نمایش مبدأ برای ماتریس یک‌ها

در [[ریاضیات]]، '''ماتریس یک‌ها''' [[ماتریس|ماتریسی]] است که در آن همه‌ی درایه‌ها برابر با عدد یک است.<ref>{{Citation|title=Matrix Analysis|first=Roger A.|last=Horn|first2=Charles R.|last2=Johnson|author2-link=Charles Royal Johnson|publisher=Cambridge University Press|year=2012|isbn=9780521839402|page=8|url=https://books.google.com/books?id=5I5AYeeh0JUC&pg=PA8|contribution=0.2.8 The all-ones matrix and vector}}</ref> مثال‌هایی از اینگونه ماتریس‌ها:
{{ وسط‌چین}}
: <math>J_2=\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1 
\end{pmatrix};\quad
J_3=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix};\quad
J_{2,5}=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 
\end{pmatrix};\quad
J_{1,2}=\begin{pmatrix}
1 & 1 
\end{pmatrix}.\quad</math>
{{پایان وسط‌چین}}

== ویژگی‌ها ==
<math>J_{n,n}</math> را یک ماتریس {{ریاضی|''n'' × ''n''}} از یک‌ها در نظر بگیرید''،'' خواص زیر را برای ''J'' داریم :
* [[اثر (ماتریس)|اثر]] ''J'' برابر ''n'' است<ref>{{citation|title=Algebraic Combinatorics: Walks, Trees, Tableaux, and More|publisher=Springer|year=2013|isbn=9781461469988|first=Richard P.|last=Stanley|authorlink=Richard P. Stanley|url=https://books.google.com/books?id=_Tc_AAAAQBAJ&pg=PA4|at=Lemma 1.4, p.&nbsp;4}}.</ref>، همچنین تنها زمانی [[دترمینان]] ناصفر (در اینجا برابر ۱) است که ''n'' برابر ۱ باشد ، در غیر این صورت دترمینان برابر صفر می‌شود.
* [[چند جمله ای مشخصه|چند جمله‌ای مشخصه]] ''J'' برابر <math>(x - n)x^{n-1}</math> است.
* [[رتبه (جبر خطی)|رتبه]] ''J برابر ۱'' است و دو مقدار ویژه دارد، یکی ''n'' با مرتبه تکرار 1 و دیگری 0 با مرتبه تکرار {{ریاضی|''n'' − 1}} .<ref>{{harvtxt|Stanley|2013}}; {{harvtxt|Horn|Johnson|2012}}, [https://books.google.com/books?id=5I5AYeeh0JUC&pg=PA65 p.&nbsp;65].</ref>
*  برای هر <math>k=1,2,\ldots.</math> داریم <math> J^k = n^{k-1} J</math> . <ref name="timm">{{citation|title=Applied Multivariate Analysis|series=Springer texts in statistics|first=Neil H.|last=Timm|publisher=Springer|year=2002|isbn=9780387227719|page=30|url=https://books.google.com/books?id=vtiyg6fnnskC&pg=PA30}}.</ref>
* در [[ضرب هادامار (ماتریسها)|ضرب هادامار]]، ''J'' [[عنصر همانی|عنصر خنثی]] است .<ref>{{citation|title=Introduction to Abstract Algebra|first=Jonathan D. H.|last=Smith|publisher=CRC Press|year=2011|isbn=9781420063721|page=77|url=https://books.google.com/books?id=PQUAQh04lrUC&pg=PA77}}.</ref>

اگر ''J'' را به عنوان یک ماتریس در [[عدد حقیقی|اعداد حقیقی]] بررسی کنیم، ویژگی‌های زیر نیز برقرارند :
* ماتریس <math>\tfrac1n J</math> ماتریسی [[ماتریس خودتوان|خودتوان]] است .<ref name="timm"/>
* {{پم|ماتریس نمایی|matrix exponential}} ''J'' برابر <math> \exp(J) = I + \frac{ e^n-1}{n} J</math> است .

== کاربردها ==
ماتریس یک‌ها در زمینه [[ترکیبیات]] کاربردهایی دارند، به طور خاص‌تر در استفاده از روش‌های جبری برای [[نظریه گراف]] . به عنوان مثال، اگر ''A'' [[ماتریس همسایگی]] [[گراف (ریاضی)|گراف]] ''n-راسی'' و بدون جهت ''G'' و ''J'' ماتریس یک‌ها از همان بُعد باشند، آنگاه ''G'' یک [[گراف منتظم]] است اگر و تنها اگر ''AJ''&nbsp;=&nbsp;''JA'' .<ref>{{citation|title=Algebraic Combinatorics|first=Chris|last=Godsil|authorlink= Chris Godsil |publisher=CRC Press|year=1993|isbn=9780412041310|url=https://books.google.com/books?id=eADtlNCkkIMC&pg=PA25|at=Lemma 4.1, p.&nbsp;25}}.</ref>

== جستارهای وابسته ==
* {{پم|ماتریس صفر|Zero matrix}} ، ماتریسی که در آن همه‌ی درایه‌ها صفر هستند.
* {{پم|ماتریس تک ورودی|Single-entry matrix}}

== منابع ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}

[[رده:۱ (عدد)]]
[[رده:ماتریس‌ها]]