نمایش مبدأ برای مدل بردلی-تری

'''مدل برادلی-تری''' یک [[نظریه احتمالات|مدل احتمال]] برای نتیجه مقایسه‌های دوتایی بین آیتم‌ها، تیم‌ها یا اشیا است. با توجه به یک جفت آیتم {{Mvar|i}} و {{Mvar|j}} که از یک [[جامعه آماری|توزیع]] خاص گرفته شده است، این احتمال را تخمین می‌زند که [[مقایسه زوجی (روان‌شناسی)|مقایسه زوجی]] {{ریاضی|''i'' > ''j''}} درست باشد، این فرض به احتمال زیر صحیح است:{{NumBlk|:|<math>P(i > j) = \frac{p_i}{p_i + p_j}</math>|{{EquationRef|1}}}}بطوریکه {{Mvar|p<sub>i</sub>}} یک امتیاز [[عدد حقیقی]] مثبت است که به هر یک از {{Mvar|i}}ها اختصاص داده شده است. مقایسه {{ریاضی|''i'' > ''j''}} می‌توان به صورت " {{Mvar|i}} به {{Mvar|j}} ترجیح داده شده"، "رتبه {{Mvar|i}} بالاتر از {{Mvar|j}} است"، یا " {{Mvar|i}} ,{{Mvar|j}} را می‌زند " بسته به کاربرد، خواند و با استفاده از "قضاوت" امکان ارزیابی ذهنی را فراهم می‌کند.

به عنوان مثال، {{Mvar|p<sub>i</sub>}} ممکن است نشان دهنده مهارت یک تیم در یک تورنمنت ورزشی باشد و <math>P(i>j)</math> به این معنای احتمال برد {{Mvar|i}} در بازی مقابل {{Mvar|j}} است.<ref name="hunter">{{Cite journal|last=Hunter|first=David R.|year=2004|title=MM algorithms for generalized Bradley–Terry models|url=http://projecteuclid.org/euclid.aos/1079120141|journal=The Annals of Statistics|volume=32|issue=1|pages=384–406|citeseerx=10.1.1.110.7878|doi=10.1214/aos/1079120141|jstor=3448514}}</ref> یا {{Mvar|p<sub>i</sub>}} ممکن است نشان دهنده کیفیت یا مطلوبیت یک محصول تجاری باشد و <math>P(i>j)</math> احتمال این است که مصرف‌کننده محصول {{Mvar|i}} را بر محصول {{Mvar|j}} ترجیح می‌دهد.

مدل بردلی-تری می‌تواند در جهت رو به جلو برای پیش‌بینی نتایج، همان‌طور که توضیح داده شد، استفاده شود، اما معمولاً به صورت معکوس برای استنتاج امتیازات {{Mvar|p<sub>i</sub>}} با توجه به مجموعه‌ای از نتایج مشاهده شده استفاده می‌شود. در این نوع کاربرد {{Mvar|p<sub>i</sub>}} نشان دهنده مقداری از قدرت یا کیفیت <math>i</math> است و این مدل به ما امکان می‌دهد نقاط قوت را از یک سری مقایسه‌های زوجی تخمین بزنیم. به عنوان مثال، در بررسی ترجیحات شراب، ممکن است برای پاسخ دهندگان دشوار باشد که رتبه‌بندی کاملی از مجموعه بزرگی از شراب‌ها را ارائه دهند، اما برای آنها نسبتاً آسان است که جفت‌های نمونه شراب را با هم مقایسه کنند و بگویند که کدام یک از شراب‌ها بهتر است. بر اساس مجموعه‌ای از این مقایسه‌های زوجی، می‌توان از مدل بردلی-تری برای به دست آوردن رتبه‌بندی کامل شراب‌ها استفاده کرد.

