نمایش مبدأ برای قضیه AF+BG

در [[ریاضیات]]، '''قضیه AF-BG''' قضیه ای است در [[هندسه جبری]] که شرایطی را بیان می‌کند که در صورت برقراری آن‌ها معادله یک [[خم|خم جبری]] بر حسب معادله دو خم دیگر قابل توصیف است. این قضیه به افتخار ریاضیدان آلمانی [[مکس نوتر|ماکس نوتر]] که آن را نخستین بار ثابت نمود، نامگذاری شده‌است.

== صورت قضیه ==
در <math>\mathbb{P}^{2}</math> با دستگاه مختصات همگن <math>X=[X_0,X_1,X_2]</math> ، فرض کنید دو [[چندجمله ای]] همگن <math>F(X)</math> و <math>G(X)</math> به ترتیب از درجه‌های <math>m</math> و <math>n</math> باشند که دو خم صفحه ای <math>C</math> و <math>D</math> را تعریف می‌کنند. فرض کنید این دو خم هیج مؤلفه مشترکی ندارند. آنگاه اگر <math>H(X)</math> یک چندجمله ای همگن از درجه
<math>d=m+k=n+l</math> با <math>k,l\geq0</math> باشد، چه وقت چندجمله‌ای‌های <math>A</math> و
<math>B</math> وجود دارند که : <math>H=AF+BG</math>؟

قضیه نوتر شرط مورد نظر را چنین به دست می‌دهد:

'''قضیه (ماکس نوتر)''': فرض کنید <math>P\in C\cap D</math> و <math>\mathcal{O}_{P}</math> حلقه موضعی توده [[تابع هولومورفیک|تابع‌های هولومورف]] در [[همسایگی (توپولوژی)|همسایگی]] <math>P</math> باشند. اگر فرض کنیم که <math>P</math> در [[دستگاه مختصات]] آفین <math>(x,y)=[1,x,y]</math> باشد و قرار دهیم <math>f(x)=F(1,x,y)</math> و <math>g(x)=G(1,x,y)</math> آنگاه <math>I_{P}=(f(x) , g(x))</math> یک ایده‌آل از حلقه <math>\mathcal{O}_{P}</math> است و <math>H=AF+BG</math> اگر و تنها اگر <math>H\in I_P\subseteq \mathcal{O}_{P} </math> برای هر <math>P\in C\cap D</math>.

== تعبیر هندسی ==
قضیه نوتر در واقع شرایطی را بیان می‌کند که تحت آنها، معادله خم <math>H</math> که از نقاط اشتراک خم <math>C</math> و <math>D</math> می‌گذرد، به صورت ترکیبی از معادلات این دو خم قابل بیان است. واضح است که اگر معادله <math>H=AF+BG</math> برقرار باشد آنگاه این خم از همه نقاط اشتراک <math>C</math> و <math>D</math> می‌گذرد نکته قابل توجه در قضیه نوتر این است که می‌گوید عکس این مطلب نیز درست است و اگر خمی در شرایط قضیه صدق کند و از نقاط اشتراک دو خم بگذرد، معادله آن به صورت <math>AF+BG</math> خواهد بود.

== رابطه با قضیه بزو ==
قضیه نوتر را در واقع می‌توان هم ارز [[قضیه بزو]] در [[نظریه اعداد]] دانست. قضیه بزو می‌گوید که [[عدد صحیح]] <math>h</math> به صورت [[ترکیب خطی]] با ضرایب صحیح از دو عدد <math>a</math> و <math>b</math> قابل بیان است اگر و تنها اگر <math>h</math> مضربی از ب.م. م <math>a</math> و <math>b</math> باشد. اگر ایده‌آل تولید شده به وسیلهٔ ب.م. م <math>a</math> و <math>b</math> را با <math>(a,b)</math> نشان دهیم، آنگاه این قضیه می‌گوید که <math>h=ra+sb \Leftrightarrow h\in (a,b)</math>. قضیه نوتر هم می‌گوید: <math>H=AF+BG\Leftrightarrow H\in I_P=(F,G)_P</math> برای هر <math>P\in C\cap D</math>.

== منابع ==
{{پانویس}}
* P. Griffiths and J. Harris, Principles of algebraic geometry, Wiley 1978, 1994

{{ناوبری منحنی‌های جبری}}

[[رده:ریاضیات]]
[[رده:قضایای هندسه جبری]]
[[رده:قضایای هندسه مختلط]]
[[رده:قضیه‌های ریاضی]]
[[رده:واریته‌های جبری]]
[[رده:ویکی‌سازی رباتیک]]
[[رده:هندسه جبری]]