نمایش مبدأ برای قطب (آنالیز مختلط)

{{بدون منبع}}
در [[آنالیز مختلط]]، یک '''قطب''' {{به انگلیسی|pole}} از یک [[تابع هولومورفیک]] نوعی از [[نقطه تکین]] ساده‌است که مانند تکین <span dir=ltr>1/<math>z</math><sup><math>n</math></sup></span> در <span dir=ltr><math>z</math> = 0</span> رفتار می‌کند. یک قطب تابع <span dir=ltr><math>f</math>(<math>z</math>)</span> نقطهٔ <span dir=ltr><math>z = a</math></span> است که اگر <math>z</math> به <math>a</math> میل کند، <span dir=ltr><math>f(z)</math> </span> به بینهایت میل می‌کند.

فرض کنید <math>U</math> یک [[زیر مجموعه]]‌ی باز از [[صفحه مختلط|صفحهٔ مختلط]] باشد، <math>a</math> یک عضو <math>U</math> باشد و <span dir=ltr><math>f</math> : <math>U</math> − {<math>a</math>} → '''<math>\mathbb{C}</math>'''</span> [[تابع هولومورفیک|هولومورفیک]] باشد. اگر تابع هولومورفیک <span dir=ltr><math>g</math> : <math>U</math> → <math>\mathbb{C}</math></span> و عدد طبیعی <math>n</math> وجود داشته باشند که
:<math> f(z) = \frac{g(z)}{(z-a)^n} </math>
برای هر <math>z</math> در <span dir=ltr><math>U</math> − {<math>a</math>}</span> آنگاه <math>a</math> یک '''قطب <math>f</math>''' نامیده می‌شود. اگر <math>n</math> تا حد امکان کوچک انتخاب شود، آنگاه به آن ''مرتبهٔ قطب'' می‌گویند. یک قطب از مرتبهٔ یک، ''قطب ساده'' نامیده می‌شود.

به طور هم ارز، <math>a</math> یک قطب تابع <math>f</math> از مرتبهٔ <span dir=ltr><math>n</math>≥ 0</span> است اگر که یک همسایگی باز <math>U</math> از <math>a</math> وجود داشته باشد به طوری که
<span dir=ltr><math>f</math> : <math>U</math>-{<math>a</math>}→<math>\mathbb{C}</math></span> هولومورفیک باشد و حد
:<math>\lim_{z\to a} (z-a)^n f(z)</math>
موجود و مخالف صفر باشد.

نقطهٔ <math>a</math> یک قطب از مرتبهٔ <math>n</math> از <math>f</math> است اگر و تنها اگر جملات بسط [[سری لوران]] <math>f</math> حول <math>a</math> از درجهٔ کوچک‌تر از n- صفر باشند و جملهٔ درجهٔ -n صفر نباشد.

یک قطب از مرتبهٔ صفر یک [[تکین برداشتنی]] است. در این حالت [[حد (ریاضیات)|حد]] <span dir=ltr>lim<sub><math>z</math>→<math>a</math></sub> <math>f(z)</math> </span> به صورت یک [[عدد مختلط]] وجود دارد. اکر مرتبهٔ قطب بزرگ‌تر از 0 باشد، آنگاه <span dir="ltr">lim<sub><math>z</math>→<math>a</math></sub> <math>f</math>(<math>z</math>) = ∞</span>.
اگر مشتق اول تابع <math>f</math> یک قطب ساده در <math>a</math> داشته باشد، آنگاه <math>a</math> یک '''نقطهٔ انشعاب''' <math>f</math> است. (عکس آن ممکن است برقرار نباشد).

نقطهٔ تکینی که برداشتنی یا قطب یا نقطهٔ انشعاب نباشد یک [[تکین اساسی]] نامیده می‌شود.
یک تابع هولومورفیک که نقاط تکینش فقط قطب هستند [[تابع مرومورفیک|مرومورفیک]] نامیده می‌شود.
== جستارهای وابسته ==
* [[صفر (آنالیز مختلط)]]
* [[مانده (آنالیز مختلط)]]

[[رده:آنالیز مختلط]]
[[رده:توابع مرومورف]]