal|last=Hencky|first=H.|year=1924|title=Zur Theorie plastischer Deformationen und der hierdurch im Material hervorgerufenen Nachspannngen|journal=Z. Angew. Math. Mech.|volume=4|pages=323–334|doi=10.1002/zamm.19240040405}}</ref> به دلایل فوق، این معیار به عنوان «نظریه ماکسول-هوبر-هنکی-فون میزس» نیز شناخته می‌شود.

== روابط ریاضی ==
از نظر ریاضی معیار تسلیم فون میزس به صورت زیر بیان می‌شود:

<math>J_2 = k^2\,\!</math>

در اینجا k تنش تسلیم ماده در برش خالص است. در شروع تسلیم، مقدار تنش تسلیم برشی در برش خالص <math>\sqrt{3}</math> برابر کمتر از تنش تسلیم کششی در حالت کشش ساده است؛ بنابراین، داریم:

<math>k = \frac{\sigma_y}{\sqrt{3}}</math>

که در آن σ<sub>y</sub> استحکام تسلیم کششی ماده است. اگر تنش فون میزس را برابر با استحکام تسلیم قرار دهیم و معادلات فوق را ترکیب کنیم، معیار تسلیم فون میزز به صورت زیر نوشته می‌شود:

<math>\sigma_v = \sigma_y = \sqrt{3J_2} </math>

یا

<math>\sigma_v^2 = 3J_2 = 3k^2</math>

با جایگزینی J<sub>2</sub> با مولفه‌های تانسور تنش کوشی، خواهیم داشت:

<math>\sigma_\text{v}^2 = \frac{1}{2}\left[(\sigma_{11} - \sigma_{22})^2 + (\sigma_{22} - \sigma_{33})^2 + (\sigma_{33} - \sigma_{11})^2 + 6\left(\sigma_{23}^2 + \sigma_{31}^2 + \sigma_{12}^2\right)\right] = \frac{3}{2}s_{ij}s_{ij}</math>

که در آن s تنش انحرافی (deviatoric stress) نامیده می‌شود. این معادله [[سطح تسلیم]] را به عنوان یک استوانه دایره‌ای تعریف می‌کند (شکل را ببینید) که منحنی تسلیم، یا تقاطع آن با صفحه انحرافی، دایره‌ای با شعاع <math>\sqrt{2}k</math> یا <math display="inline">\sqrt{\frac{2}{3}} \sigma_y</math> است. این نشان می‌دهد که شرایط تسلیم مستقل از تنش‌های هیدرواستاتیکی است.

== منابع ==
{{پانویس|۲}}

[[رده:تحلیل سازه‌ها]]
[[رده:مومسانی]]
[[رده:علم مواد]]