نمایش مبدأ برای معادله دیفرانسیل

{{اشتباه نشود|معادله دیفرانس}}
[[پرونده:Elmer-pump-heatequation.png|بندانگشتی|307x307پیکسل|تجسم انتقال حرارت در پوسته یک پمپ، که با حل [[معادله گرما]] ایجاد شده‌است. گرما در داخل بدنه تولید می‌شود و در مرز سرد شده و توزیع دمایی حالت پایدار را فراهم می‌کند.]]
{{معادلات دیفرانسیل}}

'''معادله دیفرانسیل''' {{به انگلیسی|Differential Equation}} در [[ریاضیات]]، [[معادله|معادله‌ای]] است که یک یا چند [[تابع]] مجهول و [[مشتق|مشتقات]] آنها را به هم مرتبط می‌کند.<ref name="Zill20122">{{cite book|author=Dennis G. Zill|title=A First Course in Differential Equations with Modeling Applications|url=https://books.google.com/books?id=pasKAAAAQBAJ&q=%22ordinary+differential%22|date=15 March 2012|publisher=Cengage Learning|isbn=978-1-285-40110-2}}</ref> عموماً در کاربردها، توابع کمیت‌های فیزیکی را نشان می‌دهند، مشتق‌ها نرخ تغییر آن‌ها را نشان می‌دهند، و ''معادله دیفرانسیل'' رابطه بین این دو را تعریف می‌کند. چنین روابطی بسیار رایج است، و به همین دلیل معادلات دیفرانسیل نقش برجسته‌ای در بسیاری از رشته‌ها از جمله [[مهندسی]]، [[فیزیک]]، [[اقتصاد]] و [[زیست‌شناسی]] دارند.

مطالعه معادلات دیفرانسیل عمدتاً شامل مطالعه جواب‌های آنها (مجموعه توابعی که هر معادله را برآورده می‌کند) و خواص جواب‌های آنها است. فقط معادلات دیفرانسیل ساده با فرمول‌های صریح قابل حل هستند. با این حال، امکان تعیین بسیاری از خواص جواب‌های یک معادله دیفرانسیل معین بدون محاسبه دقیق آنها وجود دارد.

اغلب هنگامی که یک [[عبارت فرم بسته]] برای جواب در دسترس نیست، می‌توان با استفاده از [[رایانه]] به صورت عددی جواب‌ها را تخمین زد. [[تئوری سامانه‌های پویا|تئوری سیستم‌های دینامیکی]] بر تحلیل کیفی سیستم‌هایی که با معادلات دیفرانسیل توصیف شده‌اند، تأکید می‌کند، در حالی که [[آنالیز عددی|روش‌های عددی]] زیادی برای تعیین راه‌حل‌ها با درجه‌ای از دقت معین توسعه داده شده‌اند. استفاده از روش‌های مبتنی بر [[یادگیری ماشین]] در حل این معادلات رو به گسترش است.<ref>{{یادکرد وب|نشانی=https://medium.com/pasqal-io/solving-differential-equations-with-machine-learning-86bdca8163dc|عنوان=Solving differential equations with machine learning}}</ref>




== تاریخچه ==
معادلات دیفرانسیل با اختراع [[حسابان|حساب دیفرانسیل و انتگرال]] توسط [[آیزاک نیوتن]] و [[گوتفرید لایبنیتس]] به وجود آمد. نیوتن در فصل ۲ کتاب خود''Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum،'' در سال ۱۶۷۱ سه نوع معادله دیفرانسیل را فهرست کرد:

<math>\begin{align}
  \frac {dy}{dx} &= f(x) \\[4pt]
  \frac {dy}{dx} &= f(x, y) \\[4pt]
  x_1 \frac {\partial y}{\partial x_1} &+ x_2 \frac {\partial y}{\partial x_2} = y
\end{align}</math>

در تمام این موارد، y یک تابع مجهول از x (یا از x1 و x2)، و f یک تابع معین است.

او این مثال‌ها و نمونه‌های دیگر را با استفاده از سری‌های بی‌نهایت حل می‌کند و در مورد منحصربه‌فرد نبودن جواب‌ها بحث می‌کند.

[[یاکوب برنولی|ژاکوب برنولی]] در سال ۱۶۹۵ میلادی [[معادله دیفرانسیل برنولی]] را پیشنهاد کرد.<ref>{{Citation|last1=Bernoulli|first1=Jacob|author1-link=Jacob Bernoulli|title=Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis|year=1695|journal=[[Acta Eruditorum]]}}</ref> این معادله یک [[معادله دیفرانسیل معمولی]] با شکل زیر است:

<math>y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,</math>

که سال بعد لایبنیتس با ساده کردن آن جواب‌هایی برای آن به دست آورد.<ref>{{Citation|last1=Hairer|first1=Ernst|last2=Nørsett|first2=Syvert Paul|last3=Wanner|first3=Gerhard|title=Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-56670-0|year=1993}}</ref>

