نمایش مبدأ برای ماتریس

{{دیگر کاربردها}}
[[پرونده:Matrix fa.svg|بندانگشتی|350px|بندانگشتی|نمایش یک ماتریس با m سطر و n ستون]]

'''ماتریس''' {{به فرانسوی|Matrice}} و {{به انگلیسی|Matrix}} به آرایشی [[مستطیل|مستطیلی]] شکل از اعداد یا [[عبارت (ریاضیات)|عبارات ریاضی]] که به صورت سطر و ستون شکل یافته گفته می‌شود. به طوری که می‌توان گفت که هر [[ستون]] یا هر [[سطر]] یک ماتریس، یک [[بردار اقلیدسی|بردار]] را تشکیل می‌دهد. هر یک از عناصر ماتریس دِرایه خوانده می‌شود.

:<math>\begin{bmatrix}1 & 9 & -13 \\20 & 5 & -6 \end{bmatrix}</math>
ماتریسی با ۲ سطر و ۳ ستون به این شکل است.

ماتریس‌های هم اندازه (با تعداد سطر و ستون برابر) را می‌توان با هم جمع یا از هم [[تفریق]] کرد. [[ضرب ماتریس|ضرب دو ماتریس]] تنها در صورتی ممکن است که تعداد ستون‌های ماتریس نخست با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد.

در [[جبر خطی]]، می‌توان اثبات کرد که هر [[نگاشت خطی|نگاشت خطیِ]]، از فضای <math>{\mathbb{R}^n}</math> به فضای <math>{\mathbb{R}^m}</math>، [[یک‌ریختی|یک‌ریخت]] با یک ماتریس <math>m\times n</math> (m سطر و n ستون) می‌باشد. ماتریس‌ها کاربردهای فراوانی در جبر خطی دارند.

یکی از کاربردهای ماتریس‌ها در حل [[دستگاه معادلات خطی|دستگاه معادلات خطی‌ست]]. اگر ماتریس مربعی باشد، برخی مشخصات آن را می‌توان از [[دترمینان]] آن دریافت. برای نمونه یک ماتریس مربعی [[ماتریس وارون|معکوس‌پذیر]] است [[اگر و تنها اگر]] دترمینان آن ناصفر باشد.
[[مقدار ویژه و بردار ویژه]] اطلاعاتی دربارهٔ هندسهٔ نگاشت‌های خطی می‌دهند.

ماتریس‌ها در بیشتر زمینه‌های دانش کاربرد دارند. در تمامی شاخه‌های [[فیزیک]]، شامل [[مکانیک کلاسیک]]، [[نورشناسی]]، [[الکترومغناطیس]]، [[مکانیک کوانتوم]] و [[الکترودینامیک کوانتومی]] ماتریس برای مطالعهٔ پدیده‌های فیزیکی شاخه مورد نظر به کار می‌رود.

== درایه ==
به هر یک از عناصر که درون ماتریس می‌آیند دَرآیه یا دَرایه می‌گویند. در صورتی که مقدار یک درایه مشخص نباشد، برای مشخص کردن هر درایه  عدد ردیف و ستون آن را به صورت [[بالانویس و پایین‌نویس|پایین‌نویس]] حرف کوچک نام ماتریس نوشته می شود.<ref name="Oxford">{{یادکرد کتاب | نام خانوادگی۱ = Clapham| نام۱ = C. | نام خانوادگی۲ = Nicholson| نام۲ =J. | نام خانوادگی۳ = Chatfield| نام۳ =C. | نام خانوادگی۴ = Cheal| نام۴ = R. | نام خانوادگی۵ = Gavin| نام۵ = J .B.| نام خانوادگی۶ = Pulham| نام۶ = J .R. | نام خانوادگی۷ = Thomas| نام۷ =D .P. | عنوان = Oxford Concise Dictionary of Mathematics | سال = 2009 | ناشر = Oxford University Press | مکان = New York| شابک = 9780199235940 | نشانی = https://books.google.com.au/books/about/The_Concise_Oxford_Dictionary_of_Mathema.html?id=WGxoVJcM4xgC&redir_esc=y  | زبان = en}}</ref> برای نمونه اگر نام ماتریسی A باشد، درایه‌ای که در ردیف نخست و ستون دوم قرار دارد نوشته می‌شود a<sub>۱۲</sub> و خوانده می‌شود «درایهٔ یک دو». درایه‌های یک ماتریس در حالت کلی می‌توانند [[عدد حقیقی|حقیقی]] یا [[عدد مختلط|مختلط]] و یا هر چیز دیگری مانند چند جمله ای، یا تابعی خاص و یا خود یک ماتریس دیگر و... باشد.

