نمایش مبدأ برای قضیه فیثاغورس

{{Infobox mathematical statement
| name = قضیه فیثاغورس
| image = Pythagorean.svg
| caption =
| type = [[قضیه]]
| field = [[هندسه اقلیدسی]]
| statement = مجموع مساحت‌های دو مربع روی اضلاع (''a'' و ''b'') مثلث قائم‌الزاویه برابر با مساحت مربع روی وتر (''c'') است.
| symbolic statement = <math>a^2 + b^2 = c^2</math>
| generalizations = {{Plainlist|
* [[قانون کسینوس‌ها]]
* [[هندسه فضایی]]
* [[هندسه نااقلیدسی]]
* [[هندسه دیفرانسیل]]
}}
| consequences = {{Plainlist|
* [[سه‌تایی فیثاغورثی]]
* [[:en:Inverse Pythagorean theorem|قضیه فیثاغورس وارون]]
* [[عدد مختلط]]
* [[فاصله اقلیدسی]]
* [[:en:Pythagorean trigonometric identity|اتحاد مثلثاتی فیثاغوریسی]]
}}
}}
{{هندسه عمومی}}
{{مثلثات}}
در [[ریاضیات]]، '''قضیهٔ فیثامورس س''' یک رابطهٔ بنیادی [[هندسه اقلیدسی]] بین سه ضلع [[مثلث قائم‌الزاویه]] است. این قضیه بیان می‌کند که مساحت [[مربع|مربعی]] که ضلع‌اش [[وتر]] است (سمت مقابل [[زاویه قائمه]]) برابر با مجموع مساحت‌های مربع‌های روی دو ضلع دیگر می‌باشد.

این [[قضیه]] را می‌توان به‌صورت یک [[معادله|معادلهٔ]] بین طول‌های اضلاع a‌، b و وتر c‌ ‌‌‌نوشت، که '''معادلهٔ فیثاغوریس''' نامیده می‌شود:<ref name="Sally0">{{cite book |title=Roots to research: a vertical development of mathematical problems |author1=Judith D. Sally |author2=Paul Sally |page=63 |chapter=Chapter 3: Pythagorean triples |chapter-url=https://books.google.com/books?id=nHxBw-WlECUC&pg=PA63 |isbn=978-0-8218-4403-8 |year=2007 |publisher=American Mathematical Society Bookstore}}</ref>
{{چپ‌چین}}
:<math>a^2 + b^2 = c^2</math>
{{پایان چپ‌چین}}

این قضیه به نام [[ریاضی‌دان]] [[یونانی‌ها|یونانی]] [[فیثاغورس]] نامگذاری شده‌است.

[[وارون (منطق)|وارون]] این قضیه نیز درست است، به عبارت دیگر، اگر <math>a^2+b^2=c^2</math> باشد، مثلث قائم‌الزاویه است. اثبات عکس [[قضیه فیثاغورس]] را به [[اقلیدس]] نسبت داده‌اند.<ref>Carl B. Boyer, A history of mathematics, page 108, 1991</ref><ref>{{یادکرد وب|عنوان=Der Satz des Pythagoras|نشانی=https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/der-satz-des-pythagoras-3|وبگاه=sofatutor.com|بازبینی=2020-05-28|کد زبان=de-DE}}</ref>

این قضیه بارها به روش‌های مختلف هندسی و جبری اثبات شده‌است که برخی از این اثبات‌ها به هزاران سال گذشته برمیگردند.

== نمایش‌های دیگر ==
اگر ''c'' [[طول]] وتر مثلث راست‌گوشه باشد و ''a'' و ''b'' طول دو ضلع دیگر آن، قضیهٔ فیثاغورس را به شکل رابطهٔ زیر می‌نویسیم:
{{چپ‌چین}}
:: <math>a^2 + b^2 = c^2\ </math>
{{پایان چپ‌چین}}
و اگر مقدار ''a'' و ''b'' معلوم باشد ''c'' را به این شکل بدست می‌آوریم:
{{چپ‌چین}}
:: <math> c = \sqrt{a^2 + b^2}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
و اگر ''c'' معلوم باشد و یکی از دو ضلع ''a'' یا ''b'' نامعلوم، آن‌ها را اینگونه بدست می‌آوریم:

{{چپ‌چین}}
:: <math>a = \sqrt{c^2 - b^2}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
یا
{{چپ‌چین}}
:: <math>b = \sqrt{c^2 - a^2}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
رابطه فیثاغورس به روش ساده ای اضلاع مثلث قائم‌الزاویه را به هم ربط می‌دهد، به طوریکه اگر طول دوضلع معلوم باشد طول ضلع سوم را می‌توان به دست آورد. پیامد دیگر این قضیه این است که در هر مثلث قائم‌الزاویه، طول وتر بیشتر از هر یک از دو ضلع دیگر، ولی کمتر از مجموع دو ضلع دیگر است.