از نظر تاریخی، مسئله سیم ارتعاشی مانند یک ساز موسیقی توسط [[ژان لو رون دالامبر]]، [[لئونارد اویلر]]، [[دانیل برنولی]] و [[ژوزف لوئی لاگرانژ]] مورد مطالعه قرار گرفت.<ref>{{cite journal|last=Frasier|first=Craig|date=July 1983|title=Review of ''The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742'', by John T. Cannon and Sigalia Dostrovsky|url=http://homes.chass.utoronto.ca/~cfraser/vibration.pdf|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|series=New Series|volume=9|issue=1|access-date=۱۴ فوریه ۲۰۲۴|archive-date=۲۹ دسامبر ۲۰۱۶|archive-url=https://web.archive.org/web/20161229061211/http://homes.chass.utoronto.ca/~cfraser/vibration.pdf|url-status=dead}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Wheeler|first1=Gerard F.|last2=Crummett|first2=William P.|year=1987|title=The Vibrating String Controversy|journal=[[American Journal of Physics|Am. J. Phys.]]|volume=55|issue=1|pages=33–37|bibcode=1987AmJPh..55...33W|doi=10.1119/1.15311}}</ref><ref>For a special collection of the 9 groundbreaking papers by the three authors, see [http://www.lynge.com/item.php?bookid=38975&s_currency=EUR&c_sourcepage= First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - the controversy about vibrating strings] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200209023122/http://www.lynge.com/item.php?bookid=38975&s_currency=EUR&c_sourcepage=|date=2020-02-09}} (retrieved 13 Nov 2012). Herman HJ Lynge and Son.</ref><ref>For de Lagrange's contributions to the acoustic wave equation, can consult [https://books.google.com/books?id=D8GqhULfKfAC&pg=PA18 Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications] Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; page 18.(retrieved 9 Dec 2012)</ref> در سال ۱۷۴۶، دالامبر [[معادله موج]] یک بعدی را کشف کرد و در عرض ده سال اویلر معادله موج سه بعدی را کشف کرد.<ref name="Speiser">Speiser, David. ''[https://books.google.com/books?id=9uf97reZZCUC&pg=PA191 Discovering the Principles of Mechanics 1600-1800]'', p. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).</ref>

[[معادله اویلر-لاگرانژ]] در دهه ۱۷۵۰ توسط اویلر و لاگرانژ در ارتباط با مطالعات آنها در مورد مسئله [[خم هم‌زمانی|خم همزمانی]] ایجاد شد. این مسئله در رابطه با تعیین منحنی‌ای است که در آن یک ذره وزن‌دار در یک زمان ثابت، مستقل از نقطه شروع، به یک نقطه ثابت سقوط می‌کند. لاگرانژ این مسئله را در سال ۱۷۵۵ حل کرد و راه حل را برای اویلر فرستاد. آن دو روش لاگرانژ را بیشتر توسعه دادند و آن را در مکانیک به کار بردند که منجر به تدوین [[مکانیک لاگرانژی]] شد.

در سال ۱۸۲۲، [[ژوزف فوریه]] کار خود را در مورد [[شار گرمایی|شارش گرما]] در کتاب ''Théorie analytique de la chaleur'' (نظریه تحلیلی گرما) منتشر کرد،<ref>{{Cite book|last=Fourier|first=Joseph|title=Théorie analytique de la chaleur|publisher=Firmin Didot Père et Fils|year=1822|location=Paris|language=fr|url=https://archive.org/details/bub_gb_TDQJAAAAIAAJ|oclc=2688081}}</ref> که در آن استدلال خود را بر [[قانون خنک‌سازی نیوتن]] استوار کرد. در این کتاب پیشنهاد فوریه از [[معادله گرما]] برای رسانش واپخشی گرما وجود داشت. در حال حاضر این معادله دیفرانسیل جزئی بخشی مشترک از درس [[ریاضی فیزیک|فیزیک ریاضی]] است.

== مسائل مقدار اولیه ==
{{اصلی|مسئله مقدار اولیه}}
در حل مسائل کلّی به ''ثابت انتگرال'' برمی‌خوریم. به عنوان مثال:

<math>y' = 1 \Longrightarrow y = \int 1 \operatorname{d}\!x + c = x + c</math>

به این معنی که مقدار پادمشتق می‌تواند هر [[تابع (ریاضیات)|تابع]] <math>x + c</math> (به ازای هر <math>c</math>) باشد. به عبارتی دیگر [[تابع (ریاضیات)|تابع]] <math>y</math> ممکن است <math>y = x + 1</math> یا <math>y = x + 2</math> یا موارد مشابه باشد.

در صورتی که مقدار اوّلیّهٔ <math>y</math> را بدانیم، می‌توان آن را به صورت دقیق پیدا کرد. در مثال قبلی، اگر بدانیم <math>y(1) = 2</math> از این موضوع نتیجه می‌گیریم:

<math>y(x) = x + c \Longrightarrow y(1) = 1 + c = 2 \Longrightarrow c = 1 \Longrightarrow y(x) = x + 1</math>

به عنوان مثال، اگر بدانیم [[سرعت]] یک جسم (<math>y'</math>) برابر ۱ است و همچنین در ثانیهٔ ۱ در مکان ۲ قرار داشته (<math>y(1) = 2</math>)، از روش مذکور برای پیدا کردن [[معادله حرکت|معادلهٔ مکان-زمان]] استفاده می‌کنیم.