== ابعاد ==
ابعاد یک ماتریس با تعداد سطر و ستون آن تعیین می‌شود. ابعاد ماتریسی با ''m'' سطر و ''n'' ستون به صورت ''m × n'' نوشته و ''m'' در ''n'' خوانده می‌شود. برای نمونه ابعاد ماتریس A سه در دو (۲×۳) است.
:<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
     -1.3 & 0.6 \\
     20.4 & 5.5 \\
      9.7 & -6.2
  \end{bmatrix} </math>

ماتریسی که تنها یک سطر دارد [[بردار سطری]] و ماتریسی که تنها یک ستون دارد [[بردار ستونی]] نامیده می‌شود. ماتریسی که تعداد سطر و ستون برابر دارد [[ماتریس مربعی]] نامیده می‌شود. ماتریسی با تعداد سطر یا ستون (یا هر دو) بی‌نهایت ماتریس بی‌نهایت خوانده می‌شود. ماتریس تهی ماتریسی‌ست که سطر و ستونی ندارد.

{| class="wikitable sortable"
|-
! نام!! ابعاد!! مثال!! توضیح
|-
|-
| [[بردار سطری]]|| {{عبارت چپ‌چین|''۱ × n''}} || style="text-align:center;" | <math>\begin{bmatrix}3 & 7 & 2 \end{bmatrix}</math>
| ماتریسی با یک سطر که گاهی برای نشان دادن بردار موازی با محور طول‌ها استفاده می‌شود
|-

| [[بردار ستونی]] || ''n'' × ۱ || style="text-align:center;" | <math>\begin{bmatrix}4 \\ 1 \\ 8 \end{bmatrix}</math>
| ماتریسی با یک ستون که گاهی برای نشان دادن بردار موازی با محور عرض‌ها استفاده می‌شود
|-
|-
| [[ماتریس مربعی]] || ''n'' × ''n'' || style="text-align:center;" | <math>\begin{bmatrix}
  9 & 13 & 5 \\
  1 & 11 & 7 \\
  2 & 6  & 3
  \end{bmatrix}</math>
| ماتریسی با تعداد سطر و ستون برابر که گاهی برای نشان دادن نگاشت خطی از یک فضای بردار به خودش استفاده می‌شود مانند انعکاس و چرخش.
|}

== نگارش ==
ماتریس‌ها معمولاً به صورت کروشه
:<math> \mathbf{A} =
 \begin{bmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
 \end{bmatrix}
</math>
یا [[کمانک]]
:<math> \mathbf{A} =
 \left(\begin{array}{rrrr}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
 \end{array} \right)
</math>
نشان داده می‌شوند. ماتریس‌ها معمولاً با حروف بزرگ (مثل '''A''') نشان داده می‌شوند. در این حالت حرف کوچک مورد نظر با دو [[بالانویس و پایین‌نویس|پایین‌نویس]] (مثل ''a''<sub>۱۱</sub>, یا''a''<sub>۱٬۱</sub>) نشان دهندهٔ درایه‌ای از '''A''' است. یک درایه از ماتریس همچنین به صورت ''A''[''۱٬۱'']، ''A''<sub>''۱٬۱''</sub> یا (۱٬۱) هم نشان داده می‌شود. مثلاً درایهٔ (۱٬۳) از ماتریس '''A''' (یا به‌طور معادل [''a''<sub>۱۳</sub>، ''a''<sub>۱٬۳</sub>، ''A''[''۱٬۳'' یا''A''<sub>''۱٬۳''</sub>) برابر ۵ است:
:<math>
  \mathbf{A}=\begin{bmatrix}
    4 & -7 & \color{red}{5} & 0 \\
    -2 & 0 & 11 & 8 \\
    19 & 1 & -3 & 12
  \end{bmatrix}</math>

