نمایش مبدأ برای معادله رشد ترک

'''معادله رشد ترک''' معادله ای برای اندازه‌گیری میزان رشد ترک مربوط به [[خستگی (مواد)|خستگی]] با استفاده از اعمال بار سیکلی است.
رشد ترک خستگی می‌تواند نتیجهٔ یک شکست مخرب خصوصاً در مورد هواپیماها باشد. معادله رشد ترک می‌تواند برای اطمینان از ایمنی سیستم هم در زمان طراحی و هم در زمان عملیات با استفاده از پیشبینی سایز ترک مورد استفاده قرار بگیرد. در ساختارهای مهم و حیاتی بار اعمال شده می‌تواند برای پیشبینی اندازهٔ ترک ثبت و ضبط شود تا هر گونه تعمیر و ملاحظات نگهداری قبل از توسعه ترک مورد توجه قرار بگیرد.
عمر خستگی می‌تواند به دو دوره ''ترک اولیه'' و دورهٔ ''رشد ترک'' تقسیم شود. معادله رشد ترک برای پیشبینی اندازهٔ ترک از نقط آغازین آن استفاده می‌شود که معمولاً بر اساس داده‌های تجربی به دست آماده از نتایج تست خستگی عمل می‌کند.

== نرخ رشد ترک ==
[[پرونده:ParisLaw.png|بندانگشتی|568x568پیکسل|نمودار معمول نرخ رشد ترک بر حسب ضریب تمرکز تنش]]
نرخ رشد ترک (da/dN) برای مواد به کار رفته در قطعات مختلف اهمیت قابل توجهی دارد. نمودارهایی برای بررسی این مشخصه وجود دارد. این نمودارها رابطهٔ نرخ رشد ترک را با [[ضریب تمرکز تنش]] (ΔK) بیان می‌کند.
یکی از اولین معادله‌های رشد ترک بر مبنای فاکتور شدت استرس یک سیکل بار شکل گرفت، معادلهٔ پاریس-اردوغان است:<ref>{{یادکرد کتاب|عنوان=P. C. Paris, M. P. Gomez and W. E. Anderson. A rational analytic theory of fatigue. The Trend in Engineering (1961). 13, 9-14.|نام خانوادگی=|نام=|ناشر=|سال=|شابک=|مکان=|صفحات=}}</ref>

<math>\frac {\mathrm{d}a} {\mathrm{d}N} = C (\Delta K)^m</math><ref>{{یادکرد وب|نویسنده=|کد زبان=|تاریخ=|وبگاه=|نشانی=http://www.roymech.co.uk/Useful_Tables/Fatigue/Stress_levels.html|عنوان=Fatigue Action Types|accessdate=۲۳ ژانویه ۲۰۱۷|archiveurl=https://web.archive.org/web/20170112204453/http://www.roymech.co.uk/Useful_Tables/Fatigue/Stress_levels.html|archivedate=۱۲ ژانویه ۲۰۱۷|dead-url=yes}}</ref>

که در آن ''m'' عددی بین ۱ تا ۶ است و بسته به ماده تغییر می‌کند. این رابطه به قانون پاریس-اردوغان(Paris-Erdogan equation) مشهور است.
در نمودار سه مرحلهٔ جوانه زنی ترک، رشد ترک و شکست نمایان است.

== تاریخچه قوانین رشد ترک ==
بسیاری از قوانین رشد ترک در طول سالیانی پیشنهاد شده‌است تا دقت پیش‌بینی را بهبود ببخشد و انواع متنوعی را در بر بگیرد. آثار بزرگی، بر روی رفتار رشد ترک و خستگی منجر به نهادینه کردن پایه و اساس در این زمینه شد. شکل اصلی معادلات اشاعه ترک ممکن است به صورت da÷dN= f(∆∂,a,C<sub>i)</sub> نشان داده شود. a, مقدار طول ترک ،N تعداد چرخه‌های بارگذاری، ∂∆ محدوده تنش می‌باشد و C<sub>i</sub> مربوط به پارامترهای ذاتی ماده می‌باشد. برای اشکال متقارن، طول ترک از خط تقارن به صورت a تعریف شده و نیمی از کل طول ترک 2a است. معادلات رشد ترک به صورت da÷dN یک [[معادله دیفرانسیل]] واقعی نیستند زیرا آن‌ها روند رشد ترک را به صورت مداوم در طول چرخه بارگذاری مدل نمی‌کنند. به این ترتیب الگوریتم‌های شمارش یا شناسایی مجرد چرخه جداگانه مانند [[الگوریتم شمارش جریان باران]] مورد استفاده، برای مشخص کردن حداکثر و حداقل مقادیر در یک چرخه لازم است. اگرچه برای روش‌های چرخه عمر تنش - کرنش الگوریتم جریان باران در زمینه رشد ترک هنوز نیاز به کار دارد.<ref>کار</ref>
تعداد محدودی از معادلات رشد مشتق واقعی ترک و خستگی وجود دارد که توسعه پیدا کرده‌اند.<ref>Pommier, S. ; Risbet, M. (2005). "Time derivative equations for mode I fatigue crack growth in metals". International Journal of Fatigue. 27 (10–12): 1297–1306</ref><ref>Lu, Zizi; Liu, Yongming (2010). "Small time scale fatigue crack growth analysis". International Journal of Fatigue. 32 (8): 1306–1321. doi:10.1016/j.ijfatigue.2010.01.010</ref>

