نمایش مبدأ برای مرکز (نظریه گروه‌ها)

{{short description|مجموعه عناصری با هر یک از عناصر یک گروه جابه‌جا می‌شود}}
{{چپ‌چین}}
{| class="wikitable floatleft"
|+ style="text-align: right;" |[[جدول کیلی]] برای <math>D_4</math>، عناصر مرکز این گروه (یعنی <math>\{e, a^2\}</math>) که به صورت متقارن حول قطر اصلی آرایش یافته و رنگ آمیزی شده اند
!<sup>o</sup>
!e
!b
!a
!a<sup>2</sup>
!a<sup>3</sup>
!ab
!a<sup>2</sup>b
!a<sup>3</sup>b
|- align="center"
!e
| style="background: green; color: white;" |'''e'''
|b
|a
| style="background: red; color: white;" |a<sup>2</sup>
|a<sup>3</sup>
|ab
|a<sup>2</sup>b
|a<sup>3</sup>b
|- align="center"
!b
|b
| style="background: green; color: white;" |'''e'''
|a<sup>3</sup>b
|a<sup>2</sup>b
|ab
|a<sup>3</sup>
| style="background: red; color: white;" |a<sup>2</sup>
|a
|- align="center"
!a
|a
|ab
| style="background: red; color: white;" |a<sup>2</sup>
|a<sup>3</sup>
| style="background: green; color: white;" |'''e'''
|a<sup>2</sup>b
|a<sup>3</sup>b
|b
|- align="center"
!a<sup>2</sup>
| style="background: red; color: white;" |a<sup>2</sup>
|a<sup>2</sup>b
|a<sup>3</sup>
| style="background: green; color: white;" |'''e'''
|a
|a<sup>3</sup>b
|b
|ab
|- align="center"
!a<sup>3</sup>
|a<sup>3</sup>
|a<sup>3</sup>b
| style="background: green; color: white;" |'''e'''
|a
| style="background: red; color: white;" |a<sup>2</sup>
|b
|ab
|a<sup>2</sup>b
|- align="center"
!ab
|ab
|a
|b
|a<sup>3</sup>b
|a<sup>2</sup>b
| style="background: green; color: white;" |'''e'''
|a<sup>3</sup>
| style="background: red; color: white;" |a<sup>2</sup>
|- align="center"
!a<sup>2</sup>b
|a<sup>2</sup>b
| style="background: red; color: white;" |a<sup>2</sup>
|ab
|b
|a<sup>3</sup>b
|a
| style="background: green; color: white;" |'''e'''
|a<sup>3</sup>
|- align="center"
!a<sup>3</sup>b
|a<sup>3</sup>b
|a<sup>3</sup>
|a<sup>2</sup>b
|ab
|b
| style="background: red; color: white;" |a<sup>2</sup>
|a
| style="background: green; color: white;" |'''e'''
|}
{{پایان چپ‌چین}}
در [[جبر مجرد]]، '''مرکز''' {{انگلیسی|Center}} [[گروه (ریاضیات)|گروهی]] چون <math>G</math>، مجموعه عناصری اند که با تمام عناصر گروه [[خاصیت جابه‌جایی|جابه‌جا]] می‌گردند. این مجموعه را با <math>Z(G)</math> نمایش داده که از حرف اول کلمه ''Zentrum'' در [[زبان آلمانی|آلمانی]] (به معنای ''مرکز'') گرفته شده است. براساس نماد مجموعه-ساز، این مجموعه به صورت زیر نمایش داده می‌شود:
{{ وسط‌چین}}
<math>\operatorname{Z}(G)=\{z\in G\mid\forall g\in G, \it{zg}=\it{gz}\}</math>
{{پایان وسط‌چین}}
مرکز، یک [[زیرگروه نرمال]] است: <math>Z(G)\vartriangleleft G</math>. این مجموعه به عنوان یک زیرگروه، همیشه مشخصه است (یعنی «[[زیرگروه مشخصه]]»)، اما لزوماً «مشخصه کامل» نیست. [[گروه خارج قسمتی|گروه خارج‌قسمتی]] <math>G/Z(G)</math>، یکریخت با گروه اتومورفیسم داخلی ([[خودریختی داخلی]]) <math>\operatorname{Inn}(G)</math> است.

گروهی چون <math>G</math> [[آبلی]] است اگر و تنها اگر <math>Z(G)=G</math> باشد. حالت مقابل آن زمانی پیش می‌آید که مرکز گروه بدیهی باشد (یعنی یک عضوی باشد، که همان عضو همانی گروه خواهد بود)، در این صورت گروه مورد نظر را «'''بی‌مرکز'''» می‌نامند.

برخی مواقع، عناصر مرکز گروه را '''مرکزی''' (central) می‌نامند.

== منابع ==
{{پانویس}}
{{چپ‌چین}}
* {{cite book|last1=Fraleigh|first1=John B.|authorlink1=|year=2014|title=A First Course in Abstract Algebra|url=https://archive.org/details/firstcourseinabs0000fral_o1w6|edition=7|publisher=Pearson|isbn=978-1-292-02496-7}}
{{پایان چپ‌چین}}
* {{یادکرد-ویکی|پیوند=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Center_(group_theory)&oldid=1027437122|عنوان=Center (Group Theory)|زبان=انگلیسی|بازیابی=۸ ژوئن ۲۰۲۱}}

{{جبر مجرد-خرد}}

[[رده:زیرگروه‌های تابعی]]
[[رده:نظریه گروه‌ها]]