هنگامی که مقادیر امتیاز {{Mvar|p<sub>i</sub>}} محاسبه شد، می‌توان از مدل در جهت رو به جلو نیز استفاده کرد، به عنوان مثال برای پیش‌بینی نتیجه احتمالی مقایسه‌هایی که هنوز واقعاً رخ نداده‌اند. به عنوان مثال، در مثال بررسی شراب، می‌توان احتمال ترجیح شراب <math>i</math>  بر شراب <math>j</math> را محاسبه کرد، حتی اگر هیچ‌کس در نظرسنجی مستقیماً آن جفت خاص را مقایسه نکرده باشد.

== تاریخچه و کاربردها ==
این مدل به افتخار رالف آ. بردلی و میلتون ای. تری،<ref>{{Cite encyclopedia|title=Bradley-Terry model|encyclopedia=Encyclopedia of Mathematics|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Bradley-Terry_model&oldid=22181|accessdate=18 November 2014}}</ref> که آن را در سال ۱۹۵۲ ارائه کردند، نامگذاری شده است،<ref>{{Cite journal|last=Bradley|first=Ralph Allan|last2=Terry|first2=Milton E.|year=1952|title=Rank Analysis of Incomplete Block Designs: I. The Method of Paired Comparisons|journal=Biometrika|volume=39|issue=3/4|pages=324–345|doi=10.2307/2334029|jstor=2334029}}</ref> اگرچه قبلاً توسط [[ارنست تسرملو|ارنست زرملو]] در دهه ۱۹۲۰ مورد مطالعه قرار گرفته بود.<ref name="hunter">{{Cite journal|last=Hunter|first=David R.|year=2004|title=MM algorithms for generalized Bradley–Terry models|url=http://projecteuclid.org/euclid.aos/1079120141|journal=The Annals of Statistics|volume=32|issue=1|pages=384–406|citeseerx=10.1.1.110.7878|doi=10.1214/aos/1079120141|jstor=3448514}}<cite class="citation journal cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFHunter2004">Hunter, David R. (2004). [http://projecteuclid.org/euclid.aos/1079120141 "MM algorithms for generalized Bradley–Terry models"]. ''The Annals of Statistics''. '''32''' (1): 384–406. [[سایت‌سیر|CiteSeerX]]&nbsp;<span class="id-lock-free" title="Freely accessible">[https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.110.7878 10.1.1.110.7878]</span>. [[شناساگر اشیاء دیجیتال|doi]]:[[doi:10.1214/aos/1079120141|10.1214/aos/1079120141]]. [[جی‌استور|JSTOR]]&nbsp;[https://www.jstor.org/stable/3448514 3448514].</cite></ref><ref name="zermelo">{{Cite journal|last=Zermelo|first=Ernst|year=1929|title=Die Berechnung der Turnier-Ergebnisse als ein Maximumproblem der Wahrscheinlichkeitsrechnung|journal=[[Mathematische Zeitschrift]]|volume=29|pages=436–460|doi=10.1007/BF01180541}}</ref><ref>{{Citation|title=Ernst Zermelo: An Approach to His Life and Work|last=Heinz-Dieter Ebbinghaus|year=2007|isbn=978-3-540-49553-6|pages=268–269|publisher=Springer}}</ref> کاربردهای این مدل شامل رتبه‌بندی رقبا در مسابقات ورزشی، شطرنج و سایر مسابقات،<ref>{{Cite journal|last=Shev|first=A.|last2=Fujii|first2=K.|last3=Hsieh|first3=F.|last4=McCowan|first4=B.|year=2014|title=Systemic testing on Bradley-Terry model against nonlinear ranking hierarchy|journal=[[PLOS One]]|volume=9|pages=e115367|doi=10.1371/journal.pone.0115367|pmc=4274013|pmid=25531899|doi-access=free}}</ref> رتبه‌بندی محصولات در نظرسنجی‌های مقایسه زوجی [[مدل‌سازی گزینه|انتخاب مصرف‌کننده]]، تجزیه و تحلیل [[سلسله‌مراتب چیرگی|سلسله مراتب سلطه]] در جوامع حیوانی و انسانی،<ref>{{Cite journal|last=Boyd|first=Robert|last2=Silk|first2=Joan B.|author-link2=Joan Silk|year=1983|title=A method for assigning cardinal dominance ranks|url=https://archive.org/details/sim_animal-behaviour_1983-02_31/page/45|journal=[[Animal Behaviour]]|volume=31|pages=45–58|doi=10.1016/S0003-3472(83)80172-9}}</ref> رتبه‌بندی [[ژورنال علمی|مجلات]]، رتبه‌بندی مدل‌های هوش مصنوعی،<ref>{{Cite web|title=Chatbot Arena: New models & Elo system update {{!}} LMSYS Org|url=https://lmsys.org/blog/2023-12-07-leaderboard|accessdate=2024-01-30|website=lmsys.org|language=en}}</ref> و برآورد ارتباط اسناد در [[موتور جستجوی وب|موتورهای جستجوی]] ماشینی و غیره است.