== شاخه‌بندی ==
[[پرونده:Airflow-Obstructed-Duct.png|بندانگشتی|300px|مجسم‌سازی جریان هوا به داخل لوله که با [[معادلات ناویه-استوکس]]، مدل‌سازی شده‌است، مجموعه‌ای از [[معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی|معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی]]]]معادلات دیفرانسیل را به‌طور کلی به دو دسته می‌توان تقسیم کرد:
* [[معادله دیفرانسیل معمولی|معادلات دیفرانسیل معمولی]] {{به انگلیسی|ordinary differential equation}}: در این نوع معادلات تابع پاسخ دارای تنها یک [[متغیر مستقل|متغیّر مستقل]] است. یک معادله شامل یک [[متغیر وابسته و مستقل|متغیّر مستقل]] <math>x</math>، [[تابع (ریاضیات)|تابع]] <math>y(x)</math> و [[مشتق|مشتقات]] آن را یک ''معادله دیفرانسیل عادی'' یا ''معمولی'' {{به انگلیسی|ODE}} می‌نامند.
* [[معادله دیفرانسیل با مشتقات پاره‌ای|معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی]] {{به انگلیسی|partial differential equation}}: در این نوع معادلات تابع پاسخ دارای چندین [[متغیر وابسته و مستقل|متغیّر مستقل]] می‌باشد. معادله‌ای پدید آمده از [[تابع (ریاضیات)|تابعی]] با بیش از یک [[متغیر وابسته و مستقل|متغیّر مستقل]] همراه با [[مشتق جزئی|مشتقات جزئی]] آن را ''معادله دیفرانسیل جزئی'' {{به انگلیسی|PDE}} می‌نامند.

=== خطی ===
[[پرونده:Simple harmonic oscillator.gif|بندانگشتی|برای مدل‌سازی [[ارتعاش|نوسان هارمونیک سادهٔ]] یک [[فنر]] از [[قوانین حرکت نیوتن|قانون دوم نیوتن]] و [[قانون هوک]] استفاده و به یک معادلهٔ دیفرانسیل خطی همگن مرتبه دوم (خودگردان) می‌رسیم:

<math>F = ma = m {\operatorname{d}^2\!x\over\operatorname{d}\!t^2} = -kx</math>

]]
{{اصلی|معادله دیفرانسیل خطی}}

هر دو نوع این معادلات را می‌توان از دیدگاه [[معادله دیفرانسیل خطی|خطی]] یا غیرخطی بودن تابع پاسخ هم دسته‌بندی کرد. اکثر معادلاتی (معمولی) که در فیزیک به آنها برمی‌خوریم خطی هستند.

اگر درجهٔ مجهول و [[مشتق|مشتقاتش]] یک باشند، آن را ''خطی'' و در غیر این صورت غیرخطی می‌نامیم.<ref name=":0222">{{یادکرد کتاب|عنوان=Thomas' Calculus (14th Edition)|شناسه=978-0134438986|فصل=9}}</ref>

به عنوان مثال، معادلهٔ <math>y' = 1</math> خطی است ولی معادلهٔ <math>(y')^2 = 1</math> غیرخطی است.

به دلیل این که معادلات خطی حل (نسبتاً) ساده‌تری دارند، می‌توان معادلات غیرخطی را با [[تقریب خطی]] به معادلات خطی تبدیل و آنها را با روش‌های معمول حل کرد. به این عمل ''خطی‌سازی'' می‌گویند.

از کاربردهای فیزیکی این معادلات می‌توان به [[مدل ریاضی|مدل‌سازی]] حرکت سیارات، که از [[قوانین حرکت نیوتن|قانون دوم نیوتن]] به دست می‌آیند اشاره کرد. در مورد حرکت موشک‌ها در نزدیکی سطح زمین و در فضا، معادلات دیفرانسیل پیچیده‌تر هستند. در رشته [[سینتیک شیمیایی]]، معادلات دیفرانسیل نقش منحصر به فردی به عهده دارند. همچنین در مواردی چون [[بهره مرکب|سود مرکب]]، [[واپاشی هسته‌ای|واپاشی رادیواکتیو]] و [[قانون سرد شدن نیوتن|قانون سرمایش نیوتن]] کاربرد فراوانی دارد.

=== مرتبه ===
مرتبهٔ یک معادلهٔ دیفرانسیل عبارت است از [[مشتق#مشتق مراتب بالاتر|مرتبهٔ مشتقی]] که بالاترین مرتبه را در معادله دارد.

به عنوان مثال، مرتبهٔ معادلهٔ <math>y' = 1</math> یک است و مرتبهٔ <math>y'' = 1</math> دو است.

همچنین مرتبه معادلات دیفرانسیل را می‌توان به صورت کسری در نظر گرفت که به معادلات دیفرانسیل کسری مشهورند. این نوع از معادلات دیفرانسیل غیرخطی نیز روش‌های حل گوناگونی دارند که می‌توان به روش تجزیه آدومیان، هموتوپی و تکرار تغییرات اشاره نمود.

=== دستگاه معادلات دیفرانسیل ===
یک شاخه‌بندی دیگر این معادلات، تعداد مجهول‌های این معادلات است. اگر یک مجهول وجود داشته باشد، یک معادله برای پیدا کردن جواب کافی است. اگر دو مجهول باشد دو معادله نیاز است که تشکیل [[دستگاه معادلات]] دیفرانسیل می‌دهند.<ref name=":0">{{یادکرد کتاب|عنوان=Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition)|کوشش=William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade|شناسه=978-1-119-38164-8}}</ref>

از این معادلات می‌توان به [[معادله لوتکا-ولتررا|معادله لوتکا-ولترا]] اشاره کرد که در مدل‌سازی جمعیّت شکار و شکارچی استفاده می‌شود.

