نمایش مبدأ برای لم جردن

در [[آنالیز مختلط]]، '''لم جردن'''، نتیجه‌ای است که از آن برایِ محاسبه‌ی [[انتگرال خطی|انتگرال‌هایِ مسیر]] یا [[انتگرال ناسره|انتگرال‌هایِ ناسره]]، بهره می‌برند. استفاده از این لم، به خصوص با همراهیِ [[قضیه مانده]] صورت می‌گیرد. این لم به نامِ [[کامیل جردن]]، ریاضیدانِ فرانسوی، نامیده شده‌است.

== صورت لم ==
مسیرِ دایره‌ایِ زیر را در نظر می‌گیریم:
{{چپ‌چین}}
:<math>C_R=\{z : z=R e^{i \theta}, \theta\in [0,\pi]\}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
با توجه به محدوده‌ی زاویه‌ها، این نیم‌دایره در نیم‌صفحه‌ی بالایی قرار دارد، مرکزِ آن مبداءِ مختصات است و R>0 شعاعِ آن را نشان می‌دهد. حال [[تابع پیوسته|تابعِ پیوسته‌ی]] f را که دامنه‌ی آن [[عدد مختلط|اعدادِ مختلط]] هستند با ضابطه‌ی زیر و بر رویِ این مسیر در نظر می‌گیریم:
{{چپ‌چین}}
:<math>f(z)=e^{iaz} g(z)\,,\quad z\in C_R,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که a>0 است. لمِ جردن، لمی است که حدِ بالاییِ انتگرالِ f بر رویِ این مسیر را مشخص می‌کند. این حد برابر است با:
{{چپ‌چین}}
:<math>\biggl|\int_{C_R} f(z)\, dz\biggr| \le \frac\pi{a}\max_{\theta\in [0,\pi]} \bigl|g \bigl(R e^{i \theta}\bigr)\bigr|\,.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
به شکلی مشابه، لمِ جردان برایِ نیم‌دایره‌ای که در نیم‌صفحه‌ی پایینی قرار گرفته نیز صادق است، اگر که a<0 باشد.
=== توضیح ===
* فرض کنید که به ازایِ تمامِ Rهایِ بزرگ، باز هم f بر رویِ نیم‌دایره‌ی C<sub>R</sub> تعریف شده و بر رویِ آن پیوسته باشد، در این صورت اگر مقدارِ [[بیشینه و کمینه|ماکزیمم]] تابع در Rهایِ بزرگ به سمتِ صفر میل کند (به این شرط، شرطِ (*) می‌گوییم.):
{{چپ‌چین}}
:<math>M_R:=\max_{\theta\in [0,\pi]} \bigl|g \bigl(R e^{i \theta}\bigr)\bigr| \to 0\quad \mbox{as } R \to \infty\,,\qquad(*)</math>
{{پایان چپ‌چین}}
:از لمِ جردن به راحتی می‌توان نتیجه گرفت که:
{{چپ‌چین}}
:<math>\lim_{R \to \infty} \int_{C_R} f(z)\, dz = 0.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
* اگر a=0 باشد، آن‌گاه [[لم تخمین|لمِ تخمین]] {{انگلیسی|Estimation lemma}} برقرار است. در صورتی که شرطِ (*) برقرار باشد، حتی اگر a=0 باشد، باز هم در <math>{R \to \infty}</math>، مقدارِ انتگرال برابر صفر می‌شود. اما در موقعیت‌هایی که شرطِ (*) برقرار نیست، برایِ پیدا کردنِ حدِ بالایِ انتگرال باید به لمِ تخمین مراجعه کرد.
* همانندِ لمِ تخمین، حدِ بالایی‌ای که لمِ جردن مشخص می‌کند، به شکلِ صریح به طولِ C<sub>R</sub> ارتباط ندارد و مستقل از شعاعِ مسیر است.