== تعریف ==
مدل بردلی-تری را می‌توان به روش‌های مختلفی پارامتری کرد. معادله ({{EquationNote|1}}) شاید رایج‌ترین روش باشد، اما تعدادی دیگر نیز وجود دارد. بردلی و تری خود توابع امتیاز نمایی، <math>p_i = e^{\beta_i}</math> ، را تعریف کرده‌اند به طوری که

: <math>P(i > j) = \frac{e^{\beta_i}}{e^{\beta_i} + e^{\beta_j}}.</math>

به‌طور معادل می‌توان از یک [[لوجیت|logit]] استفاده کرد، به طوری که<ref name="hunter">{{Cite journal|last=Hunter|first=David R.|year=2004|title=MM algorithms for generalized Bradley–Terry models|url=http://projecteuclid.org/euclid.aos/1079120141|journal=The Annals of Statistics|volume=32|issue=1|pages=384–406|citeseerx=10.1.1.110.7878|doi=10.1214/aos/1079120141|jstor=3448514}}<cite class="citation journal cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFHunter2004">Hunter, David R. (2004). [http://projecteuclid.org/euclid.aos/1079120141 "MM algorithms for generalized Bradley–Terry models"]. ''The Annals of Statistics''. '''32''' (1): 384–406. [[سایت‌سیر|CiteSeerX]]&nbsp;<span class="id-lock-free" title="Freely accessible">[https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.110.7878 10.1.1.110.7878]</span>. [[شناساگر اشیاء دیجیتال|doi]]:[[doi:10.1214/aos/1079120141|10.1214/aos/1079120141]]. [[جی‌استور|JSTOR]]&nbsp;[https://www.jstor.org/stable/3448514 3448514].</cite></ref>

: <math>\operatorname{logit} P(i > j) = \log \frac{P(i > j)}{1 - P(i > j)} = \log \frac{P(i > j)}{P(j > i)} = \beta_i - \beta_j,</math>

یعنی <math display="inline"> \operatorname{logit} p = \log\frac p{1-p} </math> برای <math display="inline"> 0<p<1.</math>

این فرمول شباهت بین مدل بردلی-تری و [[رگرسیون لجستیک]] را برجسته می‌کند. هر دو اساساً از یک مدل واحد، اما به روش‌های مختلف استفاده می‌کنند. در رگرسیون لجستیک فرد معمولاً پارامترهای <math>\beta_i</math> را می‌داند و تلاش می‌کند تا شکل عملکردی <math>P(i>j)</math> را استنباط کند؛ در رتبه‌بندی تحت مدل بردلی-تری، فرد شکل عملکردی را می‌شناسد و سعی می‌کند پارامترها را استنتاج کند.

=== تخمین پارامترها ===
رایج‌ترین کاربرد مدل برادلی-تری، استنتاج مقادیر پارامترهای <math>p_i</math> با توجه به مجموعه ای از نتایج مشاهده شده <math>i>j</math> است مانند برد و باخت در یک مسابقه. ساده‌ترین راه برای تخمین پارامترها [[برآورد درست‌نمایی بیشینه|، تخمین حداکثر درستنمایی]] است، یعنی با به حداکثر رساندن [[تابع درست‌نمایی|احتمال]] نتایج مشاهده شده با توجه به مقادیر مدل و پارامتر.