== مرتبه اول ==
''معادلات دیفرانسیل مرتبهٔ اوّل'' {{به انگلیسی|First-Order Differential Equations}} گروهی از ''معادلات دیفرانسیل'' هستند که تنها شامل [[مشتق]] مرتبهٔ اوّل [[تابع]] مجهول هستند (و البتّه خود آن تابع). اگر <math>y(x)</math> [[تابع|تابعی]] مجهول از متغیّر <math>x</math> باشد، یک ''معادله دیفرانسیل مرتبه اوّل'' معادله‌ای ست که بتوان آن را به صورت زیر نمایش داد (که در آن <math>f</math> می‌تواند هر [[تابع پیوسته|تابع پیوسته‌ای]] باشد):<ref name=":0222"/>

<math>{\operatorname{d}\!y\over\operatorname{d}\!x} = y\prime = f(x, y)</math>

به عنوان مثال <math>y\prime = 2x</math> یک ''معادله دیفرانسیل مرتبه اوّل'' است (<math>f = 2x</math>) و حل آن ما را به <math>y = x^2 + c</math> می‌رساند.

یکی از فرم‌های دیگر این معادلات به شکل زیر است:

<math>M(x,y) \operatorname{d}\!x + N(x,y) \operatorname{d}\!y = 0 </math>

برای حل این معادلات روش کلی وجود ندارد. روش‌های متعدّدی وجود دارد که هر کدام تنها برای دستهٔ خاصی از این معادلات کاربردی هستند. از مهم‌ترین آنها می‌توان به ''مرتبه اول خطی'' و ''مرتبه اول تفکیک‌پذیر'' اشاره کرد که در ادامه به آنها می‌پردازیم.

=== قضیهٔ وجود و یکتایی ===
''قضیهٔ پیکارد-لیندلوف'' {{به انگلیسی|Picard–Lindelöf theorem}}: این معادلات در [[بازه|بازهٔ]] وجودی‌شان دقیقاً یک جواب دارند. اگر <math>f</math> [[تابع پیوسته|پیوسته]] باشد، [[بازه|بازهٔ]] وجودی برابر <math>\mathbb{R}</math> است.<ref name=":0"/>

در غیر این صورت، پیدا کردن [[بازه|بازه‌ای]] که جواب در آن وجود دارد می‌تواند سخت باشد. [[بازه|بازهٔ]] وجودی جواب شاید هیچ ارتباطی با [[بازه|بازهٔ]] [[تابع پیوسته|پیوستگی]] <math>f</math> نداشته باشد.<ref name=":0"/>

اگر [[تابع|توابع]] <math>f</math> و <math>{\partial f \over \partial y}</math> در یک [[مربع|مربّع]] فرضی (مثل <math>x \in [X_1, X_2], \ \ \  y \in [Y_1, Y_2]</math>) [[تابع پیوسته|پیوسته]] باشند،

[[بازه|بازه‌ای]] از <math>x</math> (مثل <math>x \in [\alpha, \beta] \subseteq [X_1, X_2]</math>) وجود دارد که معادلهٔ <math>y\prime = f(x, y)</math> (با مقادیر اوّلیّهٔ دلخواه) در آن جواب دارد.<ref name=":0"/>

توجّه کنید که شروط ذکر شده ضروری نیستند؛ یعنی شاید بتوان به روشی دیگر و بدون کمک گرفتن از این قضیه، [[بازه|بازهٔ]] وجودی پیدا کرد.

=== مرتبهٔ اول خطی ===
[[پرونده:AC RL series circuit.svg|بندانگشتی|256x256پیکسل|یک [[مدار آرال|مدار RL]] ساده]]
{{اصلی|معادله دیفرانسیل مرتبه اول خطی}}در صورتی که درجهٔ <math>y</math> و <math>y\prime</math> یک باشد به آن خطی گوییم.

در [[مدار آرال|مدارهای RL]]، به کمک [[قانون اهم]] به معادلاتی مشابه <math>L {\operatorname{d}\!i\over\operatorname{d}\!t} + Ri = V</math> می‌رسیم (<math>L</math> و <math>R</math> و <math>V</math> ثابت و <math>i</math> تابعی از <math>t</math>) و برای پیدا کردن <math>i</math> باید از ''معادلات دیفرانسیل مرتبه اوّل خطی'' کمک بگیریم.<ref name=":0222"/>

==== برنولی ====
{{اشتباه نشود|معادله برنولی}}
معادلهٔ دیفرانسیل برنولی {{به انگلیسی|Bernoulli differential equation}} معادله‌ای ست که بتوان آن را به صورت <math>y' + p(t)y = q(t)y^n</math> نوشت.

برای حل این معادلات می‌توان آنها را با [[تغییر متغیر|تغییر متغیّر]] <math>u = y^{1 - n}</math> به معادلهٔ خطی تبدیل کرد:<ref name=":0"/>

<math>y' + p(t)y = q(t)y^n \Longrightarrow y^{-n}y' + p(t)y^{1-n} = q(t) \Longrightarrow {1 \over 1 - n}{\operatorname{d}\!u \over \operatorname{d}\!t} + p(t)u = q(t) \Longrightarrow {\operatorname{d}\!u \over \operatorname{d}\!t} + (1-n)p(t)u = (1-n)q(t)</math>

=== مرتبهٔ اول تفکیک‌پذیر ===
''معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ اوّل تفکیک‌پذیر'' {{به انگلیسی|separable first-order differential equations}} معادلاتی هستند که بتوان آن‌ها را به فرم دیفرانسیلی زیر نمایش داد (<math>M</math> و <math>N</math> دلخواه):<ref name=":1">{{یادکرد کتاب|عنوان=Calculus: Early Transcendentals|کوشش=James Stewart|شناسه=978-1337613927|پیوند=https://www.stewartcalculus.com/_update/20/home.html|جلدها=9th edition}}</ref>

