نمایش مبدأ برای مجموعه باز

[[پرونده:Red blue circle.svg|در شکل، مجموعه نقاط (''x'', ''y'') که در {{nowrap|''x''<sup>۲</sup> + ''y''<sup>۲</sup> &lt; ''r''<sup>۲</sup>}} صدق می‌کنند با رنگ قرمز مشخص شده که تشکیل یک مجموعهٔ باز را می‌دهد. (''x'', ''y'')هایی که در {{nowrap|1=''x''<sup>۲</sup> + ''y''<sup>۲</sup> = ''r''<sup>۲</sup>}} صدق می‌کنند نیز نقاط مرزی هستند که با رنگ آبی مشخص شده‌اند. اجتماع نقاط آبی (نقاط مرزی) و نقاط قرمز (مجموعه باز) تشکیل یک مجموعه بسته می‌دهد.|thumb]]
'''مجموعه باز''' [[مجموعه (ریاضی)|مجموعه‌ای]] است که هیچ یک از [[نقطه مرزی|نقاط مرزی]] خود را شامل نمی‌شود. [[متمم]] هر مجموعه باز یک [[مجموعه بسته]] است و برعکس. مجموعه‌هایی هستند که نه بازند و نه بسته، یعنی نه هیچکدام و نه همهٔ نقاط مرزی خود را شامل نمی‌شوند.

== تعریف ==

به‌طور کلی مجموعه‌های باز به دو صورت تعریف می‌شوند. براساس تعریف نخست یک مجموعه باز است [[اگر و تنها اگر]] هیچ‌کدام از نقاط مرزی خود را شامل نشود و بر طبق تعریف دوم یک مجموعه باز است اگر و تنها اگر هر یک از نقاطش [[نقطه درونی|نقطه درونیش]] باشد. ثابت می‌شود که این دو تعریف معادلند.

=== در توپولوژی ===

اگر X [[فضای توپولوژیک|فضایی توپولوژیک]] با [[توپولوژی]] <math>\mathcal{T}</math> باشد، [[زیر مجموعه]] U از X را یک مجموعهٔ باز X خوانیم هرگاه U متعلق به <math>\mathcal{T}</math> باشد.

== قضیه‌ها ==
* [[اجتماع (مجموعه)|اجتماع]] تعداد دلخواه از مجموعه‌های باز، باز است.
* [[اشتراک (مجموعه)|اشتراک]] تعداد متناهی از مجموعه‌های باز، باز است.
* هر [[فضای توپولوژیک]] هم باز است و هم [[مجموعه بسته|بسته]].
* [[مجموعه تهی]] هم باز و هم بسته است.

== مثال‌ها ==

* بر [[خط حقیقی]]، [[بازه|بازهٔ]] {{math|(–۱ و ۳)}} یا مجموعهٔ [[اعداد حقیقی]] بین ۱– و ۳، باز است. زیرا دو نقطهٔ ۱– و ۳ که نقاط مرزی این مجموعه هستند عضو آن نمی‌باشند. همچنین تمام نقاط این مجموعه (بازه) نقاط درونی هستند.

== منابع ==

* {{یادکرد کتاب |  نام خانوادگی =براون | نام =جیمز وارد | نام خانوادگی۲ =چرچیل | نام۲ =روئل ونس |عنوان =متغیرهای مختلط و کاربردهای آن | ترجمه =امیر خسروی | جلد = | سال= ۱۳۹۰ |  سال اصلی = | ناشر =[[مرکز نشر دانشگاهی]] | مکان =تهران | شابک =۹۷۸-۹۶۴-۰۱-۱۳۳۷-۰}}
* {{یادکرد کتاب | نام خانوادگی =مانکرز | نام =جیمز ر. | پیوند نویسنده = | عنوان =توپولوژی، نخستین درس | ترجمه =جواد لالی و دیگران | جلد = | سال=۱۳۸۹ | ناشر =[[مرکز نشر دانشگاهی]] | مکان =تهران | شابک =۹۷۸-۹۶۴-۰۱-۰۲۸۳-۱}}
* {{یادکرد کتاب | نام خانوادگی =مصاحب | نام =غلامحسین | پیوند نویسنده =غلامحسین مصاحب | عنوان =آنالیز ریاضی | جلد =اول | سال=۱۳۸۱ | ناشر =امیرکبیر | مکان =تهران | شابک =۹۶۴-۰۰-۰۶۳۰-۰}}

{{توپولوژی}}
[[رده:توپولوژی عمومی]]