یکی از تعمیم‌های قضیهٔ فیثاغورس [[قانون کسینوس‌ها]] (قانون [[غیاث‌الدین جمشید کاشانی|کاشانی]]) است،<ref>Blackie, 2000, Blackie’s Dictionary of Mathematics, S. Chand Publishing, p:55</ref> که امکان محاسبهٔ طول هر یک از اضلاع هر نوع مثلثی را با داشتن دو ضلع دیگر و زاویهٔ بین آن دوضلع را می‌دهد. اگر زاویه بین دو ضلع دیگر قائمه باشد، قانون کسینوس‌ها تبدیل به قانون فیثاغورس می‌شود.

== فرمول اصلی ==
تمامی [[مثلثات]] فیثاغورس حالت خاصی از مثلت زیر می باشند که با جایگذاری اعداد مختلف می توان به بی نهایت مثلث دست پیدا کرد.
[[پرونده:Right triangle with trigonometric variables x, y, r, θ, August 2019.svg|وسط|بندانگشتی]]
در این مثلث :

n<math>\epsilon</math>R

r=4n+1

x=4n

y=<math>\sqrt{8n+1}</math>

با استفاده از فرمول های بالا و با جایگذاری تمامی [[عدد حقیقی|اعداد حقیقی]]  می توان به تمامی مثلثات فیثاغورسی دست یافت.

به عبارتی دیگر تمامی مثلثات طلایی حالت خاصی از این فرمول به ازای اعداد n=1 و n=3 هستند.

== اثبات ==
قضیهٔ فیثاغورس، قضیه‌ای است که بیش از هر قضیهٔ دیگری اثبات دارد، در کتاب ''قضیه فیثاغورس'' حدود ۳۷۰ اثبات برای این قضیه آورده شده‌است.<ref>{{Harv|Loomis|۱۹۶۸}}</ref>

=== اثبات با استفاده از مثلث‌های متشابه ===
[[پرونده:Pythagoras similar triangles.svg|بندانگشتی|اثبات با استفاده از مثلث‌های متشابه]]
این اثبات بر اساس نسبت تناسب میان دو مثلث [[تشابه (هندسه)|متشابه]] بیان شده‌است. به این معنی که اگر دو مثلث متشابه داشته باشیم، ''نسبت'' طول‌های هر دو ضلع متشابه میان دو مثلث <!-- جدای از اینکه هر کدام از آن اضلاع چه طولی دارند --> ثابت است.

همان گونه که در شکل نشان داده شده‌است، فرض کنید ''ABC'' مثلثی راست‌گوشه است و ''C'' زاویه‌ای راست (۹۰ درجه) است. حال ارتفاع مثلث را از گوشهٔ ''C'' بر وتر ''AB'' رسم می‌کنیم و نقطهٔ برخورد را ''H'' می‌نامیم. نقطهٔ ''H'' [[وتر]] را به دو بخش ''d'' و ''e'' تقسیم می‌کند.

مثلث جدید ''ACH'' و مثلث ''ABC'' با یکدیگر متشابه‌اند. چون هر دو یک زاویهٔ ۹۰ درجه دارند (طبق تعریف ارتفاع مثلث) و زاویهٔ ''A'' در هر دو مشترک است؛ از این می‌توان نتیجه گرفت که زاویهٔ سوم ''θ'' در هر دو یکسان است (در شکل نشان داده شده‌است). به دلیل مشابه مثلث ''CBH'' نیز با مثلث ''ABC'' متشابه است. به دلیل تشابه مثلث‌ها، روابط زیر برقرار خواهد بود:
{{چپ‌چین}}
::<math> \frac{a}{c}=\frac{e}{a} \mbox{ و } \frac{b}{c}=\frac{d}{b}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
عبارت سمت چپ، برابر است با کسینوس زاویهٔ ''θ'' و سمت راست برابر است با [[سینوس (ریاضیات)|سینوس]] زاویهٔ ''θ''.