<math>M(x)\operatorname{d}\!x = N(y)\operatorname{d}\!y</math>

برای حل این معادله، آن را به فرم زیر می‌نویسیم:

<math>f(x) = g(y){\operatorname{d}\!y \over \operatorname{d}\!x}</math>

با فرض این که <math>F</math> و <math>G</math> [[پاد مشتق|پادمشتق]] <math>f</math> و <math>g</math> باشند:

<math>F' (x) = G' (y){\operatorname{d}\!y \over \operatorname{d}\!x}
</math>

طبق [[قاعده زنجیره‌ای|قاعدهٔ زنجیره‌ای]]:

<math>G'(y){\operatorname{d}\!y \over \operatorname{d}\!x} = {\operatorname{d} \over \operatorname{d}\!y}G(y)  {\operatorname{d}\!y \over \operatorname{d}\!x}
= {\operatorname{d} \over \operatorname{d}\!x}G(y)
</math>

در نتیجه تساوی بالا را می‌توان به صورت زیر نوشت:

<math>{\operatorname{d} \over \operatorname{d}\!x} F(x) = {\operatorname{d} \over \operatorname{d}\!x} G(y)
</math>

در نتیجه، با [[انتگرال|انتگرال‌گیری]] نسبت به <math>x</math> داریم:

<math>F(x) = G(y) + c
</math>

به عبارتی دیگر، جواب به صورت زیر به دست می‌آید:<ref name=":0"/>

<math>\int f(s)\operatorname{d}\!s = \int g(s)\operatorname{d}\!s</math>

==== مرتبهٔ اول همگن ====
{{اشتباه نشود|معادله دیفرانسیل خطی#همگن}}{{اصلی|معادله دیفرانسیل همگن}}{{همچنین ببینید|تابع همگن}}
اگر یک ''معادلهٔ دیفرانسیل مرتبه اوّل'' را به فرم <math>M(x,y) \operatorname{d}\!x + N(x,y) \operatorname{d}\!y = 0 </math> بنویسیم، در صورتی که [[تابع|توابع]] <math>M(x,y) </math> و <math>N(x,y) </math> هر دو [[تابع همگن|توابع همگن]] با درجه (مرتبه) یکسان باشند، آن معادله دیفرانسیل مرتبه اول همگن {{به انگلیسی|Homogeneous first-order differential equation}} است.<ref name="Zill2012">{{cite book|author=Dennis G. Zill|title=A First Course in Differential Equations with Modeling Applications|url=https://books.google.com/books?id=pasKAAAAQBAJ&q=homogeneous|date=15 March 2012|publisher=Cengage Learning|isbn=978-1-285-40110-2}}</ref>

به عبارتی دیگر <math>M(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n M(x,y) </math> و <math>N(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n N(x,y) </math>.

توجّه کنید که مرتبهٔ همگنی توابع (<math>n </math>) با مرتبهٔ معادله (یک) اشتباه نشود.

حال درصورتی که <math>\lambda = {1 \over x} </math>:

<math>y\prime = f(x, y) = {M(x, y) \over N(x, y)} = {x^n({1 \over x^n} M(x, y)) \over x^n({1 \over x^n} N(x, y))} = {x^n(\lambda^n M(x, y)) \over x^n(\lambda^n N(x, y))} = {x^n M(\lambda x, \lambda y) \over x^n N(\lambda x, \lambda y)} = {M(1, {y \over x}) \over N(1, {y \over x})} = f(1, {y \over x}) </math>

به عبارتی دیگر <math>y\prime</math> را می‌توان به صورت [[تابع|تابعی]] از تنها کسر <math>y \over x</math> بیان کرد (<math>f</math> یک [[تابع همگن]] درجه صفر است). این معادلات را می‌توان با [[تغییر متغیر|تغییر متغیّر]] <math>v = {y \over x}</math> به معادلات ''تفکیک‌پذیر'' تبدیل کرد.<ref name=":0"/>

به عنوان مثال، معادلهٔ <math>{\operatorname{d}\!y \over \operatorname{d}\!x} = {y - 4x \over x - y}</math> را می‌توان به صورت <math>{\operatorname{d}\!y \over \operatorname{d}\!x} = {{y \over x} - 4 \over 1 - {y \over x}}</math> نمایش داد (پس همگن است). با فرض <math>v = {y \over x}</math>، می‌توان معادله را به صورت <math>{1 \over x} \operatorname{d}\!x = {1 - v \over v^2 - 4} \operatorname{d}\!v</math> تفکیک کرد. ادامهٔ حل، به روش حل ''معادلات تفکیک‌پذیر'' است.

===== یک حالت خاص =====
اگر یک معادلهٔ دیفرانسیل به فرم <math>(ax + by + c) \operatorname{d}\!x + (ex + fy + g) \operatorname{d}\!y = 0</math> یا <math>y' = {\operatorname{d}\!y \over \operatorname{d}\!x} = -{ax + by + c \over ex + fy + g}</math> باشد، می‌توان معادلهٔ مذکور را با تغییر متغیّر به یک معادلهٔ همگن تبدیل کرد.