== عوامل مؤثر بر ترک ==
=== رژیم‌ها ===
شکل۱ نموداری از میزان رشد ترک را به عنوان تابعی از شدت تنش متناوب یا نیروی محرکه نوک ترک k∆ را ترسیم می‌کند که به صورت لگاریتمی کشیده شده‌است.

رژیم A: در سرعت رشد کم، تغییرات در ساختار، میانگین تنش (با نسبت بار) و محیط اثرات معنی داری بر میزان انتشار ترک دارد. در نسبت بارگذاری کم مشاهده می‌شود که سرعت رشد نسبت به [[ریزساختار]] حساس است و در موادی که تافنس پایینی دارند نسبت به بار حساس‌ترین است.<ref>Ritchie, R. O. (1977). "Near-Threshold Fatigue Crack Propagation in Ultra-High Strength Steel: Influence of Load Ratio and Cyclic Strength". Journal of Engineering Materials and Technology. 99 (3): 195–204. doi:10.1115/1.3443519. ISSN 0094-4289.</ref>

رژیم B: در دامنه متوسط نرخ رشد، تغییرات در ساختار، میانگین تنش (یا نسبت بار)، ضخامت و محیط تأثیر معنی داری بر میزان انتشار ترک ندارد.

رژیم C: در سرعت رشد بالا، انتشار ترک به تغییرات در ریزساختار، میانگین تنش (یا نسبت بار) و ضخامت بسیار حساس است. اثرات محیطی تأثیر نسبتاً کمتری دارد.

=== اثر نسبت تنش ===
چرخه‌های با نسبت تنش بالا <R=k<sub>min</sub> ÷ k<sub>max</sub> = p<sub>min</sub>÷ p<sub>max</sub تأثیر بیشتری بر نرخ رشد ترک دارند.<ref>Maddox, S. J. (1975). "The effect of mean stress on fatigue crack propagation—A literature review". International Journal of Fracture. 1 (3</ref>).
این تأثیر اغلب با استفاده از مفهوم بسته شدن ترک توضیح داده می‌شود که مشاهده می‌کند که وجوه ترک می‌توانند در بارهای بالاتر از صفر در تماس با یکدیگر باشند. این باعث می‌شود دامنه فاکتور [[تنش مؤثر]] در میزان رشد ترک خستگی کاهش یابد.<ref>Elber, W. (1971), "The Significance of Fatigue Crack Closure", Damage Tolerance in Aircraft Structures, ASTM International, pp. 230–242, doi:10.1520/stp26680s, ISBN 978-0-8031-0031-2</ref>

== معادلات رشد ترک ==
=== معادله Threshold ===
برای پیش‌بینی نرخ رشد در نزدیک ناحیه آستانه، از رابطه زیر استفاده شده‌است:<ref>Forman, R. G. ; Kearney, V. E. ; Engle, R. M. (1967). "Numerical Analysis of Crack Propagation in Cyclic-Loaded Structures"
. Journal of Basic Engineering. 89 (3): 459–463. doi:10.1115/1.3609637. ISSN 0021-9223.</ref>

(da÷dN=A(∆k - ∆k<sub>th</sub>

=== معادله Paris-Erdogan ===
برای پیش‌بینی نرخ رشد ترک در رژیم میانی، قانون پاریس استفاده می‌شود.<ref>Schijve, J. (January 1979). "Four lectures on fatigue crack growth". Engineering Fracture Mechanics. 11 (1): 169–181. doi:10.1016/0013-7944(79)90039-0. ISSN 0013-7944.</ref>

(da/dN= C(∆k<sup>m</sup>

=== معادله Forman ===
در سال ۱۹۶۷ فورمن رابطه زیر را برای افزایش نرخ رشد به دلیل نسبت تنش و هنگام نزدیک شدن به تافنس شکست پیشنهاد کرد. K<sub>c</sub>.<ref>Forman, R. G. ; Kearney, V. E. ; Engle, R. M. (1967). "Numerical Analysis of Crack Propagation in Cyclic-Loaded Structures". Journal of Basic Engineering. 89 (3): 459–463. doi:10.1115/1.3609637. ISSN 0021-9223</ref>

da/dN= 〖c(∆k)〗^n/((1-R) k_c-∆k)

=== معادله McEvily-Groge ===
مک اوین و گروگر<ref>McEvily, A.J. ; Groeger, J. (1978), "On the threshold for fatigue crack growth", Advances in Research on the Strength and Fracture of Materials, Elsevier, pp. 1293–1298, doi:10.1016/b978-0-08-022140-3.50087-2, ISBN 978-0-08-022140-3</ref>رابطه توانی پیشنهاد کردند که تأثیر هر دو مقادیر بالا و پایین k∆ را در نظر می‌گیرد.