== کاربردها ==
[[پرونده:Jordan's Lemma.svg|چپ|بندانگشتی|300px|مسیر ''C'' از الحاقِ مسیرهایِ ''C''<sub>1</sub> و ''C''<sub>2</sub> پدید می‌آید.]]
لمِ جردن، در محاسبه‌ی انتگرال‌هایِ حقیقی که بر رویِ محورِ اعدادِ حقیقی تعریف می‌شوند می‌تواند بسیار مفید باشد. تابعِ
{{چپ‌چین}}{{nowrap|''f''&thinsp;(''z'') {{=}} ''e<sup>iaz</sup>g''(''z'')}}{{پایان چپ‌چین}}
را در نظر می‌گیریم که در نیمه‌ی بالاییِ صفحه‌ی اعدادِ مختلط، همه‌جا [[تابع هولومورفیک|هولومورفیک]] (تحلیلی) و پیوسته است مگر در تعدادِ متناهی نقطه و این نقطه‌ها را که هیچ‌کدام بر رویِ محورِ اعدادِ حقیقی قرار ندارند، با ''z''<sub>1</sub> و ''z''<sub>2</sub> و ... تا ''z<sub>n</sub>'' نمایش می‌دهیم. مسیرِ بسته‌ی C را که در شکل نشان داده شد در نظر بگیرید، این مسیر از اجتماعِ مسیرهایِ C<sub>1</sub> و C<sub>2</sub> تشکیل می‌شود و بنا به تعریف داریم:
{{چپ‌چین}}
:<math>\oint_{C} f(z)\, dz = \int_{C_1}f(z)\,dz + \int_{C_2} f(z)\,dz\,.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
اما بر رویِ مسیرِ C<sub>2</sub>، از آن‌جایی که متغیرِ Z، تنها شاملِ عددهایِ حقیقی می‌شود، به جایِ متغیرِ z می‌توان تنها بخشِ حقیقیِ آن را قرار داد و در نتیجه انتگرالِ دوم، به انتگرالِ حقیقیِ معمولی تبدیل می‌شود:
{{چپ‌چین}}
:<math>\int_{C_2} f(z)\,dz = \int_{-R}^{R} f(x)\,dx\,.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
سمتِ چپِ معادله را نیز می‌توان به کمکِ [[قضیه مانده|قضیه‌ی مانده]]، محاسبه کرد. اگر R بزرگتر از ماکزیممِِ |''z''<sub>1</sub>| و |''z''<sub>2</sub>| و ... تا |''z<sub>n</sub>''| باشد، آن‌گاه بنا به قضیه‌ی مانده:
{{چپ‌چین}}
:<math>\oint_{C} f(z)\, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{Res}(f, z_k)\,,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که {{nowrap|Res(''f'',&thinsp;''z<sub>k</sub>'')}} [[مانده (آنالیز مختلط)|مانده‌ی]] تابعِ f در تکینگی‌هایِ Z<sub>k</sub> را نشان می‌دهد. اگر f شرطِ (*) را برآورده کند، آن‌گاه میل دادنِ R به سمتِ بی‌نهایت، باعث می‌شود که انتگرالِ مسیر بر رویِ C<sub>1</sub> بنا به لمِ جردن صفر شود و در نتیجه، در نهایت مقدارِ انتگرالِ ناسره را این چنین به دست بیاوریم:
{{چپ‌چین}}
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{Res}(f, z_k)\,.</math>
{{پایان چپ‌چین}}

== مثال ==
تابعِ زیر،
{{چپ‌چین}}
:<math>f(z)=\frac{e^{iz}}{1+z^2},\qquad z\in{\mathbb C}\setminus\{i,-i\},</math>
{{پایان چپ‌چین}}
شرایطِ لازم برایِ برقراریِ لمِ جردن را دارا است. به ازایِ R>1 داریم:
{{چپ‌چین}}
:<math>M_R=\max_{\theta\in[0,\pi]}\frac1{|1+R^2e^{2i\theta}|}=\frac1{R^2-1}\,,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
در نتیجه شرطِ (*) نیز برقرار است. از آن‌جایی که تابع در نیمه‌ی بالایی تنها یک نقطه‌ی تکینگی دارد و آن هم در z = i قرار گرفته‌است، داریم:
{{چپ‌چین}}
:<math>\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{ix}}{1+x^2}\,dx=2\pi i\,\operatorname{Res}(f,i)\,.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
از آن‌جایی که z = i، [[قطب (آنالیز مختلط)|قطبِ ساده‌ی]] تابعِ f است، و با توجه به اینکه {{nowrap|1 + ''z''<sup>2</sup>}}&nbsp;= {{nowrap|(''z'' + ''i'')(''z'' - ''i'')}}، خواهیم داشت:
{{چپ‌چین}}
:<math>\operatorname{Res}(f,i)=\lim_{z\to i}(z-i)f(z)
=\lim_{z\to i}\frac{e^{iz}}{z+i}=\frac{e^{-1}}{2i}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
از آن‌جایی که <math>e^{iz}=cos x + i*sin x</math> پس بخشِ حقیقیِ جوابی که ما یافتیم برابر خواهد بود با مقدارِ انتگرالِ زیر:
{{چپ‌چین}}
:<math>\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos x}{1+x^2}\,dx=\operatorname{Re}\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{ix}}{1+x^2}\,dx=\frac{\pi}{e}\,.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
این نتیجه نشان می‌دهد که با استفاده از ابزارهایی که در آنالیزِ مختلط در دست داریم، چه‌طور می‌توان به سادگیِ تمام انتگرالِ تابع‌هایی را محاسبه کرد (تابع‌هایی چون <math>\frac{\cos x}{1+x^2}</math>) که محاسبه‌شان در حالتِ عادی بسیار دشوار و گاه حتی ناممکن است.