جواب‌های دو معادله دومجهولی <math>ax + by + c = 0</math> و <math>ex + fy + g = 0</math> به صورت زیر به دست می‌آید (اگر <math>af \neq be</math>):

<math>\alpha = {cf - bg \over be - af}, \quad
\beta = {ag - ce \over be - af}</math>

سپس با تغییر متغیّر <math>X = x - \alpha</math> و <math>Y = y - \beta</math> می‌توان معادلهٔ مذکور را به یک معادلهٔ همگن تبدیل کرد:

<math>{\operatorname{d}\!y \over \operatorname{d}\!x} = {\operatorname{d}\!Y \over \operatorname{d}\!X} = -{aX + bY \over eX + fY}</math>

=== مرتبهٔ اول خودگردان ===
{{اصلی|سیستم خودگردان (ریاضیات)}}
در صورتی که [[مشتق|نرخ رشد]] یک [[تابع]] (<math>y(x)</math>) تنها به مقدار [[تابع]] وابسته باشد، ''خودگردان'' {{به انگلیسی|autonomous differential equations}} نامیده می‌شود: <math>y\prime = f(y)</math>

==== رشد نمایی ====
[[پرونده:Exponential animation.gif|بندانگشتی|360x360پیکسل]]
{{همچنین ببینید|رشد نمایی}}

''معادلهٔ رشد نمایی'' ساده‌ترین نوع معادلات خودگردان است و برای [[مدل ریاضیاتی|مدل‌سازی]] رشد بعضی گونه‌ها (مثل میکروب‌ها) استفاده می‌شود. به این معادله «قانون رشد طبیعی» نیز می‌گویند.<ref name=":1"/>

این معادلات را می‌توان به فرم <math>y\prime = ry</math> نوشت (<math>r</math> یک عدد و <math>y</math> تابعی از <math>t</math> است) و جواب آن برابر <math>y = y_0 e^{rt}</math> است.<ref name=":0"/>

==== رشد لجستیک ====
[[پرونده:Logistic curve examples.png|بندانگشتی|398x398پیکسل|چند تابع لجستیک مختلف با ثابت <math>K = 100</math>]]
{{اصلی|تابع_لجستیک#معادله_دیفرانسیلی_لُجستیک}}{{همچنین ببینید|پویایی‌شناسی جمعیت}}

''معادلهٔ لُجِستیک یا معادلهٔ ورهولست'' {{به انگلیسی|Verhulst equation or Logistic equation}} از انواع معادلات خودگردان است که اوّلین بار توسّط یک ریاضی‌دان بلژیکی {{به فرانسوی|Pierre François Verhulst}} برای [[مدل ریاضیاتی|مدل‌سازی]] [[رشد جمعیت|رشد جمعیّت]] معرّفی شد.

به عنوان مثال در حالت [[کشت سلول|کشت سلّول]] در یک [[پتری دیش|پتری‌دیش]]، اگر در ابتدا تعداد میکروب‌ها کم باشند به صورت نمایی رشد می‌کنند؛ امّا به دلیل محدود بودن فضای رشد، تعداد آن‌ها از مقدار خاصی فراتر نمی‌رود و سرعت رشد به مرور کاهش پیدا می‌کند. همچنین اگر تعداد اوّلیّهٔ میکروب‌ها از این حد فراتر بود تعدادی از آنها نابود می‌شدند.

این معادلات را می‌توان به فرم <math>y\prime = (r - ay)\ y</math> یا به شکل معمول‌ترِ <math>y\prime = r(1 - {y \over K})\ y</math> نوشت (<math>K = {r \over a}</math>).

به ثابت <math>r>0</math> ''نرخ رشد ذاتی'' {{به انگلیسی|intrinsic growth rate}} گفته می‌شود، زیرا در ابتدا (یعنی <math>t = 0</math>) که <math>y \thickapprox 0</math> است، <math>y\prime \thickapprox ry</math> می‌شود.

به ثابت <math>K</math> ''حد اشباع'' یا ''ظرفیّت تحمّل محیطی'' {{به انگلیسی|environmental carrying capacity}} گفته می‌شود. تمام توابع لجستیک (با هر مقدار اوّلیّهٔ مثبتی) به <math>K</math> میل می‌کنند.

حل این معادلات به صورت زیر است:<ref name=":0"/><math>y\prime = {\operatorname{d}\!y \over \operatorname{d}\!t} = r(1 - {y \over K})\ y \Longrightarrow r \operatorname{d}\!t = {\operatorname{d}\!y \over {(1 - {y \over K})\ y}} = ({1 \over y} + {{1 \over K} \over 1 - {y \over K}})\operatorname{d}\!y \Longrightarrow \int r \operatorname{d}\!t =  \int {1 \over y} + {{1 \over K} \over 1 - {y \over K}}\operatorname{d}\!y \Longrightarrow rt + c = \ln y - \ln (1 - {y \over K}) \Longrightarrow e^{rt + c} = {y \over 1 - {y \over K}} </math><math>\Longrightarrow y = {y_0 K \over y_0 + (K - y_0)e^{-rt}} </math>

=== مرتبهٔ اول کامل ===
اگر یک معادلهٔ دیفرانسیل مرتبه اوّل را به فرم <math>M(x,y) \operatorname{d}\!x + N(x,y) \operatorname{d}\!y = 0 </math> بنویسیم، با فرض این که <math>M_y(x,y) = {\partial {M} \over \partial y} </math> و <math>N_x(x,y) = {\partial N \over \partial x} </math> [[مشتق جزئی|مشتق‌های جزئی]] این توابع باشند (که در یک ناحیهٔ خاص [[تابع پیوسته|پیوسته]] است)،

معادلهٔ مورد نظر ''کامل'' {{به انگلیسی|exact differential equations}} است اگر و تنها اگر <math>M_y(x,y) = N_x(x,y) </math>.

