نمایش مبدأ برای مسئله بازل

'''مسئله بازل'''، مسئله ای در [[آنالیز ریاضی]] در ارتباط با نظریه [[عدد اول|اعداد اول]] است که اولین بار در سال ۱۶۵۰ توسط پیترو منگلی مطرح شد و توسط لئوناردو [[لئونارد اویلر|اویلر]] در سال ۱۷۳۴ حل شد<ref>{{cite journal|last=Ayoub|first=Raymond|title=Euler and the zeta function|journal=Amer. Math. Monthly|volume=81|year=1974|pages=1067–86|url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/euler-and-the-zeta-function|doi=10.2307/2319041|access-date=۲۹ نوامبر ۲۰۱۸|archive-date=۱۴ اوت ۲۰۱۹|archive-url=https://web.archive.org/web/20190814233022/https://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/euler-and-the-zeta-function|url-status=dead}}</ref> و در تاریخ ۵ دسامبر ۱۷۳۵ در ''فرهنگستان علوم سنت پترزبورگ خوانده شد''.<ref>[http://eulerarchive.maa.org/pages/E041.html E41 – De summis serierum reciprocarum]</ref>از آنجا که حل این مسئله در برابر حملات [[ریاضی‌دان|ریاضیدانان]] برجسته روز مقاومت کرد، برای اویلر که در آن زمان تنها بیست و هشت سال داشت، شهرتی زود هنگام بدست آورد. اویلر این مسئله را به‌طور قابل ملاحظه ای تعمیم داد، و ایده‌های او سالها بعد توسط [[برنهارت ریمان]] در سال ۱۸۵۹ در مقاله ای به نام «تعداد اعداد اول کوچکتر از یک مقدار داده شده» که در این مقاله او تابع زتای خود را تعریف کرد و خواص اساسی آنرا اثبات نمود، به کار گرفته شد. مسئله بازل بعد از او، به نام زادگاه خانوادگی اویلر و برنولی که در حمله به این مسئله ناموفق بودند، نامیده می‌شود.

مسئله بازل در مورد مجموع دقیق معکوس مربعهای [[عدد طبیعی|اعداد طبیعی]] صحبت می‌کند، یعنی مجموع دقیق [[سری (ریاضیات)|سری‌های نامتناهی]] برابر است با:

{{چپ‌چین}}
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots</math>
{{پایان چپ‌چین}}.

مجموع این سری تقریباً برابر با ۱٫۶۴۴۹۳۴ می‌باشد. مسئله بازل مقدار دقیق مجموع این سری را بیان می‌کند (در فرم بسته) و همچنین به عنوان اثبات درستی این مجموع می‌باشد. اویلر مقدار دقیق مجموع را {{sfrac|<sup>2</sup>{{pi}}|6}} پیدا کرد و این کشف را در سال ۱۷۳۵ اعلام کرد. استدلالات او بر اساس دست کاریهایی در محاسبات بود که در آن زمان نتوانست آنها را توجیه کند، اگر چه بعدها درستی آنها ثابت شد و این مسئله در سال ۱۷۴۱ اتفاق افتاد که او توانست یک اثبات دقیق درست بیان کند.

== جستارهای وابسته ==
* [[تابع زتای ریمان]]

== منابع ==
{{پانویس}}
* {{یادکرد-ویکی|پیوند =https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem|عنوان = Basel problem|زبان =انگلیسی|بازیابی = 29 نوامبر2018}}
{{پانویس|چپ‌چین=بله|۲}}

== پیوند به بیرون ==
* [http://plus.maths.org/content/infinite-series-surprises An infinite series of surprises] by C. J. Sangwin
* [https://fylux.github.io/2017/03/30/Pi/ Step by step Proof]
* {{cite web|url= http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/translations/E352.pdf |title=Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que reciproques}} {{small|(348 kB)}}، English translation with notes of Euler’s paper by Lucas Willis and Thomas J. Osler
* {{cite web|url= http://eulerarchive.maa.org/hedi/HEDI-2003-12.pdf |title=How Euler did it}} {{small|(265 kB)}}
* {{cite web |url= http://www.math.psu.edu/sellersj/p25.pdf |title= The infinite series of Euler and the Bernoulli's spice up a calculus class |accessdate= ۲۹ نوامبر ۲۰۱۸ |archiveurl= https://web.archive.org/web/20130418033057/http://www.math.psu.edu/sellersj/p25.pdf |archivedate= ۱۸ آوریل ۲۰۱۳ |dead-url= yes }} {{small|(106 kB)}}
* {{cite web |url= http://secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf |title= Evaluating {{math|''ζ''(2)}} |access-date= ۲۹ نوامبر ۲۰۱۸ |archive-date= ۲۹ ژوئن ۲۰۰۷ |archive-url= https://web.archive.org/web/20070629174127/http://secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf |url-status= dead }} {{small|(184 kB)}}، Fourteen proofs compiled by Robin Chapman
* [https://web.archive.org/web/20181130113058/https://giphy.com/gifs/math-visualization-algorithm-xThuW9Pyh8jXvfbrUc Visualization of Euler's factorization of the sine function]

[[رده:توابع زتا و ال]]
[[رده:مربعات در نظریه اعداد]]
[[رده:مسئله‌های ریاضی]]
[[رده:نظریه اعداد]]


{{ریاضی-خرد}}