نمایش مبدأ برای مسئله دو جسم

[[پرونده:orbit5.gif|بندانگشتی|300px|دو جسم با جرم یکسان که به دور مرکز جرم خود در یک مدار [[بیضی|بیضوی]] دوران می‌کنند.]]
{{اخترپویاشناسی}}
'''مسئله دو جسم''' یا '''مسئله دو جرم''' {{انگلیسی|Two-Body Problem}} در [[مکانیک کلاسیک]]، در مورد تعیین حرکت دو جسم [[ذره نقطه‌ای]] (ایده‌آل) است که تنها با یکدیگر تعامل و فعل‌وانفعال دارند. مثال‌های متداول، شامل حرکت یک [[ماهواره]] به دور یک [[سیاره]]، حرکت یک سیاره به دور یک [[ستاره]]، حرکت دو ستاره به دور یکدیگر ([[ستاره دوتایی]]) و بررسی [[مکانیک کلاسیک|کلاسیک]] حرکت [[الکترون]] به دور [[هسته اتم]] است.

کاربرد اصلی ''مسئله دو جسم'' کلاسیک، مورد [[گرانش]]ی آن است که در [[اخترشناسی]] برای پیش‌بینی مدارها یا گریز از مدار اشیائی مانند [[ماهواره]]‌ها، سیاره‌ها و ستارگان به‌وجود می‌آید. مدل‌سازی ''مسئله دو جسم'' می‌تواند در بیشتر چنین مواردی زمینه را برای رعایت پیش‌بینی‌های مفید فراهم سازد.

مسئلهٔ دو جسم می‌تواند با فرمول‌بندی مجدد، به دو مسئله تک‌جسم مستقل تبدیل شده و حل شود. برخلاف این موضوع، [[مسئله سه جسم]] (و در حالت کلی‌تر، [[مسئله (n) جسم]] برای n ≥ ۳) جز در موارد استثنای محدود، قابل تفکیک و حل صریح نیست.

== نسبت جرمی ==
=== دو جرم بکسان ===
=== دو جرم با اختلاف جرم جزئی ===
=== دو جرم با اختلاف جرم زیاد ===
=== دو جرم با اختلاف جرم بسیار زیاد ===
{| class="wikitable" width=640
|valign=top|[[پرونده:orbit1.gif|200px]]{{سخ}}دو جسم با '''جرم یکسان''' که به دور مرکز جرم مشترک خود دوران می‌کنند (مشابه [[سیارک ۹۰]])
|valign=top|[[پرونده:orbit2.gif|200px]]{{سخ}}دو جسم '''با اختلاف جرم جزئی''' که به دور [[مرکز سنگینی سراسری]] خود دوران می‌کنند. اندازه و نوع خاص این [[مدار (سیاره)|مدار]] شبیه مدار [[پلوتو]] و [[شارون (ماه)|شارون]] است.
|valign=top|[[پرونده:orbit3.gif|200px]]{{سخ}}دو جسم '''با اختلاف جرم زیاد''' که به دور مرکز جرم مشترکشان که داخل جرم سنگین‌تر قرار گرفته دوران می‌کنند (مشابه [[زمین]] و [[ماه]])
|valign=top|[[پرونده:orbit4.gif|200px]]{{سخ}}دو جسم '''با اختلاف جرم بسیار زیاد''' که به دور مرکز جرم مشترکشان (که داخل جرم سنگین‌تر و نزدیک به مرکز آن قرار گرفته) دوران می‌کنند (مشابه [[خورشید]] و [[زمین]])
|}

== ساده‌شدن به دو مسئله تک جسم مستقل ==
[[پرونده:Two-body Jacobi coordinates.JPG|بندانگشتی|300px|[[مختصات یاکوبی]]<!--en:Jacobi coordinates--> برای مسئله دو جسم؛ مختصه‌های جاکوبی <math>\boldsymbol{R}=\frac {m_1}{M} \boldsymbol{x}_1 + \frac {m_2}{M} \boldsymbol{x}_2 </math> و <math>\boldsymbol{r} = \boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_2 </math> با <math>M = m_1+m_2 \ </math> هستند.<ref name=Betounes>{{cite book |title=Differential Equations |url=https://archive.org/details/differentialequa0000beto |author=David Betounes |isbn=0-387-95140-7 |page=58; Figure 2.15 |year=2001 |publisher=Springer}}</ref>]]
اگر <math>x_1</math> و <math>x_2</math> مکان دو جسم و <math>m_1</math> و <math>m_2</math> جرم آنها باشد، هدف مسئله دو جسم تعیین مسیر <math>x_1(t)</math> و <math>x_2(t)</math> با داشتن مکان اولیه <math>x_1(t=0)</math> و <math>x_2(t=0)</math> و سرعت اولیه <math>v_1(t=0)</math> و <math>v_2(t=0)</math> است.