به بیانی دیگر معادله کامل است اگر و تنها اگر تابعی مانند <math>\psi (x, y)</math> وجود داشته باشد که <math>\psi_x = M</math> و <math>\psi_y = N</math>.<ref name=":0"/> در آن صورت <math>\psi_{xy} = M_y = N_x = \psi_{yx}</math> می‌شود.

برای حل این معادلات می‌توان از این روش استفاده کرد:

<math>M(x,y) + N(x,y) {\operatorname{d}\!y \over \operatorname{d}\!x} = 0 = {\operatorname{d}\!\psi \over \operatorname{d}\!x} + {\operatorname{d}\!\psi \over \operatorname{d}\!y}{\operatorname{d}\!y \over \operatorname{d}\!x} = 2{\operatorname{d}\!\psi \over \operatorname{d}\!x} \Longrightarrow {\operatorname{d}\!\psi \over \operatorname{d}\!x} = 0 \Longrightarrow \psi = c </math>

در نتیجه با قرار دادن <math>\psi (x, y) = c </math> به جواب می‌رسیم.<ref name=":0"/>

==== عامل انتگرال‌ساز ====
در بعضی موارد که معادلهٔ <math>M(x,y) \operatorname{d}\!x + N(x,y) \operatorname{d}\!y = 0 </math> کامل نیست می‌توان با یک ترفند آن را به یک معادلهٔ کامل تبدیل کرد و سپس آن را به روش مذکور حل کرد. در این ترفند ساده معادله را در یک ''عامل انتگرال‌ساز'' {{به انگلیسی|integrating factor}} (مثل <math>\mu</math>) ضرب می‌کنیم به صورتی که معادلهٔ به دست آمده (<math>\mu (x, y) M(x,y) \operatorname{d}\!x + \mu (x, y) N(x,y) \operatorname{d}\!y = 0 </math>) کامل باشد.

مشکل این ترفند در پیدا کردن ''عامل انتگرال‌ساز'' مناسب است. طبق تعریفِ معادلهٔ کامل برای معادلهٔ جدید:

<math>(\mu M)_y = (\mu N)_x \Longrightarrow M \mu_y - N \mu_x + (M_y - N_x)\mu = 0 </math>

امّا پیدا کردن <math>\mu</math> با حل این معادله بسیار دشوار است (همچنین احتمالاً <math>\mu</math> یکتا نیست). برای حل این مشکل حدس می‌زنیم که <math>\mu_y = 0</math> باشد و امیدوار می‌مانیم که همین‌طور باشد. اگر با این فرض <math>\mu</math> به دست آمد و معادلهٔ <math>\mu M \operatorname{d}\!x + \mu N \operatorname{d}\!y = 0 </math> طبق تعریف کامل شد، به این نتیجه می‌رسیم که فرضمان درست بوده. گاهی نیز با حدس <math>\mu_x = 0</math> می‌توان به جواب رسید.<ref name=":0"/>

===== یک مثال =====
معادلهٔ <math>3xy + y^2 + (x^2 + xy)y' = 0</math> کامل نیست. <math>M(x, y) = 3xy + y^2</math> و <math>N(x, y) = x^2 + xy</math>.

برای پیدا کردن عامل انتگرال‌ساز از حدس <math>\mu_y = 0</math> استفاده می‌کنیم:

<math>(\mu M)_y = (\mu N)_x \Longrightarrow - N \mu_x + (M_y - N_x)\mu = 0 \Longrightarrow {\mu_x \over \mu} = {M_y - N_x \over N} = {1 \over x} \Longrightarrow \mu = x </math>

معادلهٔ جدید به صورت <math>3x^2y + xy^2 + (x^3 + x^2y)y' = 0</math> به دست می‌آید.

باید بررسی کنیم که آیا معادلهٔ جدید کامل هست یا نه، زیرا شاید حدسمان اشتباه بوده. پس از بررسی (تعریف کامل بودن) مشاهده می‌کنیم که معادله کامل شده. حال باید معادلهٔ کامل را حل کنیم تا جواب به دست بیاید.

تابعی مانند <math>\psi (x, y)</math> وجود دارد که <math>\psi_x = M = 3x^2y + xy^2</math> و <math>\psi_y = N = x^3 + x^2y</math>.

<math>\psi = \int \psi_x \operatorname{d}\!x = \int M \operatorname{d}\!x = x^3y + {1 \over 2}x^2y^2 + h(y) \Longrightarrow \psi_y = x^3 + x^2y + h'(y)</math>

از طرفی می‌دانستیم که <math>\psi_y = N = x^3 + x^2y</math>. پس:

<math>\psi_y = x^3 + x^2y + h'(y) = x^3 + x^2y \Longrightarrow h' = 0 \Longrightarrow h = c </math>

<math>\Longrightarrow \psi = x^3y + {1 \over 2}x^2y^2 + c</math>

برای حل معادلات کامل باید از <math>\psi = c</math> استفاده کرد:

<math>x^3y + {1 \over 2}x^2y^2 = c</math>

در ادامه می‌توان <math>y</math> را بر حسب <math>x</math> به دست آورد.

