نمایش مبدأ برای قضیه منحنی ژوردان

[[پرونده:Jordan_curve_theorem.svg|بندانگشتی|200x200پیکسل| تصویر قضیه منحنی ژوردان. یک منحنی جردن (که با رنگ سیاه کشیده شده‌است) صفحه را به یک ناحیه «داخلی» (آبی روشن) و یک منطقه «خارجی» (صورتی) تقسیم می‌کند.]]
در [[توپولوژی]]، '''منحنی ژوردان''' {{انگلیسی|Jordan Curve Theorem}} (یا '''خم ژوردن''' یا خم جوردن)، که گاهی اوقات آن ''را منحنی ساده بسته مسطح'' نیز می‌نامند، یک [[حلقه (توپولوژی)|حلقه پیوسته]] غیر-خود-متقاطع در صفحه است.<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=0Q9mbXCQRyoC&pg=PA7|title=Depth, Crossings and Conflicts in Discrete Geometry|last=Sulovský|first=Marek|date=2012|publisher=Logos Verlag Berlin GmbH|isbn=978-3-8325-3119-5|page=7|language=en}}</ref> '''قضیه منحنی ژوردان''' ادعا می‌کند که هر منحنی ژوردان صفحه را به یک ناحیه «درونی» محدود شده توسط این منحنی و یک ناحیه «بیرونی» شامل تمام نقاط خارجی نزدیک و دور تقسیم می‌کند، به طوری که هر [[مسیر (توپولوژی)|مسیر پیوسته]] که یک نقطه از یک ناحیه را به نقطه دیگری متصل می‌کند، در جایی با آن حلقه تلاقی می‌کند. در حالی که به نظر می‌رسد بیان این [[قضیه]] به‌طور شهودی واضح است، اما اثبات آن با استفاده از روش ابتدایی به نوعی نبوغ نیاز دارد.«''اگرچه JCT یکی از مشهورترین قضایای توپولوژی است، اما حتی در میان ریاضیدانان حرفه‌ای موارد بسیاری وجود دارد که هرگز اثبات آن را نخوانده‌اند.»'' ({{Harvard citation text|توفربرخ|۱۹۸۰}}). اثبات واضح‌تر به ساختار ریاضیات [[توپولوژی جبری]] تکیه می‌کند و این امر منجر به تعمیم فضاهایی با ابعاد-بالاتر می‌شود.

قضیه منحنی ژوردان به نام [[ریاضی‌دان|ریاضیدان]] [[کامیل جردن|کامیل جوردن]] (۱۹۲۲–۱۸۳۸) نامگذاری شده‌است، که اولین اثبات آن را پیدا کرد. برای دهه‌ها، ریاضیدانان به‌طور کلی فکر می‌کردند که این اثبات نادرست است و اولین اثبات دقیق توسط [[اسوالد وبلن]] انجام شده‌است. با این حال، این مفهوم توسط [[توماس کالیستر هیلز|توماس سی هیلز]] و دیگران لغو شده‌است.

== اثبات و تعمیم ==
در سال 1911، قضیه منحنی ژوردن به طور مستقل توسط [[هنری لبگ]] و [[لویتسن اخبرتوس یان براوئر|لویتسن براوئر]] به ابعاد بالا تر تعمیم داده شد.در نتیجه '''قضیه جدایی ژوردن-براور''' به وجود آمد.
<blockquote>
فرض کنید <math>X</math> یک [[کره توپولوژیکی]] <math>n</math> -بعدی در [[فضای اقلیدسی]] <math>n+1</math> -بعدی , <math>\mathbb{R}^{n+1}</math> , 
[[تصویر (ریاضیات)|تصویر]] تابعی یک به یک و پیوسته از [[N-کره|<math>n</math> -کره]] , <math>\mathbb{S}^{n}</math> , به <math>\mathbb{R}^{n+1}</math>  باشد '''.''' آنگاه متمم <math>X</math> در <math>\mathbb{R}^{n+1}</math> ، دقیقاً از دو ناحیه متّصل به هم تشکیل شده '''.''' یکی از این ناحیه ها [[مجموعه کراندار|کراندار]] (داخلی) و دیگری بی کران (خارجی) است '''.''' مجموعه <math>X</math> مرز مشترک آنهاست '''.'''
</blockquote>
اثبات به وسیله [[همولوژی (ریاضیات)|قضیه همولوژی]] صورت میگیرد.اگر <math>X</math> , نسبت به <math>k</math> -کره , [[هومئومورفیسم|هومئومورفیک]] باشد , آنگاه گروه های [[همولوژی انتگرالیِ نزولیِ]] متمم <math>X</math> به صورت زیر هستند:
: <math>\tilde{H}_{q}(Y)= \begin{cases}\mathbb{Z}, & q=n-k\text{ or }q=n, \\ \{0\}, & \text{otherwise}.\end{cases}</math>
که این با استقرا روی <math>k</math> و [[دنباله مایر-ویتوریس|دنباله مایر'''-'''ویتوریس]] اثبات شد'''.'''
== جستارهای وابسته ==
* [[قضیه دنجوی-ریش]]، توصیف مجموعه‌های خاصی از نقاط صفحه است که می‌تواند زیرمجموعه منحنی‌های ژوردان باشد
* [[استخرهای وادا]]
* [[گروه شبه فوکسی|گروه شبه-فوکسی]]، یک گروه ریاضی است که منحنی اردن را حفظ می‌کند
* [[آنالیز مختلط]]