== عملیات اصلی ==
=== کِهاد ماتریس ===
اگر [A= [a<sub>ij</sub> ماتریسی n×n باشد ماتریسی که از حذف سطر iام و ستون jام ماتریس A به‌دست می‌آید یک زیرماتریس A است. دترمینان این زیرماتریس کهاد نامیده و با M<sub>ij</sub> نشان داده می‌شود.<ref name="Oxford"/>

== معادله خطی ==
{{اصلی|معادله خطی}}

== نگاشت خطی ==
{{اصلی|نگاشت خطی}}

== ماتریس مربعی ==
{{اصلی|ماتریس مربعی}}
ماتریسی را گویند که تعداد سطر ها و ستون های آن برابرند مرتبه این ماتریس n.n است.
این ماتریس دارای [[قطر اصلی]] و قطر فرعی است

== ماتریس وارون ==
{{اصلی|ماتریس وارون}}یک [[ماتریس مربعی]] می‌تواند یک [[ماتریس وارون]] داشته باشد. ماتریس وارونِ یک ماتریس مربعی، ماتریسی است که [[حاصل‌ضرب|حاصل ضرب]] ماتریسی آن با ماتریس مربعی [[ماتریس همانی]] می‌شود. به عنوان مثال اگر '''<math>A</math>'''یک ماتریس <math>n\times n</math>باشد ماتریس وارون آن با <math>A^{-1}</math> نمایش داده می‌شود و حاصل ضرب ماتریسی آن با <math>A</math> چه از سمت چپ چه از سمت راست ماتریس همانی می‌شود:<ref name=":0">{{Cite journal|last=Wilansky|first=Albert|title=The Row-Sums of the Inverse Matrix|url=http://dx.doi.org/10.2307/2306354|journal=The American Mathematical Monthly|volume=58|issue=9|pages=614|doi=10.2307/2306354|issn=0002-9890}}</ref>

<math>    A^{-1} \times A = A \times A^{-1} = I

</math>

در اینجا <math>I</math> ماتریس همانی است، ماتریس همانی همه جا صفر است بغیر از قطر اصلی که همگی یک است، یعنی تمام خانه‌های <math>i,i</math>. البته همه ماتریس‌های مربعی وارون‌پذیر نیستند، یعنی ماتریس وارون ندارند.<ref name=":0"/>

== جستارهای وابسته ==
* [[جبر خطی]]
* [[عملگر]]
* [[ماتریس هرمیتی]]
* [[ماتریس هادامارد]]
* [[ضرب ماتریس‌ها]]

== پیوند به بیرون ==
*[https://matrixcalc.org/fa/ ابزار محاسبات ماتریسی]

== منابع ==
{{پانویس}}
{{یادکرد-ویکی
|پیوند = http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Matrix_(mathematics)&oldid=598465231
|عنوان = Matrix (mathematics)
|زبان = انگلیسی
|بازیابی = ۸ مارس ۲۰۱۴
}}

{{ویکی‌انبار-رده|Matrix}}
{{چپ‌چین}}
* Alan Tucker, 1988 '': A Unified Introduction to Linear Algebra: Models, Methods and Theory ,'' Macmillan Pub Co. {{ISBN|0-02-421580-5|en}}
* ویدیوهای آموزش ماتریس به زبان فارسی در https://web.archive.org/web/20120508030040/http://kelasedars.org/
{{پایان چپ‌چین}}
{{جبر خطی}}
{{جبر}}
[[رده:جبر خطی]]
[[رده:جبر مجرد]]
[[رده:ماتریس‌ها]]