نمایش مبدأ برای قضیه کیلی-همیلتون

در [[جبر خطی]] و نظریه ماتریس‌ها، قضیه کیلی - همیلتون که به نام [[آرتور کیلی]] و [[ویلیام روان همیلتون]] نامگذاری شده است بیان می‌کند که هر [[ماتریس مربعی]] (بر روی یک [[حلقه جابه‌جایی|حلقه جابه جایی]] مثل میدان [[اعداد حقیقی]] یا میدان [[عدد مختلط|اعداد مختلط]]) در معادله مشخصه خود صدق می‌کند.

== قضیه ==
فرض کنید ماتریس <math>A\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> ماتریسی با درایه‌های حقیقی، و نماد <math>I_n</math> (یا به اختصار <math>I</math>) معرف [[ماتریس همانی]] <math>n \times n</math> باشد. در این صورت اگر <math>P(\lambda)</math> معادله مشخصه ماتریس A باشد که به صورت <math>P(\lambda) = det(\lambda I_n - A)</math> تعریف می‌شود، آنگاه <math> P(A) = 0 </math>.

دقت کنید که در محاسبه چندجمله‌ای مشخصه ماتریس A نهایتاً به عبارتی به صورت
<math> P(\lambda) = \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots + a_1 \lambda + a_0 </math>
می‌رسیم و وقتی می‌نویسیم <math>P(A)</math> منظورمان معادله‌ای ماتریسی است که در آن توانهای ماتریس A حضور دارند. همچنین جمله آخر چندجمله‌ای که حاوی عدد ثابت است و <math>\lambda</math> ندارد را به صورت <math>\lambda ^0</math> تعبیر کرده و در معادله ماتریسی با ماتریس همانی <math>(A^0=I_n)</math> جایگزین می‌کنیم تا معادله ماتریسی معنادار شود. نهایتاً می‌توان صورت قضیه را به شکل زیر بازنویسی کرد:

<math> P(A) = A^n + a_{n-1} A^{n-1} + \cdots + a_1 A + a_0 I_n = 0 </math>

دقت کنید که ضریب جمله n ام همواره برابر ۱ است زیرا این جمله از ضرب جملات روی [[قطر اصلی]] ماتریس <math>\lambda I_n - A</math> به دست آمده و ضرایب <math>\lambda</math>ها همگی ۱ است.

== نتایج ==
مهمترین نتیجه‌ای که از قضیه کیلی - همیلتون به دست می‌آید این است که تمام توانهای هر ماتریس <math>n \times n</math> را می‌توان به صورت [[ترکیب خطی|ترکیبی خطی]] از ماتریس همانی و <math>n-1</math> توان اول آن ماتریس نوشت. به عبارتی دیگر برای هر ماتریس <math>A\in \mathbb{R}^{n \times n}</math> یا <math>A\in \mathbb{C}^{n \times n}</math>، ماتریس <math> A^n</math> وابسته خطی توانهای پایینتر ماتریس <math> A</math> است. به کمک قضیه کیلی - همیلتون توابع ماتریسی بسیاری را می‌توان محاسبه نمود. تمام توابع تحلیلی که برای اعداد حقیقی و مختلط تعریف می‌شوند به کمک این قضیه برای ماتریس‌های مربعی نیز معنا پیدا می‌کنند. از مهمترین کاربردهای آن محاسبه [[ماتریس معکوس]] و ماتریس نمایی است که در زیر توضیح داده می‌شوند

=== محاسبه تابع معکوس به کمک قضیه کیلی - همیلتون ===
ماتریس مربعی <math> A</math> را در نظر بگیرید. برای این ماتریس به کمک قضیه کیلی - همیلتون می‌توان نوشت:

<math> P(A) = A^n + a_{n-1} A^{n-1} + \cdots + a_1 A + a_0 I_n = 0 </math>

که در آن <math>a_i, i=0,\cdots,n-1</math> ضرایب معادله مشخصه ماتریس A هستند. اگر ضریب <math>a_0 \neq 0</math>، می‌توان با انتقال [[جمله ثابت]] به طرف راست، تساوی فوق را به صورت زیر نوشت:

<math>A^n + a_{n-1} A^{n-1} + \cdots + a_1 A = - a_0 I_n </math>

و سپس با فاکتور گیری از ماتریس <math> A</math> از چپ خواهیم داشت:

<math>A(A^{n-1} + a_{n-1} A^{n-2} + \cdots + a_1 I) = - a_0 I_n </math>

چون <math> A</math> معکوس پذیر است، با ضرب کردن معکوس <math> A</math> از چپ در تساوی بالا داریم:

<math>A^{-1}A(A^{n-1} + a_{n-1} A^{n-2} + \cdots + a_1 I) = - a_0 A^{-1} I_n = -a_0 A^{-1}</math>

و نهایتاً خواهیم داشت:

<math>A^{-1}=\frac{-1}{a_0}A^{n-1} - \frac{a_{n-1}}{a_0} A^{n-2} - \cdots - \frac{a_1}{a_0} I </math>

دقت کنید که فرض <math>a_0 \neq 0</math> برای معکوس پذیر بودن ماتریس <math> A</math> کافی است زیرا در معادله مشخصه <math>p(x)</math> ضریب <math>a_0</math> برابر است با:

<math>a_0 = (-1)^n \mathbf{det}A</math>

و ناصفر بودن <math>a_0</math> معادل ناصفر بودن دترمینان <math> A</math> است. همچنین این مسئله درکی شهودی به ما می‌دهد که چرا وقتی دترمینان <math> A</math> صفر است <math> A</math> معکوس پذیر نیست.

==== مثال ====
معکوس ماتریس

<math>A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}</math>
را به کمک قضیه کیلی - همیلتون به صورت زیر محاسبه می‌کنیم.

معادله مشخصه به صورت زیر خواهد بود.

<math>
\begin{align}
p(\lambda) &= \left| \begin{pmatrix} \lambda & 0\\0 & \lambda\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\right|\\
&=(\lambda-1)(\lambda-4)-(-2)(-3)\\
&=\lambda^2-5\lambda-2
\end{align}
</math>

در نتیجه بنا بر کیلی - همیلتون می‌توان نوشت:

<math>
\begin{align}
p(A)=
A^2-5A-2I=0\\
A^2-5A=2I&\\
A(A-5I)=2I&\\
&A-5I=2A^{-1}\\
A^{-1}=\frac{1}{2}A-\frac{5}{2}I&
\end{align}
</math>

با جایگذاری اعداد خواهیم داشت:

<math>
A^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{2}{2} \\ \frac{3}{2} & \frac{4}{2} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\frac{5}{2} & 0\\0 & \frac{5}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 1\\\frac{3}{2} & \frac{-1}{2} \end{pmatrix}
</math>

=== نحوه محاسبه <math>f(A)</math> برای توابع <math>f</math> تحلیلی ===
نحوه محاسبه ماتریس <math>e^{A}</math>

می‌دانیم برای هر [[عدد حقیقی]] a، مقدار e^a از [[بسط تیلور]] زیر قابل محاسبه است:

<math>e^{a} = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{a^i }{i!}</math>

برای محاسبه ماتریس <math>e^{A}</math> می‌توان نوشت:

<math>e^{A} = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{A^i}{i!}</math>

که یک مجموع نامتناهی است و محاسبه دقیق آن بدین صورت ممکن نیست. اما به کمک کیلی - همیلتون تمام توانهای بالاتر از n-1 ماتریس <math> A</math> ترکیبی خطی از n توان اول (شامل توان صفرم) هستند و این یعنی اعدادی متناهی به فرم <math>\beta_i, i=0,\ldots n-1 </math> وجود دارند که

<math>e^{A} = \sum_{i=0}^{n-1} \beta_i A^i</math>

== منابع ==
{{پانویس}}
* W. R. Hamilton: ''Lectures on Quaternions'', Dublin 1853, pp.&nbsp;566–569 (Theorem verified for quaternions)
* A. Cayley: ''A Memoir on the Theory of Matrices'', Phil.Trans. 1858, vol.148, pp.&nbsp;17–37; Math. Papers II pp.&nbsp;475–496. (Theorem verified for matrices of order ≤ 3)
* G. Frobenius: ''Ueber lineare Substutionen und bilineare Formen'', J.reine angew Math.(Crelle J.) vol.84, 1878, pp.&nbsp;1–63. (First general proof)

[[رده:قضایای جبر خطی]]
[[رده:نظریه ماتریس‌ها]]
[[رده:ویکی‌سازی رباتیک]]
[[رده:ویلیام همیلتون]]