فرض کنید نتایج مجموعه ای از رقابت‌های دوتایی بین گروه خاصی از افراد را می‌دانیم و اجازه دهید {{Mvar|w<sub>ij</sub>}} تعداد دفعاتی باشد که {{Mvar|i}} فردی {{Mvar|j}} را شکست می‌دهد. سپس احتمال این مجموعه از نتایج در مدل بردلی-تری<math>\prod_{ij} [P(i>j)]^{w_{ij}}</math> است و [[تابع درست‌نمایی|درستنمایی]] پارامتر {{ریاضی|'''p''' {{=}} [''p''<sub>1</sub>, ..., ''p<sub>n</sub>'']}} برابر است با<ref name="hunter">{{Cite journal|last=Hunter|first=David R.|year=2004|title=MM algorithms for generalized Bradley–Terry models|url=http://projecteuclid.org/euclid.aos/1079120141|journal=The Annals of Statistics|volume=32|issue=1|pages=384–406|citeseerx=10.1.1.110.7878|doi=10.1214/aos/1079120141|jstor=3448514}}<cite class="citation journal cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFHunter2004">Hunter, David R. (2004). [http://projecteuclid.org/euclid.aos/1079120141 "MM algorithms for generalized Bradley–Terry models"]. ''The Annals of Statistics''. '''32''' (1): 384–406. [[سایت‌سیر|CiteSeerX]]&nbsp;<span class="id-lock-free" title="Freely accessible">[https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.110.7878 10.1.1.110.7878]</span>. [[شناساگر اشیاء دیجیتال|doi]]:[[doi:10.1214/aos/1079120141|10.1214/aos/1079120141]]. [[جی‌استور|JSTOR]]&nbsp;[https://www.jstor.org/stable/3448514 3448514].</cite></ref>

: <math>
\begin{align}
L(\mathbf{p}) & = \ln \prod_{ij} [P(i>j)]^{w_{ij}} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \ln \left(\frac{p_i}{p_i+p_j}\right)^{w_{ij}} \\[6pt]
& = \sum_{ij} w_{ij} \ln \frac{p_i}{p_i+p_j} = \sum_{ij} [w_{ij} \ln p_i - w_{ij} \ln(p_i + p_j)].
\end{align}
</math>