با اعمال [[قوانین حرکت نیوتن#قانون دوم|قانون دوم نیوتن]] برای این دو جسم، روابط زیر بدست می‌آید:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{1} \ddot{\mathbf{x}}_{1} \quad \quad \quad (\mathrm{Equation} \  1)
</math>
:<math>
\mathbf{F}_{21}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{2} \ddot{\mathbf{x}}_{2} \quad \quad \quad (\mathrm{Equation} \  2)
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که <math>F_{12}</math> نیروی واردشده از طرف جسم ۲ به جسم ۱ و <math>F_{21}</math> نیروی واردشده از طرف جسم ۱ به جسم ۲ است. اضافه‌کردن و کم‌کردن این دو رابطه از یکدیگر، مسئله را به دو مسئلهٔ تک جسم تبدیل می‌کند. اضافه‌کردن این دو رابطه، منجر به رابطه‌ای می‌شود که حرکت [[گرانیگاه|مرکز جرم]] ([[مرکز سنگینی سراسری]]) را تعیین می‌کند. در مقابل، کم‌کردن رابطهٔ (۲) از رابطهٔ (۱)، منجر به رابطه‌ای می‌شود که نشان می‌دهد بردار <math>r=x_1-x_2</math> بین دو جسم، چگونه با زمان تغییر می‌کند.

=== حرکت مرکز جرم (مسئلهٔ تک‌جسم نخست) ===
اضافه‌کردن دو رابطه (۱) و (۲) و استفاده از [[قوانین حرکت نیوتن#قانون سوم|قانون سوم نیوتن]] (<math>F_{12}= - F_{21}</math>) نتیجه می‌دهد:
{{چپ‌چین}}
:<math>
m_{1}\ddot{\mathbf{x}}_1 + m_2 \ddot{\mathbf{x}}_2 = (m_1 + m_2)\ddot{\mathbf{R}}  = \mathbf{F}_{12} + \mathbf{F}_{21} = 0
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که <math>R</math> بردار مکان [[گرانیگاه|مرکز جرم]] سامانه دو جرم بوده و از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\ddot{\mathbf{R}}  \equiv \frac{m_{1}\ddot{\mathbf{x}}_{1} + m_{2}\ddot{\mathbf{x}}_{2}}{m_{1} + m_{2}}
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
بنابراین رابطهٔ زیر بدست می‌آید:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\ddot{\mathbf{R}}  = 0
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که نشان می‌دهد که سرعت مرکز جرم (و در نتیجه [[تکانه]] کل) ثابت می‌ماند ([[تکانه#قانون پایستگی تکانهٔ خطی|قانون پایستگی تکانه]]). بنابراین با داشتن مکان‌ها و سرعت‌های اولیه، مکان مرکز جرم (<math>R(t)</math>) را می‌توان در هر لحظه تعیین کرد.

=== حرکت بردار جابجایی (مسئلهٔ تک‌جسم دوم) ===
با تقسیم هر رابطه بر جرم متناظر و کم‌کردن رابطهٔ دوم از اول، رابطهٔ زیر بدست می‌آید:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\ddot {\mathbf{r}} = \ddot{\mathbf{x}}_{1} - \ddot{\mathbf{x}}_{2} =
\left(\frac{\mathbf{F}_{12}}{m_{1}} - \frac{\mathbf{F}_{21}}{m_{2}} \right) =
\left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} \right)\mathbf{F}_{12}
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که <math>r</math> [[بردار جابجایی]] از جرم ۲ به جرم ۱ است.
نیروی بین دو جسم باید تنها تابع مکان نسبی آنها (<math>r</math>) بوده و نمی‌تواند تابع مکان مطلق آنها (<math>x_1</math>و <math>x_2</math>) باشد؛ زیرا در غیر این صورت، قوانین فیزیک از مکانی به مکان دیگر تغییر می‌کرد.

این رابطه می‌تواند به صورت زیر بازنویسی شود:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\mu \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = \mathbf{F}(\mathbf{r})
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که <math>\mu</math> [[جرم کاهش‌یافته]] نامیده می‌شود:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\mu = \frac{1}{\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_{2}}} = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
با توجه به تعریف <math>R</math> و <math>r</math>، روابط زیر را می‌توان برای بردار مکان دو جسم نوشت:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\mathbf{x}_1(t) =
\mathbf{R} (t) + \frac{m_2}{m_1 + m_2} \mathbf{r}(t)
</math>
:<math>
\mathbf{x}_2(t) =
\mathbf{R} (t) - \frac{m_{1}}{m_1 + m_2} \mathbf{r}(t)
</math>
{{پایان چپ‌چین}}

== جستارهای وابسته ==
* [[مسئله دو جسم در نسبیت عام]]
* [[مدار (سیاره)]]

== پانویس ==
{{پانویس}}

[[رده:سامانه‌های دینامیکی]]
[[رده:مدارها (سیاره)]]
[[رده:مفاهیم فیزیکی]]
[[رده:مکانیک کلاسیک]]