نمایش مبدأ برای ماتریس هسین

{{حساب دیفرانسیل و انتگرال}}
در [[ریاضیات]]، '''ماتریس هسین''' {{به انگلیسی|Hessian Matrix}} یا '''هسین'''، [[ماتریس مربعی|ماتریسی مربعی]] از [[مشتق جزئی|مشتقات جزئی]] مرتبه دوم یک تابع اسکالر-مقدار است (به تابع اسکالر-مقدار، [[میدان برداری|میدان بردای]] نیز می گویند). این ماتریس، خمیدگی موضعی یک تابع چند متغیره را توصیف می کند. ماتریس هسین در قرن نوزدهم توسط ریاضیدان آلمانی [[اتو هسه|لودویگ اتو هسه]] توسعه یافت که بعد اسم او را بر این ماتریس نهادند. هسه، خود اولین بار از عبارت «دترمینان‌های تابعی» برای توصیف این اشیاء استفاده کرد.

== تعاریف و خواص ==
فرض کنید <math>f\colon \R^n\rightarrow\R</math> تابعی باشد که ورودی آن بردارهای <math>\mathbf x\in\R^n</math> و خروجی آن <math>f(x)\in\R</math> باشد. اگر تمام مشتقات جزئی مرتبه دوم <math>f</math> وجود داشته و روی [[دامنه تابع]] پیوسته باشد، آنگاه ماتریس هسین <math>\mathbf H</math> از <math>f</math>، ماتریس مربعی <math>n\times n</math> است که اغلب آن را به صورت زیر نمایش می دهند:

:<math>\mathbf H f= \begin{bmatrix}
  \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\[2.2ex]
  \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\[2.2ex]
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[2.2ex]
  \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}
\end{bmatrix},</math>

یا می توان این ماتریس را به صورت معادله ای بر حسب اندیس های i و j به این صورت بیان کرد:

:<math>(\mathbf H f)_{i,j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \, \partial x_j}.</math>

ماتریس هسین یک [[ماتریس متقارن]] است، از آنجا که طبق فرض مشتقات مرتبه دوم تابع مورد نظر پیوسته اند، نتیجه می شود که ترتیب دیفرانسیل گیری اهمیتی نخواهد داشت ([[قضیه شوارتز]]).

[[دترمینان]] ماتریس هسین را ''دترمینان هسین'' می نامند.<ref>{{cite book |last1=Binmore |first1=Ken |author-link1=Kenneth Binmore |last2=Davies |first2=Joan |year=2007 |title=Calculus Concepts and Methods |oclc=717598615 |isbn=978-0-521-77541-0 |publisher=Cambridge University Press|page=190}}</ref>

ماتریس هسین یک تابع چون <math>f</math> را به صورت [[ماتریس ژاکوبی]] [[گرادیان]] تابع <math>f</math> هم می توان نوشت: {{math|'''H'''(''f''('''x''')) {{=}} '''J'''(∇''f''('''x'''))}}

== پانویس ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}
* {{یادکرد-ویکی
|پیوند = https://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix
|عنوان = Hessian Matrix
|زبان = انگلیسی}}

== برای مطالعه بیشتر ==
{{چپ‌چین}}
* {{cite book |first=David W. |last=Lewis |title=Matrix Theory |location=Singapore |publisher=World Scientific |year=1991 |isbn=978-981-02-0689-5 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/matrixtheory0000lewi}}
* {{cite book |first=Jan R. |last=Magnus |first2=Heinz |last2=Neudecker |title=Matrix Differential Calculus : With Applications in Statistics and Econometrics |url=https://archive.org/details/matrixdifferenti00jmag |location=New York |publisher=Wiley |edition=Revised |year=1999 |isbn=0-471-98633-X |chapter=The Second Differential |pages=[https://archive.org/details/matrixdifferenti00jmag/page/n118 99]–115}}
{{پایان چپ‌چین}}

== پیوند به بیرون ==
{{چپ‌چین}}
* {{springer|title=Hessian of a function|id=p/h047160}}
* {{MathWorld|Hessian|Hessian}}
{{پایان چپ‌چین}}
{{ماتریس‌ها}}
{{موضوعات حسابان}}
[[رده:تکینگی]]
[[رده:حسابان چندمتغیره]]
[[رده:عملگرهای دیفرانسیلی]]
[[رده:ماتریس‌ها]]
[[رده:نظریه مورس]]