نمایش مبدأ برای قوانین دمورگان

[[File:Demorganlaws.svg|thumb|قوانین دمورگان که با [[نمودار ون]] نشان داده‌شده. در هر مورد، مجموعهٔ حاصل با رنگ آبی مشخص شده‌است.]]
{{قواعد تبدیل}}
در [[حساب گزاره‌ای]] و [[جبر بولی]]، '''قوانین دمورگان''' {{انگلیسی|De Morgan's Laws}}،<ref>Copi and Cohen{{Full citation needed|date=January 2015}}</ref><ref>{{citation|first=Patrick J.|last=Hurley|title=A Concise Introduction to Logic|edition=12th|publisher=Cengage Learning|year=2015|isbn=978-1-285-19654-1}}</ref><ref>Moore and Parker{{Full citation needed|date=January 2015}}</ref> یک جفت قواعد تبدیل‌اند که هردو [[قواعد استنتاج|قواعد استنتاجی]] [[اعتبار (منطق)|معتبری]] می‌باشند. این تبدیل‌ها را براساس نام [[آگوستوس دمورگان]] نامگذاری کرده‌اند که یک ریاضی‌دان بریتانیایی قرن ۱۹م میلادی است. این قواعد امکان می‌دهند تا [[عطف منطقی|عطف]] و [[فصل منطقی|فصل]] به طور محض، از طریق نقیض بیان شوند.

این قواعد را به [[زبان فارسی]] می‌توان به این صورت بیان کرد:
* [[نقیض]] فصل، عطف نقیض‌هاست.
* نقیض عطف، فصل نقیض‌هاست.

یا

* متمم اجتماع دو مجموعه، همان اشتراک متمم‌هایشان است.
* متمم اشتراک دو مجموعه، همان اجتماع متمم‌هایشان است.

یا

* نقیض (A یا B) = نقیض A و نقیض B
* نقیض (A و B) = نقیض A یا نقیض B

در [[نظریه مجموعه‌ها]] و جبر بولی، این عبارات را می‌توان به صورت زیر نوشت:
:<math>\begin{align}
  \overline{A \cup B} &= \overline{A} \cap \overline{B}, \\
  \overline{A \cap B} &= \overline{A} \cup \overline{B},
\end{align}</math>
که در آن:
* <math>A</math> و <math>B</math> مجموعه هستند
* <math>\overline{A}</math> متمم <math>A</math> است
* <math>\cap</math> [[اشتراک (نظریه مجموعه‌ها)|اشتراک]] است
* <math>\cup</math> [[اجتماع (نظریه مجموعه‌ها)|اجتماع]] است.
این قواعد را برحسب [[زبان صوری]] می توان به صورت زیر نوشت:

<math>\neg(P\lor Q)\iff(\neg P)\land(\neg Q)</math>

و

<math>\neg(P\land Q)\iff(\neg P)\lor(\neg Q)</math>

که در آن:
* ''P'' و ''Q گزاره هستند''
* [[نقیض|<math>\neg</math>]] عملگر [[نقیض]] منطقی است (NOT)
* [[عطف منطقی|<math>\land</math>]] عملگر منطقی [[عطف منطقی|عطف]] است (AND)
* [[فصل منطقی|<math>\lor</math>]] عملگر منطقی [[فصل منطقی|فصل]] است (OR)
* [[اگر و تنها اگر|<math>\iff</math>]] نماد [[فرامنطق|فرامنطقی]] است که معنای آن اینگونه است: «می‌توان آن را در یک اثبات صوری جایگزین کرد با»

کاربردهای این قواعد منطقی شامل عبارات منطقی در [[برنامه (رایانه)|برنامه‌های کامپیوتری]] و طراحی مدارهای دیجیتالی است. قواعد دمورگان مثالی از مفهوم کلی‌تری از [[دوگان (ریاضیات)|دوگان ریاضیاتی]] است.

== منابع ==
{{پانویس}}
* {{یادکرد-ویکی|پیوند=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=De_Morgan%27s_laws&oldid=1017675775|عنوان=De Morgan's Laws|زبان=انگلیسی|بازیابی=۷ مهٔ ۲۰۲۱}}

==پیوندهای بیرونی==
{{چپ‌چین}}
* {{Springer|title=Duality principle|id=p/d034130}}
* {{MathWorld| urlname=deMorgansLaws | title=de Morgan's Laws}}
* {{PlanetMath| urlname=DeMorgansLaws | title=de Morgan's laws | id=2308}}
* [http://www.iep.utm.edu/dual-log/  Duality in Logic and Language], ''Internet Encyclopedia of Philosophy''.
{{پایان چپ‌چین}}

{{منطق کلاسیک}}
{{نظریه مجموعه‌ها}}

[[رده:جبر بولی]]
[[رده:نظریه‌های دوگان]]
[[رده:قواعد استنتاج]]
[[رده:مقاله‌های دربردارنده برهان]]
[[رده:قضیه‌ها در حساب گزاره‌ای]]