== یادداشت ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
* {{Citation|doi=10.1216/RMJ-1975-5-2-225|title=The constructive Jordan curve theorem|number=2|volume=5|issn=0035-7596|journal=[[Rocky Mountain Journal of Mathematics]]|year=1975|mr=0410701|first4=Fred|last=Berg|last4=Richman|first3=R.|last3=Mines|first2=W.|last2=Julian|first=Gordon O.|pages=225–236}}
* {{Citation|last=Filippov|first=A. F.|author-link=Aleksei Fedorovich Filippov|year=1950|title=An elementary proof of Jordan's theorem|url=http://www.mathnet.ru/links/9bd143c40db8f868858992d40913c648/rm8482.pdf|journal=Uspekhi Mat. Nauk|language=ru|volume=5|number=5|pages=173–176}}
* {{Citation|last=Hales|first=Thomas C.|author1-link=Thomas Callister Hales|title=The Jordan curve theorem, formally and informally|mr=2363054|year=2007a|journal=[[American Mathematical Monthly|The American Mathematical Monthly]]|issn=0002-9890|volume=114|number=10|pages=882–894}}
* {{Citation|last=Hales|first=Thomas|author1-link=Thomas Callister Hales|title=Jordan's proof of the Jordan Curve theorem|url=http://mizar.org/trybulec65/4.pdf|year=2007b|journal=Studies in Logic, Grammar and Rhetoric|volume=10|number=23}}
* {{Citation|last=Jordan|first=Camille|author1-link=Camille Jordan|title=Cours d'analyse|url=http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/jordan/jordan.pdf|year=1887|pages=587–594}}
* {{Citation|doi=10.2307/2323369|last=Maehara|first=Ryuji|title=The Jordan Curve Theorem Via the Brouwer Fixed Point Theorem|mr=0769530|year=1984|journal=[[American Mathematical Monthly|The American Mathematical Monthly]]|issn=0002-9890|volume=91|number=10|pages=641–643|jstor=2323369}}
* {{Citation|last=Narens|first=Louis|title=A nonstandard proof of the Jordan curve theorem|url=http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102971282|mr=0276940|year=1971|journal=[[Pacific Journal of Mathematics]]|issn=0030-8730|volume=36|pages=219–229|doi=10.2140/pjm.1971.36.219}}
* {{Citation|last=Osgood|first=William F.|title=A Jordan Curve of Positive Area|jstor=1986455|jfm=34.0533.02|year=1903|journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]]|issn=0002-9947|volume=4|number=1|pages=107–112|doi=10.2307/1986455}}
* {{Citation|last=Ross|first=Fiona|last2=Ross|first2=William T.|year=2011|title=The Jordan curve theorem is non-trivial|journal=[[Journal of Mathematics and the Arts]]|volume=5|number=4|pages=213–219|doi=10.1080/17513472.2011.634320}}. [https://facultystaff.richmond.edu/~wross/PDF/Jordan-revised.pdf author's site]
* {{Citation|last=Sakamoto|first=Nobuyuki|last2=Yokoyama|first2=Keita|title=The Jordan curve theorem and the Schönflies theorem in weak second-order arithmetic|doi=10.1007/s00153-007-0050-6|mr=2321588|year=2007|journal=Archive for Mathematical Logic|issn=0933-5846|volume=46|number=5|pages=465–480}}
* {{Citation|doi=10.2307/2324180|last=Thomassen|first=Carsten|author-link=Carsten Thomassen|title=The Jordan–Schönflies theorem and the classification of surfaces|year=1992|journal=American Mathematical Monthly|volume=99|number=2|pages=116–130|jstor=2324180}}
* {{Citation|last=Tverberg|first=Helge|author-link=Helge Tverberg|year=1980|title=A proof of the Jordan curve theorem|url=http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/jordan/tverberg.pdf|journal=[[Bulletin of the London Mathematical Society]]|volume=12|number=1|pages=34–38|doi=10.1112/blms/12.1.34}}
* {{Citation|last=Veblen|first=Oswald|author1-link=Oswald Veblen|title=Theory on Plane Curves in Non-Metrical Analysis Situs|jstor=1986378|year=1905|journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]]|volume=6|number=1|pages=83–98|mr=1500697|doi=10.2307/1986378}}
*{{جان ام. لی، مقدمه‌ای بر منیفلدهای هموار|second}}
{{پایان چپ‌چین}}
== پیوند به بیرون ==
{{چپ‌چین}}
* {{Springer|id=Jordan_theorem|author=M.I. Voitsekhovskii|title=Jordan theorem}}
{{پایان چپ‌چین}}
* [http://mizar.uwb.edu.pl/version/7.11.07_4.156.1112/html/jordan.html 6،۵۰۰ خط کامل اثبات رسمی قضیه منحنی ژوردان] در [[سیستم میزار|میزار]].
* [http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/jordan مجموعه اثبات‌های قضیه منحنی ژوردان] در صفحه اصلی اندرو رانیکی
* [http://www.math.auckland.ac.nz/class750/section5.pdf اثبات ساده قضیه منحنی ژوردان] (PDF) توسط دیوید بی. گولد
{{چپ‌چین}}
* {{Cite arXiv|title=Corrigendum to "Groupoids, the Phragmen-Brouwer Property, and the Jordan Curve Theorem", J. Homotopy and Related Structures 1 (2006) 175-183}}
{{پایان چپ‌چین}}
{{DOI|10.1007/15.40062-014-0089-0}}

[[رده:صفحات با ترجمه بازبینی‌نشده]]
[[رده:قضیه‌ها در توپولوژی]]