Zermelo<ref name="zermelo">{{Cite journal|last=Zermelo|first=Ernst|year=1929|title=Die Berechnung der Turnier-Ergebnisse als ein Maximumproblem der Wahrscheinlichkeitsrechnung|journal=[[Mathematische Zeitschrift]]|volume=29|pages=436–460|doi=10.1007/BF01180541}}<cite class="citation journal cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFZermelo1929">Zermelo, Ernst (1929). "Die Berechnung der Turnier-Ergebnisse als ein Maximumproblem der Wahrscheinlichkeitsrechnung". ''[[Matheatische Zeitschrift|Mathematische Zeitschrift]]''. '''29''' (1): 436–460. [[شناساگر اشیاء دیجیتال|doi]]:[[doi:10.1007/BF01180541|10.1007/BF01180541]]. [[سمانتیک اسکالر|S2CID]]&nbsp;[https://api.semanticscholar.org/CorpusID:122877703 122877703].</cite></ref> نشان داد که این عبارت تنها دارای یک ماکزیمم واحد است که با اگر نسبت به <math>p_i</math> مشتق گرفته و نتیجه را مساوی صفر قرار دهیم خواهیم داشت:{{NumBlk|:|<math>p_i = \frac{\sum_{j} w_{ij}}{\sum_{j} (w_{ij}+w_{ji})/ (p_i+p_j)}.</math>|{{EquationRef|2}}}}این معادله هیچ راه حل بسته شناخته شده‌ای ندارد، اما زرملو حل آن را با تکرار ساده پیشنهاد کرد. با شروع از هر مجموعه مناسبی از مقادیر اولیه (مثبت) برای <math>p_i</math> ، یکی به‌طور مکرر به روز رسانی را انجام می‌دهد{{NumBlk|:|<math>p_i' = \frac{\sum_{j} w_{ij}}{\sum_{j} (w_{ij}+w_{ji})/ (p_i+p_j)}</math>|{{EquationRef|3}}}}برای همه {{Mvar|i}}‌ها به نوبت این مقادیر محاسبه می‌شود. پارامترهای به دست آمده تا یک ضریب ثابت، دلخواه هستند، بنابراین پس از محاسبه همه مقادیر جدید باید با تقسیم بر میانگین هندسی آنها نرمال سازی شوند:{{NumBlk|:|<math>p_i \leftarrow \frac{p'_i}{\left(\prod_{j=1}^n p'_j\right)^{1/n}}.</math>|{{EquationRef|4}}}}این فرایند تخمین، احتمال ورود به سیستم را در هر تکرار بهبود می‌بخشد و تضمین می‌شود که در نهایت به حداکثر منحصر به فرد برسد.<ref name="zermelo">{{Cite journal|last=Zermelo|first=Ernst|year=1929|title=Die Berechnung der Turnier-Ergebnisse als ein Maximumproblem der Wahrscheinlichkeitsrechnung|journal=[[Mathematische Zeitschrift]]|volume=29|pages=436–460|doi=10.1007/BF01180541}}<cite class="citation journal cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFZermelo1929">Zermelo, Ernst (1929). "Die Berechnung der Turnier-Ergebnisse als ein Maximumproblem der Wahrscheinlichkeitsrechnung". ''[[Matheatische Zeitschrift|Mathematische Zeitschrift]]''. '''29''' (1): 436–460. [[شناساگر اشیاء دیجیتال|doi]]:[[doi:10.1007/BF01180541|10.1007/BF01180541]]. [[سمانتیک اسکالر|S2CID]]&nbsp;[https://api.semanticscholar.org/CorpusID:122877703 122877703].</cite></ref><ref>{{Cite journal|last=Ford, Jr.|first=L. R.|year=1957|title=Solution of a ranking problem from binary comparisons|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1957-01_64_1/page/28|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=64|pages=28–33|doi=10.1080/00029890.1957.11989117}}</ref> با این حال، همگرایی کند است.<ref name="hunter">{{Cite journal|last=Hunter|first=David R.|year=2004|title=MM algorithms for generalized Bradley–Terry models|url=http://projecteuclid.org/euclid.aos/1079120141|journal=The Annals of Statistics|volume=32|issue=1|pages=384–406|citeseerx=10.1.1.110.7878|doi=10.1214/aos/1079120141|jstor=3448514}}<cite class="citation journal cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFHunter2004">Hunter, David R. (2004). [http://projecteuclid.org/euclid.aos/1079120141 "MM algorithms for generalized Bradley–Terry models"]. ''The Annals of Statistics''. '''32''' (1): 384–406. [[سایت‌سیر|CiteSeerX]]&nbsp;<span class="id-lock-free" title="Freely accessible">[https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.110.7878 10.1.1.110.7878]</span>. [[شناساگر اشیاء دیجیتال|doi]]:[[doi:10.1214/aos/1079120141|10.1214/aos/1079120141]]. [[جی‌استور|JSTOR]]&nbsp;[https://www.jstor.org/stable/3448514 3448514].</cite></ref><ref>{{Cite journal|last=Dykstra, Jr.|first=Otto|year=1956|title=A note on the rank analysis of incomplete block designs|url=https://archive.org/details/sim_biometrics_1956-09_12_3/page/301|journal=[[Biometrics]]|volume=12|pages=301–306|doi=10.2307/2334029|jstor=2334029}}</ref> اخیراً اشاره شده است<ref name="newman">{{Cite journal|last=Newman|first=M. E. J.|year=2023|title=Efficient computation of rankings from pairwise comparisons|url=https://jmlr.org/papers/v24/22-1086.html|journal=[[Journal of Machine Learning Research]]|volume=24|pages=1–25|doi=}}</ref> که معادله ({{EquationNote|2}}) را نیز می‌توان به صورت بازآرایی کرد.

