نمایش مبدأ برای ماتریس خودتوان

در [[جبر خطی]]، '''ماتریس خودتوان''' ماتریسی است که اگر آن را در خودش ضرب کنیم، خودش حاصل شود.<ref>{{cite book |last=Chiang |first=Alpha C. |title=Fundamental Methods of Mathematical Economics |publisher=McGraw–Hill |edition=3rd |year=1984 |page=[https://archive.org/details/fundamentalmetho0000chia_b4p1/page/80 80] |location=New York |isbn=0-07-010813-7 |url=https://archive.org/details/fundamentalmetho0000chia_b4p1/page/80}}</ref><ref name="Greene">{{cite book |last=Greene |first=William H. |title=Econometric Analysis |url=https://archive.org/details/econometricanaly00gree_313 |publisher=Prentice–Hall |location=Upper Saddle River, NJ |edition=5th |year=2003 |pages=[https://archive.org/details/econometricanaly00gree_313/page/n838 808]–809 |isbn=0-13-066189-9}}</ref> به عبارتی ماتریس <math>A</math> خودتوان است اگر و فقط اگر <math>A^2 = A</math>. با توجه به تعریف [[ضرب ماتریس]]‌ها، <math>A</math> باید یک [[ماتریس مربعی]] باشد. با این تعریف مشخص است که ماتریس‌های خودتوان، [[عنصر مستقل (نظریه حلقه)|عضو خودتوان]] در [[حلقه ماتریس|حلقه‌های ماتریسی]] هستند.

== مثال‌ها ==
نمونه‌هایی از ماتریس‌های خودتوان ۲×۲:
<math display="block">
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\qquad
\begin{bmatrix}
3 & -6 \\
1 & -2
\end{bmatrix}

</math>نمونه‌هایی از ماتریس‌های خودتوان ۳×۳:
<math display="block">
\begin{bmatrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\qquad
\begin{bmatrix}
 2 & -2 & -4 \\
-1 & 3 & 4 \\
 1 & -2 & -3
\end{bmatrix}
</math>

== ماتریس ۲×۲ ==
اگر ماتریس <math>\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math> یک ماتریس خودتوان با درایه‌های حقیقی باشد، آنگاه داریم:
* <math>a = a^2 + bc</math>
* <math>b = ab + bd</math> که نتیجه می‌دهد <math>b(1 - a - d) = 0</math> بنابراین <math>b = 0</math> یا <math>d = 1 - a</math>
* <math>c = ca + cd</math> که نتیجه می‌دهد <math>c(1 - a - d) = 0</math> بنابراین <math>c = 0</math> یا <math>d = 1 - a</math>
* <math>d = bc + d^2</math>

بنابراین شرط لازم برای خودتوانی این ماتریس ۲×۲ آن است که یا [[ماتریس قطری]] باشد یا [[اثر (ماتریس)|اثر]] آن برابر با ۱ شود؛ همچنین برای ماتریس قطری خودتوان، <math>a</math> و <math>d</math> تنها می‌توانند ۱ یا ۰ را اختیار کنند.

با نگاهی دوباره به ماتریس ارائه شده، اگر <math>b=c</math>، آنگاه ماتریس <math>\begin{pmatrix}a & b \\ b & 1 - a \end{pmatrix}</math> خودتوان خواهد شد اگر <math>a^2 + b^2 = a</math>؛ بنابراین <math>a^2 - a + b^2 = 0</math> یا <math>\left(a - \frac{1}{2}\right)^2 + b^2 = \frac{1}{4}</math>

که نمایانگر [[دایره|دایره‌ای]]<nowiki/> به مرکز <math>(\frac{1}{2},0)</math> و شعاع <math>\frac{1}{2}</math> است. با در نظر گرفتن &#x3B8; به عنوان زاویه و در مختصات قطبی داریم:: <math>A = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 - \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & 1 + \cos\theta \end{pmatrix}</math> ماتریسی خودتوان است.

با این حال، شرط <math>b=c</math> ضروری نیست و هر ماتریس <math>\begin{pmatrix}a & b \\ c & 1 - a\end{pmatrix}</math> با شرط <math>a^2 + bc = a</math> خودتوان است.

== ویژگی‌ها ==
=== وارون پذیری ===
تنها ماتریس خودتوانِ [[ماتریس وارون|وارون پذیر]]، ماتریس [[ماتریس همانی|همانی]] است.

این گزاره را می‌توان از تعریف به‌دست‌آورد؛ عبارت <math>A^2 = A</math> را در نظر می‌گیریم، اکنون با فرض وارون پذیری {{Mvar|A}}، این عبارت را از سمت چپ در <math>A^{-1}</math> ضرب می‌کنیم:

<math>A = IA = A^{-1}A^2 = A^{-1}A = I</math>

همچنین می‌توان نشان داد که اگر ماتریسی خودتوان از یک ماتریس همانی کسر گردد، حاصل خودتوان است:

: <math>(I-A)(I-A) = I-A-A+A^2 = I-A-A+A = I-A</math>

ماتریس {{Mvar|A}} خودتوان است [[اگر و تنها اگر]] برای هر عددهای صحیح مثبت n, <math>A^n = A</math>. جهت رفت این گزاره به سادگی و با فرض <math>n=2</math> قابل بررسی است؛ جهت برگشت اما با استقرا حاصل می‌شود: به وضوح برای <math>n = 1</math> تساوی برقرار است <math>A^1 = A</math> . اکنون فرض کنید که <math>A^{k-1} = A</math>؛ سپس داریم <math>A^k = A^{k-1}A = AA = A</math>، در نتیجه حکم استقرا نیز حاصل شد و بنا بر [[استقرای ریاضی|اصل استقرای ریاضی]]، گزاره برای هر [[عدد صحیح]] مثبت n برقرار است.

=== مقادیر ویژه ===
تمامی ماتریس‌های خودتوان، [[مورب|شبه قطری]] هستند و [[مقدارویژه و بردارویژه|مقادیر ویژه]] آن‌ها صفر یا یک اند.<ref>{{cite book |first=Roger A. |last=Horn |first2=Charles R. |last2=Johnson |title=Matrix analysis |publisher=Cambridge University Press |year=1990 |page=[{{Google books|plainurl=y|id=PlYQN0ypTwEC|page=148|text=every idempotent matrix is diagonalizable}} p. 148] |isbn=0-521-38632-2}}</ref>

=== اثر ===
[[اثر (ماتریس)|اثر]] ماتریس خودتوان، همواره برابر با [[رتبه (جبر خطی)|رتبه]] ماتریس است (در نتیجه همواره برابر با یک عدد صحیح است). بنابراین یک روش ساده برای محاسبهٔ رتبهٔ یک ماتریس، یا محاسبهٔ اثر ماتریس محسوب می‌شود آنگاه که عناصر آن ماتریس به صورت دقیق مشخص نشده‌اند. (که کاربردهایی در [[آمار]] و محاسبهٔ [[واریانس]] دارد)

== جستارهای وابسته ==
* [[خودتوانی]]
* [[ماتریس خودوارون]]

== منابع ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}

[[رده:تحلیل رگرسیون]]
[[رده:جبر]]
[[رده:ماتریس‌ها]]