این نسبت‌ها را به صورت زیر نیز می‌توان نوشت:
{{چپ‌چین}}
::<math>a^2=c\times e</math> و <math> b^2=c\times d</math>
{{پایان چپ‌چین}}
اگر دو تساوی را با یکدیگر جمع کنیم، خواهیم داشت:
{{چپ‌چین}}
::<math>a^2+b^2=c\times e+c\times d=c\times(d+e)=c^2</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که همان تساوی قضیهٔ فیثاغورس خواهد بود:
{{چپ‌چین}}
::<math>a^2+b^2=c^2</math>
{{پایان چپ‌چین}}
روش گفته شده اثبات دانتزیگ (Dantzig) بود که یک روش ریاضی بوده و بر اساس طول‌ها می‌باشد. این اثبات در [[تاریخ علم]]، نقشی قابل توجه داشته‌است. اما سؤالی که اینجا مطرح است این است که چرا [[اقلیدوس]] از این روش استفاده نکرده و برای اثبات آن روش دیگری را از خود گفته‌است. یک گمان این است که اثبات با استفاده از مثلث‌های متشابه نیاز به دانستن تئوری تناسب‌ها داشته که تا آن زمان هنوز مورد بحث قرار نگرفته بود.<ref>{{Harv|Maor|۲۰۰۷| p=۳۹}} [http://books.google.com/books?id=Z5VoBGy3AoAC&pg=PA39&dq=%22why+did+Euclid+choose+this+particular+proof%22&hl=en&ei=WckoTLv4JIKknQecwvWoAQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCUQ6AEwAA#v=onepage&q=%22why%20did%20Euclid%20choose%20this%20particular%20proof%22&f=false page 39]</ref><ref name="Hawking">{{cite book |title=God created the integers: the mathematical breakthroughs that changed history |author=Stephen W. Hawking |page=۱۲ |url=http://books.google.com/?id=3zdFSOS3f4AC&pg=PA12 |isbn=۰۷۶۲۴۱۹۲۲۹ |year=۲۰۰۵ |publisher=Running Press Book Publishers |location=Philadelphia}}</ref>

=== اثبات اقلیدس ===
[[پرونده:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg|بندانگشتی|اثبات نوشته شده در کتاب [[اصول اقلیدس (کتاب)|اصول هندسهٔ اقلیدس]]]]
خلاصهٔ اثباتی که در کتاب [[اصول اقلیدس (کتاب)|اصول هندسهٔ اقلیدس]] نوشته شده چنین است: مربع بزرگ را به دو مستطیل سمت چپ و سمت راست تقسیم می‌کنیم. یک مثلث ساخته شده‌است که مساحتش نصف مساحت مستطیل سمت چپ است. سپس یک مثلث دیگر ساخته می‌شود که مساحتش نصف مساحت مربع سمت چپ است. می‌توان نشان داد که این دو مثلث با یکدیگر [[هم‌نهشتی (هندسه)|مساوی‌اند]] در نتیجه مساحت مربع با مساحت مستطیل سمت چپ برابر است. به دلیل مشابه، مطلب گفته شده برای مستطیل سمت راست و مربع دیگر نیز برقرار است. اگر دو مستطیل را کنار هم قرار دهیم تا یک مربع روی وتر مثلث تشکیل دهند، می‌بینیم که مساحت مربع بزرگ (مربعی که روی وتر تشکیل شد) با مجموع مساحت‌های دو مربع دیگر برابر است. جزئیات این مطلب در ادامه گفته شده‌است.

فرض کنید ''A'' و ''B'' و ''C'' سه [[رأس (هندسه)|گوشهٔ]] یک مثلث راست‌گوشه‌اند که زاویهٔ ''A'' در آن ۹۰ درجه است. خطی را عمود از گوشهٔ ''A'' بر روی وتر ''BC'' رسم می‌کنیم و آن را امتداد می‌دهیم تا ضلع پایین مربع کشیده شده روی وتر را قطع کند. این خط مربع روی وتر را به دو مستطیل تقسیم می‌کند که هریک از این مستطیل‌ها مساحتی برابر با مساحت مربع‌های رسم شده بر روی دو ضلع زاویهٔ ''A'' دارند.