: <math>p_i = \frac{\sum_{j} w_{ij} p_j/(p_i+p_j)}{\sum_{j} w_{ji}/(p_i+p_j)},</math>

که با تکرار قابل حل است{{NumBlk|:|<math>p_i' = \frac{\sum_{j} w_{ij} p_j/(p_i+p_j)}{\sum_j w_{ji}/(p_i+p_j)},</math>|{{EquationRef|5}}}}پس از هر دور به روز رسانی با استفاده از معادله ({{EquationNote|4}}) دوباره عادی می‌شود. این تکرار نتایج یکسانی را با خروجی معادله ({{EquationNote|3}}) می‌دهد، اما خیلی سریعتر همگرا می‌شود و از این رو معمولاً بر ({{EquationNote|3}}) ترجیح داده می‌شود.<ref name="newman">{{Cite journal|last=Newman|first=M. E. J.|year=2023|title=Efficient computation of rankings from pairwise comparisons|url=https://jmlr.org/papers/v24/22-1086.html|journal=[[Journal of Machine Learning Research]]|volume=24|pages=1–25|doi=}}<cite class="citation journal cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFNewman2023">Newman, M. E. J. (2023). [https://jmlr.org/papers/v24/22-1086.html "Efficient computation of rankings from pairwise comparisons"]. ''[[مجله تحقیقات یادگیری ماشین|Journal of Machine Learning Research]]''. '''24''' (238): 1–25.</cite></ref>

==== نمونه کار شده از روش حل ====
یک رقابت ورزشی بین چهار تیم را در نظر بگیرید که در مجموع ۲۲ بازی را بین خود انجام می‌دهند. بردهای هر تیم در ردیف‌های جدول زیر و حریفان به صورت ستون آورده شده‌اند:
{| class="wikitable"
|+نتایج
!
! آ
! ب
! سی
! D
|-
| '''آ'''
| –
| ۲
| ۰
| ۱
|-
| '''ب'''
| ۳
| –
| ۵
| ۰
|-
| '''سی'''
| ۰
| ۳
| –
| ۱
|-
| '''D'''
| ۴
| ۰
| ۳
| –
|}
به عنوان مثال، تیم A دو بار تیم B را شکست داده و سه بار به تیم B باخته است و با تیم C اصلاً بازی نکرده است. یک برد و چهار باخت مقابل تیم D دارد.