=== معادله NASGRO ===
معادله NASGRO در برنامه‌های AFGROW,FAStrain و در نرم‌افزار NASGROW استفاده می‌شود. این معادله، یک معادلهٔ کلی است که نرخ‌های پایین رشد (نزدیکی آستانه رشد ترک) و نرخ‌های بالای رشد را (نزدیکی تافنس شکست) را در بر می‌گیرد همراه با میانگین اثر تنش. c,f،n,p،q,∆k<sub>th</sub>,∆k<sub>crit</sub> همگی ثوابت معادله هستند.

=== معادله McClintock ===
در سال 1967,McClintock معادله ای برای بالای محدوده رشد ترک بر پایهٔ نابه جایی‌ها نوک ترک را ارائه کرد.CTOD∆<ref>Ritchie, R.O. (1 November 1999). "Mechanisms of fatigue-crack propagation in ductile and brittle solids". International Journal of Fracture. 100 (1): 55–83. doi:10.1023/A:1018655917051. ISSN 1573-2673.</ref>
<sub>0</sub>∂ مقدار تنش، ʙ̩ یک ثابت است که معمولاً در محدودهٔ ۰٫۵–۰٫۱ قرار دارد.

=== معادله Walker ===
برای محاسبه کردن اثر نسبت تنشو والکر<ref>Walker, K (1970), "The Effect of Stress Ratio During Crack Propagation and Fatigue for 2024-T3 and 7075-T6 Aluminum", Effects of Environment and Complex Load History on Fatigue Life, ASTM International, pp. 1–14, doi:10.1520/stp32032s, ISBN 978-0-8031-0032-9</ref> یک معادله را که تصحیح یافته از قانون paris بود پیشنهاد داد.

{\displaystyle \gamma }\gamma

=== پیش‌بینی عمر خستگی ===
=== برنامه‌های رایانه ای ===
بسیاری از برنامه‌های رایانه ای وجود دارند که معادلات رشد ترک مانند را اجرا می‌کنندNasgrow .Afgrow .Fastran.

علاوه بر این، برنامه‌هایی نیز وجود دارد که یک روش احتمالی برای رشد ترک را اجرا می‌کند که احتمال شکست در [[طول عمر]] یک مؤلفه را محاسبه می‌کند.<ref>https://www.researchgate.net/publication/235184910</ref><ref>https://www.swri.org/darwin</ref>

برنامه‌های رشد ترک باعث ایجاد شکاف از اندازه اولیه نقص می‌شوند تا از مقاومت به شکستگی ماده جلوگیری کرده و از بین نروند. از آنجا که چقرمگی شکستگی بستگی به شرایط مرزی دارد، ممکن است چقرمگی شکستگی از شرایط کرنش صفحه ای برای ترک سطح نیمه دایره ای به شرایط تنش صفحه ای برای عبور از طریق ان تغییر کند. مقاومت در برابر شکستگی در شرایط تنش صفحه ای معمولاً دو برابر بیشتر از کرنش صفحه ای است. با این حال به دلیل سرعت زیاد رشد ترک در اواخر عمر ان تغییرات در چقرمگی شکستگی به‌طور قابل توجهی عمر یک جزء را تغییر نمی‌دهد.

برنامه‌های رشد ترک به‌طور معمول انتخابی از این موارد را ارائه می‌دهند:

روش شمارش چرخه برای بدست آوردن سیکل اضافی

عوامل هندسی که برای شکل ترک و بارگذاری کاربردی انتخاب می‌کنند

معادله رشد ترک

مدل‌های شتاب تند / شتاب کم

خواص مواد مانند چقرمگی و مقاومت به شکست

== منابع ==
{{پانویس|۲}}

== جستارهای وابسته ==
* [[خستگی خوردگی]]
* [[نسبت خستگی]]
* [[قانون ماینر]]
* [[حد خستگی]]
* [[شکست (مواد)]]
* [[خزش (مواد)|خزش]]
* [[عیوب نقطه‌ای]]
* [[ناکاملی بلوری]]
* [[نفوذ در جامدات|نفوذ]]
* [[علم مواد]]
* {{هوازدگی}}

[[رده:پستی‌گرایی مواد]]
[[رده:تحلیل سازه‌ها]]
[[رده:خرابی مکانیکی]]
[[رده:خواص کشسانی]]
[[رده:سرامیک]]
[[رده:کشسانی]]
[[رده:مکانیک شکست]]
[[رده:خواص مواد پیشرفته]]