برای ادامهٔ اثبات نیاز به دانستن چند نکته است:
# اگر دو ضلع از یک مثلث با دو ضلع از مثلث دیگر یک به یک برابر باشد و زاویهٔ میان آن دو ضلع نیز با هم برابر باشد، می‌توان نتیجه گرفت که دو مثلث با یکدیگر برابرند.
# مساحت هر مثلث نصف مساحت چهارضلعی است که اضلاعش با یکدیگر دو به دو موازی‌اند و ارتفاع و قاعده‌ای برابر با ارتفاع و قاعدهٔ مثلث دارد.
# مساحت یک مستطیل برابر است با [[حاصل ضرب]] دو ضلع مجاورش.
# مساحت یک مربع برابر است با حاصل ضرب دو ضلع از آن.
هر یک از دو مربع بالایی با یکی از آن دو مثلثِ هم نهشت مرتبط است و هر یک از این مثلث‌ها نیز به نوبهٔ خود با یکی از مستطیل‌های سازندهٔ مربع پایینی ارتباط دارد.<ref>See for example Mike May S.J. , [http://www.slu.edu/classes/maymk/GeoGebra/Pythagoras.html Pythagorean theorem by shear mapping] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161014165156/http://www.slu.edu/classes/maymk/GeoGebra/Pythagoras.html |date=۱۴ اکتبر ۲۰۱۶}}, Saint Louis University website Java applet</ref>
{{-}}
[[پرونده:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem2.svg|بندانگشتی|شکل جدید مسئله برای بهتر روشن شدن مطلب به همراه خط‌های جدید.]]
ادامهٔ اثبات:
# فرض کنید مثلث ''ABC'' یک مثلث راست‌گوشه‌است که زاویهٔ ''CAB'' در آن ۹۰ درجه‌است.
# بر روی هریک از اضلاع BC و AB و CA به ترتیب مربع‌های CBDE و BAGF و ACIH رسم شده‌است.
# از گوشهٔ A خطی به موازات BD و CE رسم می‌کنیم؛ این خط به صورت عمودی با BC و DE برخورد می‌کند، محل‌های برخورد را به ترتیب K و L می‌نامیم.
# دو گوشهٔ C را به F و A را به D وصل می‌کنیم تا مثلث‌های BCF و BDA تشکیل شود.
# زاویه‌های CAB و BAG هر دو زاویه‌های راست‌اند؛ بنابراین نقاط C و A و G بر روی یک امتداد قرار دارند (هم‌خط‌اند)؛ برای نقاط B و A و H نیز همین مطلب برقرار است. [[پرونده:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem3.svg|بندانگشتی|در این نگاره، دو مثلث مساوی که مساحتی برابر با نصف مساحت مستطیل BDLK و مربع BAGF دارند، نمایش داده شده‌است.]]
# زاویه‌های CBD و FBA نیز هر دو زاویه‌های راست‌اند. در نتیجه دو زاویهٔ ABD و FBC با یکدیگر برابرند چون هردو برابرند با حاصل جمع یک زاویهٔ ۹۰ درجه با زاویهٔ ABC.
# چون AB با FB و BD با BC برابر است؛ در نتیجه مثلث ABD ناگزیر با مثلث FBC برابر خواهد بود.
# چون A-K-L یک خط مستقیم است که با ضلع BD از مربع BCDE نیز موازی است؛ پس BDLK یک مستطیل است و مساحتی دو برابر مساحت مثلث ABD دارد؛ چون قاعدهٔ BD در هر دو مشترک است و ارتفاع نیز در هر دو طولی برابر با BK دارد.
# چون نقطهٔ C و دو نقطهٔ A و G هر سه بر یک راستا قرار دارند، پس مربع BAGF باید مساحتی دو برابر مساحت مثلث FBC داشته باشد.
# می‌توان نتیجه گرفت که مساحت مستطیل BDLK، و مربع BAGF با هم برابر است و اندازهٔ آن برابر با AB<sup>۲</sup> است.
# به‌طور مشابه می‌توان نشان داد که مستطیل CKLE مساحتی برابر با مساحت مربع ACIH و برابر با AC<sup>۲</sup> دارد.
# با جمع این دو نتیجه با یکدیگر خواهیم داشت: AB<sup>۲</sup> + AC<sup>۲</sup> = BD × BK + KL × KC
# چون BD = KL و BD* BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
# چون CBDE یک مربع است پس می‌توان نتیجه گرفت که AB<sup>۲</sup> + AC<sup>۲</sup> = BC<sup>۲</sup>
این اثباتی بود که در کتاب ''اصول هندسهٔ اقلیدوس'' به عنوان گزاره ۴۷ در کتاب ۱ آمده‌است.<ref>[http://www.perseus.tufts.edu/cgi-bin/ptext?doc=Perseus:text:1999.01.0085:book=1:proposition=47 Elements 1.47] by Euclid. Retrieved 19 December 2006.</ref> و بیان می‌دارد که مساحت مربع ساخته شده روی وتر، برابر است با مجموع مساحت‌های دو مربع دیگر.<ref>[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI47.html Euclid's Elements, Book&nbsp;I, Proposition&nbsp;47]: web page version using Java applets from [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html Euclid's Elements] by Prof. David E. Joyce, Clark University</ref>
اثبات اقلیدوس یک اثبات ''مساحتی'' است و برخلاف اثبات دانتزیگ وابسته به مساحت‌ها است و نه طول‌ها. این روش کاملاً با اثبات بوسیلهٔ تشابه مثلث‌ها که احتمال داده می‌شود روش مورد استفادهٔ خود فیثاغورس بوده، متفاوت است.<ref name=Hawking/><ref name=Pythagoras>The proof by Pythagoras probably was not a general one, as the theory of proportions was developed only two centuries after Pythagoras; see {{Harv |Maor|۲۰۰۷ |p=۲۵}} [http://books.google.com/books?id=Z5VoBGy3AoAC&pg=PA25&hl=en#v=onepage&q&f=false page 25]</ref>