ما می‌خواهیم نقاط قوت نسبی تیم‌ها را تخمین بزنیم که این کار را با محاسبه پارامترهای <math>p_i</math> انجام می‌دهیم، بطوریکه پارامترهای بالاتر نشان دهنده مهارت بیشتر است. برای انجام این کار، چهار ورودی را در بردار پارامتر {{ریاضی|'''p'''}} به‌طور دلخواه مقداردهی می‌کنیم، به عنوان مثال مقدار ۱ را به هر تیم اختصاص می‌دهیم: {{ریاضی|[۱, ۱, ۱, ۱]}}. سپس معادله ({{EquationNote|5}}) را برای به روز رسانی <math>p_1</math> اعمال می‌کنیم، که نتیجه زیر حاصل می‌شود:<math display="block">p_1 = \frac{\sum_{j(\ne 1)} w_{1j} p_j/(p_1+p_j)}{\sum_{j(\ne 1)} w_{j1}/(p_1+p_j)} =
\frac{2\frac{1}{1+1} + 0\frac{1}{1+1} + 1\frac{1}{1+1}}{3\frac{1}{1+1}+0\frac{1}{1+1} + 4\frac{1}{1+1}} = 0.429.</math>اکنون ({{EquationNote|5}}) را دوباره برای به روز رسانی <math>p_2</math> اعمال می‌کنیم، مطمئن شوید که از مقدار جدید <math>p_1</math> که محاسبه شد استفاده می‌کنید:<math display="block">p_2 = \frac{\sum_{j(\ne 2)} w_{2j} p_j/(p_2+p_j)}{\sum_{j(\ne 2)} w_{j2}/(p_2+p_j)} =
\frac{3\frac{0.429}{1+0.429} + 5\frac{1}{1+1} + 0\frac{1}{1+1}}{2\frac{1}{1+0.429}+3\frac{1}{1+1} + 0\frac{1}{1+1}} = 1.172</math>به‌طور مشابه برای <math>p_3</math> و <math>p_4</math> داریم:<math display="block">p_3 = \frac{\sum_{j(\ne 3)} w_{3j} p_j/(p_3+p_j)}{\sum_{j(\ne 3)} w_{j3}/(p_3+p_j)} =
\frac{0\frac{0.429}{1+0.429} + 3\frac{1.172}{1+1.172} + 1\frac{1}{1+1}}{0\frac{1}{1+0.429}+5\frac{1}{1+1.172} + 3\frac{1}{1+1}} = 0.557</math><math display="block">p_4 = \frac{\sum_{j(\ne 4)} w_{4j} p_j/(p_4+p_j)}{\sum_{j(\ne 4)} w_{j4}/(p_4+p_j)} =
\frac{4\frac{0.429}{1+0.429} + 0\frac{1.172}{1+1.172} + 3\frac{0.557}{1+0.557}}{1\frac{1}{1+0.429}+0\frac{1}{1+1.172} + 1\frac{1}{1+0.557}} = 1.694</math>سپس تمام پارامترها را با تقسیم بر میانگین هندسی آنها نرمال می‌کنیم <math>(0.429\times1.172\times0.557\times1.694)^{1/4} = 0.830</math> برای بدست آوردن پارامترهای تخمینی {{ریاضی|'''p''' {{=}} [۰٫۵۱۶, ۱٫۴۱۳, ۰٫۶۷۲, ۲٫۰۴۱]}}.

برای بهبود بیشتر تخمین‌ها، با استفاده از مقادیر {{ریاضی|'''p'''}} جدید، فرایند را تکرار می‌کنیم؛ مثلاً،<math display="block"> p_1 =
\frac{2\cdot\frac{1.413}{0.516+1.413} + 0\cdot\frac{0.672}{0.516+0.672} + 1\cdot\frac{2.041}{0.516+2.041}}{3\cdot\frac{1}{0.516+1.413}+0\cdot\frac{1}{0.516+0.672} + 4\cdot\frac{1}{0.516+2.041}} = 0.725.</math>با تکرار این فرایند برای پارامترهای باقیمانده و عادی سازی، {{ریاضی|'''p''' {{=}} [۰٫۶۷۷, ۱٫۰۳۴, ۰٫۶۲۴, ۲٫۲۸۷]}} را دریافت می‌کنیم. تکرار ۱۰ بار دیگر همگرایی سریع به سمت حل نهایی {{ریاضی|'''p''' {{=}} [۰٫۶۴۰, ۱٫۰۴۳, ۰٫۶۶۰, ۲٫۲۷۰]}} می‌دهد. این نشان می‌دهد که تیم D قوی‌ترین و تیم B دومین قوی‌تر است، در حالی که تیم‌های A و C تقریباً از نظر قدرت برابر هستند اما کمتر از تیم‌های B و D هستند. حتی اگر همه تیم‌ها با هم بازی نکرده باشند.

== جستارهای وابسته ==
* رگرسیون ترتیبی
* مدل راش
* [[مقیاس در علوم اجتماعی|مقیاس (علوم اجتماعی)]]
* [[رده‌بندی الو|سیستم رتبه‌بندی الو]]
* مدل تورستونی

== منابع ==
{{پانویس|30em}}
[[رده:رگرسیون لجستیک]]
[[رده:صفحه‌های با ترجمه بازبینی‌نشده]]
[[رده:مدل‌های آماری]]
[[رده:مدل‌های رگرسیون]]
[[رده:یادگیری ماشین]]