== اثبات لم جردن ==
بنا به تعریفِ [[انتگرال خطی#آنالیز مختلط|انتگرال مسیر مختلط]] داریم:
{{چپ‌چین}}
:<math>\begin{align}
\int_{C_R} f(z)\, dz
&=\int_0^\pi g(Re^{i\theta})\,e^{iaR(\cos\theta+i \sin\theta)}\,i Re^{i\theta}\,d\theta\\
&=R\int_0^\pi g(Re^{i\theta})\,e^{aR(i\cos\theta-\sin\theta)}\,ie^{i\theta}\,d\theta\,.
\end{align}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
حال از نامساویِ زیر بهره می‌بریم:
{{چپ‌چین}}
:<math>\biggl|\int_a^b f(x)\,dx\biggr|\le\int_a^b |f(x)|\,dx</math>
{{پایان چپ‌چین}}
در نتیجه خواهیم داشت:
{{چپ‌چین}}
:<math>\begin{align}
I_R:=\biggl|\int_{C_R} f(z)\, dz\biggr|
&\le R\int_0^\pi\bigl|g(Re^{i\theta})\,e^{aR(i\cos\theta-\sin\theta)}\,ie^{i\theta} \bigr|\,d\theta\\
&=R\int_0^\pi \bigl|g(Re^{i\theta})\bigr|\,e^{-aR\sin\theta}\,d\theta\,.
\end{align}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
حال M<sub>R</sub> را این‌گونه تعریف می‌کنیم:
{{چپ‌چین}}
:<math>M_R:=\max_{\theta\in [0,\pi]} \bigl|g \bigl(R e^{i \theta}\bigr)\bigr|</math>
{{پایان چپ‌چین}}
با توجه به اینکه تابعِ sin تابعی متقارن است ({{nowrap|sin&thinsp;''θ''}}&nbsp;= {{nowrap|sin(''π'' – ''θ'')}}) می‌توانیم کران‌هایِ انتگرال را به جایِ (صفر تا π) از (صفر تا π/2) در نظر بگیریم. در نتیجه و با توجه به تعریفی که از M<sub>R</sub> ارائه دادیم داریم:
{{چپ‌چین}}
:<math> I_R \le RM_R\int_0^\pi e^{-aR\sin\theta}\,d\theta = 2RM_R\int_0^{\pi/2} e^{-aR\sin\theta}\,d\theta\,.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
به علاوه به راحتی می‌توان اثبات کرد که در بازه‌ی {{nowrap|''θ''&thinsp;&isin;&thinsp;<nowiki>[</nowiki>0,''π''&thinsp;/2<nowiki>]</nowiki>}}، داریم:
{{چپ‌چین}}
:<math>\sin\theta\ge \frac{2\theta}{\pi}\quad</math>
{{پایان چپ‌چین}}
در نهایت لمِ جردن این‌گونه به اثبات می‌رسد:
{{چپ‌چین}}
:<math>I_R
\le 2RM_R \int_0^{\pi/2} e^{-2aR\theta/\pi}\,d\theta
=\frac{\pi}{a} (1-e^{-a R}) M_R\le\frac\pi{a}M_R\,.</math>
{{پایان چپ‌چین}}

== جستارهای وابسته ==
[[لم تخمین]]

== منابع ==
{{پانویس}}
* {{یادکرد-ویکی
|پیوند = http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Jordan%27s_lemma&oldid=489929922
|عنوان = Jordan's lemma
|زبان = انگلیسی
|بازیابی = ۳۰ آوریل ۲۰۱۲
}}
* حسنی، صدری؛ "''Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations''"، فصل ۱۰

[[رده:آنالیز مختلط]]
[[رده:قضایای آنالیز مختلط]]
[[رده:لم‌ها]]