همچنین توجّه داشته باشید که <math>\mu</math> یکتا نبود. به عنوان مثال <math>\mu = {1 \over xy(2x + y)}</math> یک ''عامل انتگرال‌ساز'' دیگر است که به کمک آن باز هم به همین جواب می‌رسیم.<ref name=":0"/>

== معادلات دیفرانسیل مشهور ==
* [[قانون دوم نیوتن]] در [[دینامیک|دینامیک (مکانیک)]]
* [[معادلات همیلتون]] در [[مکانیک کلاسیک]]
* [[واپاشی هسته‌ای]] در [[فیزیک هسته‌ای]]
* [[معادله موج]]
* [[معادلات ماکسول]] در [[الکترومغناطیس]]
* [[معادلات پواسن]]
* [[معادله لاپلاس]] که [[تابع هارمونیک|توابع هارمونیک]] را تعریف می‌کند
* مسئله منحنی کوتاه‌ترین زمان.
* فرمول انیشتین.
* قانون گرانش نیوتن.
* [[معادله شرودینگر]] در [[مکانیک کوانتوم]]
* [[معادلات ناویه-استوکس]] در [[دینامیک شاره‌ها]]
* [[معادلات کوشی-ریمان]] در [[آنالیز مختلط]]
* [[معادله پواسون-بولتزمن]] در [[دینامیک ملکولی]]
* معادله موج برای تار مرتعش.
* نوسانگر همساز در [[مکانیک کوانتومی]].
* [[نظریه پتانسیل]].
* معادله موج برای غشای مرتعش.
* معادلات شکار و شکارچی.
* مکانیک غیر خطی.
* مسئلهٔ مکانیکی آبل.
* معادلات دسته لین-امدن
* معادله ابرگاز کروی
* معادله کوتوله سفید
* معادلات امدن-فاولر
* معادله جمعیتی ولترا
* معادله توماس فرمی
* معادله بلاسیوس
* معادله فالکنر اسکن
* [[معادله فوکر-پلانک]]
* [[معادله لوتکا-ولتررا|معادله لوتکا ولترا]] در مدل‌سازی جمعیّت شکار و شکارچی
* معادله زابولوتسکایا-خوخولوف
* [[معادله برنولی]]

== جستارهای وابسته ==
* [[مدل ریاضیاتی|مدل‌سازی ریاضیاتی]]

== منابع ==
{{پانویس|۲}}
* سیمونز آرش دارابی فرد ج.اف. معادلات دیفرانسیل و کاربرد آنها، ترجمه:علی اکبر بابایی، مرکز نشر دانشگاهی، چاپ یازدهم
* {{یادکرد-ویکی
|پیوند = http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_equation#Famous_differential_equations
|عنوان = Differential equation
|زبان = انگلیسی
|بازیابی =
}}

{{ویکی‌انبار-رده}}

== مطالعهٔ بیشتر ==
{{چپ‌چین}}
* {{cite book |first1=P. |last1=Abbott |first2=H. |last2=Neill |title=Teach Yourself Calculus |year=2003 |pages=266–277}}
* {{cite book |first1=P. |last1=Blanchard |author-link2=Robert L. Devaney |first2=R. L. |last2=Devaney |first3=G. R. |last3=Hall |title=Differential Equations |publisher=Thompson |year=2006}}
* {{cite book |first1=W. |last1=Boyce | first2=R. |last2=DiPrima| first3=D. |last3=Meade| title=Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems|publisher=Wiley |year=2017}}
* {{cite book |first1=E. A. |last1=Coddington |first2=N. |last2=Levinson |title=Theory of Ordinary Differential Equations |url=https://archive.org/details/theoryofordinary00codd |url-access=registration |publisher=McGraw-Hill |year=1955}}
* {{cite book |first=E. L. |last=Ince |title=Ordinary Differential Equations |url=https://archive.org/details/ordinarydifferen0000ince |publisher=Dover |year=1956}}
* {{cite book |first=W. |last=Johnson |url=http://www.hti.umich.edu/cgi/b/bib/bibperm?q1=abv5010.0001.001 |title=A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations |publisher=John Wiley and Sons |year=1913}} In [http://hti.umich.edu/u/umhistmath/ University of Michigan Historical Math Collection]
* {{cite book |first1=A. D. |last1=Polyanin |first2=V. F. |last2=Zaitsev |title=Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations |edition=2nd |publisher=Chapman & Hall/CRC Press |location=Boca Raton |year=2003 |isbn=1-58488-297-2}}
* {{cite book |first=R. I. |last=Porter |title=Further Elementary Analysis |year=1978 |chapter=XIX Differential Equations}}
* {{Cite book| last = Teschl| given = Gerald|author-link=Gerald Teschl| title = Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems| publisher=[[American Mathematical Society]]| place = [[Providence, Rhode Island|Providence]]| year = 2012| isbn= 978-0-8218-8328-0| url = https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/}}
* {{cite book|author=Daniel Zwillinger|title=Handbook of Differential Equations|url=https://books.google.com/books?id=n7TiBQAAQBAJ&q=%22Handbook+of+Differential+Equations%22|date=12 May 2014|publisher=Elsevier Science|isbn=978-1-4832-6396-0}}
{{پایان چپ‌چین}}

== پیوند به بیرون ==
* [https://web.archive.org/web/20121123155521/http://mathworks.ir/matlab-learning/44-differential-equation معادلات دیفرانسیل در متلب]

{{شاخه‌های اصلی ریاضیات}}
{{آنالیز-پاورقی}}
{{موضوعات حسابان}}
{{ریاضیات صنعتی و کاربردی}}
{{داده‌های کتابخانه‌ای}}

[[رده:حساب دیفرانسیل]]
[[رده:معادلات دیفرانسیل|معادلات دیفرانسیل]]