نمایش مبدأ برای قضیه مانده

[[پرونده:Gamma abs 3D.png|بندانگشتی|قضیه مانده در آنالیز مختلط]]
'''قضیه مانده''' در [[آنالیز مختلط]]، ابزاری قدرتمند برای محاسبه [[انتگرال خطی|انتگرالهای خطی]] از [[تابع مرومورفیک|توابع مرومورفیک]] روی منحنی‌های بسته است و برخی مواقع می‌تواند برای محاسبه انتگرال‌های حقیقی نیز به کار رود. این قضیه [[قضیه انتگرال کوشی]] و [[فرمول انتگرال کوشی]] را کلیت می‌بخشد.
فرض کنید ''U'' یک [[مجموعه باز|زیرمجموعه باز]] [[همبند ساده]] از [[صفحه مختلط]] ''C'' و ''a''<sub>1</sub>،...،''a''<sub>''n''</sub> نقاطی از ''U'' و ''f'' تابعی تعریف شده و [[تابع هولومورف|هولومورفیک]] روی ''U'' \ {''a''<sub>1</sub>,...,''a''<sub>''n''</sub>}{{چر}} باشد. اگر γ یک [[منحنی تصحیح پذیر]] در ''U'' باشد که هیچ‌کدام از نقاط ''a''<sub>''k''</sub> را ملاقات نکند و نقاط انتها و ابتدایش یکی باشد، آنگاه
:<math>\oint_\gamma f(z)\, dz =
2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{I}(\gamma, a_k) 
\operatorname{Res}( f, a_k ). </math>
اگر γ یک [[خم ژوردان]] و <span dir=ltr>I(γ، ''a''<sub>''k''</sub>) = 1</span> و بنابراین
:<math>\oint_\gamma f(z)\, dz =
2\pi i \sum \operatorname{Res}( f, a_k ) </math>
اینجا <span dir=ltr>Res(''f''، ''a''<sub>''k''</sub>)</span> [[مانده (آنالیز مختلط)|مانده‌ی]] ''f'' در ''a''<sub>''k''</sub> را نشان می‌دهد و <span dir=ltr>I(γ، ''a''<sub>''k''</sub>) = 1</span> [[عدد پیچش]] منحنی γ دور نقطه ''a''<sub>''k''</sub> است. این عدد پیچش یک عدد صحیح است که نشان می‌دهد منحنی γ چندبار حول ''a''<sub>''k''</sub> می‌پیچد. این عدد مثبت است اگر که γ در جهت پادساعتگرد حول ''a''<sub>''k''</sub> بچرخد و 0 است اگر γ اصلاً دور ''a''<sub>''k''</sub> حرکت نکند.
به منظور محاسبه انتگرال‌های حقیقی، قضیه مانده به این صورت استفاده می‌شود: انتگرال به صفحه مختلط گسترش داده می‌شود و مانده‌ها محاسبه می‌شوند (که معمولاً ساده است)، و یک قسمت از محور حقیقی به یک منحنی بسته با الحاق یک نیم دایره به نیم صفه بالایی یا پایینی گسترش داده می‌شود. سپس انتگرال حول این منحنی با استفاده از قضیه مانده می‌تواند محاسبه شود. اغلب، قسمت نیم دایرهٔ انتگرال به سمت 0 میل خواهد کرد اگر به اندازه کافی بزرگ باشد و فقط قسمت محور حقیقی باقی می‌ماند، چیزی که در ابتدا می‌خواستیم.

== همچنین نگاه کنید به ==
* [[مانده (آنالیز مختلط)]]
* [[فرمول انتگرال کوشی]]
* [[قضیه انتگرال کوشی]]
* [[روشهای انتگرال‌گیری منحنی‌الخط]]

== منابع ==
{{پانویس}}
Wikipedia contributors، "Residue theorem،" Wikipedia، The Free Encyclopedia، http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Residue_theorem&oldid=190379063

[[رده:آنالیز مختلط]]
[[رده:تابع تحلیلی]]
[[رده:قضایای آنالیز مختلط]]
[[رده:قضیه‌های ریاضی]]