=== اثبات با استفاده از بازچینی ===
در نگارهٔ پویای سمت چپ، مساحت کل و مساحت مثلث‌ها همگی ثابت است؛ بنابراین، مساحت کل ناحیهٔ سیاه رنگ، ثابت است. اما ناحیهٔ اصلی سیاه رنگ با ضلع ''c'' را می‌تواsjbsgsibsvنشان داد که: {{nowrap|''a''<sup>۲</sup> + ''b''<sup>۲</sup> {{=}} ''c''<sup>۲</sup>.}}

اثبات دوم با استفاده از نگارهٔ پویای میانی است. مربع بزرگ اول، مساحتی برابر با ''c<sup>۲</sup>'' دارد با کنار هم قرار دادن چهار مثلث راست‌گوشهٔ یکسان و به دلیل اختلاف طول ضلع مثلث‌ها، یک مربع کوچک میان آن‌ها و در مرکز مربع بزرگ باقی می‌ماند. اگر یک بار دیگر نگاه کنیم می‌بینیم که با جابجایی مثلث‌ها، دو مستطیل با ضلع‌های ''a'' و ''b'' تشکیل شده‌است. با ادغام مربع کوچک میانی با یکی از مستطیل‌ها، دو مستطیل به دو مربع تبدیل خواهد شد و مساحت هریک از آن‌ها برابر با ''a<sup>۲</sup>'' و ''b<sup>۲</sup>'' خواهد بود؛ بنابراین {{nowrap| ''c''<sup>۲</sup> {{=}} ''a''<sup>۲</sup> + ''b''<sup>۲</sup>.}} است.

نگارهٔ سوم سمت راست، نیز خود یک اثبات است. همان گونه که در نگاره نمایش داده شده‌است، دو مربع بالایی، با سایه‌های آبی و سبز به چندین بخش تقسیم شده‌اند. اگر این قسمت‌های سایه‌خورده را کنار هم بچینیم می‌بینیم که مربع پایینی روی وتر را به خوبی پر می‌کنند؛ عکس این مطلب نیز برقرار است یعنی مربع پایینی که روی وتر تشکیل شده را می‌توان چنان قسمت کرد که دو مربع بالایی به خوبی با این قسمت‌ها پر شود. با این کار نشان دادیم که مساحت مربع بزرگ برابر است با مجموع مساحت‌های دو مربع کوچک.<ref name=specifics>{{Harv|Loomis|۱۹۶۸|loc= Geometric proof 22 and Figure 123, page= ۱۱۳}}</ref>

{{وسط‌چین}}{{چپ‌چین}}
{|
| [[پرونده:Pythag anim.gif|بندانگشتی|اثبات با استفاده از بازچینی چهار مثلث راست‌گوشهٔ یکسان]]
| [[پرونده:Pythagoras-2a.gif|بندانگشتی|پویانمایی برای نمایش یک اثبات دیگر بوسیلهٔ بازچینی<ref>{{cite web |url=http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml#10 |title= Pythagorean Theorem, proof number 10|author=Alexander Bogomolny |date= |work=Cut the Knot |publisher= |accessdate=27 February 2010}}</ref>]]
| [[پرونده:Pythagorean theorem rearrangement.svg|بندانگشتی|اثبات با استفاده از نمایش ریزه‌کاری‌های بازچینی]]
|}
{{پایان چپ‌چین}}
{{پایان}}

=== اثبات جبری ===
[[پرونده:Pythagoras algebraic2.svg|بندانگشتی|120px|چپ|نگاره‌های مربوط به دو اثبات جبری.]]

قضیهٔ فیثاغورس را می‌توان با استفاده از چیدن چهار مثلث راست‌گوشهٔ یکسان با ضلع‌های ''a'' و ''b'' و ''c'' درون یک مربع با ضلع ''c'' به صورت جبری اثبات کرد.<ref name=rotate>{{cite web |url=http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml#3 |title=Cut-the-knot.org: Pythagorean theorem and its many proofs, Proof #3 |author=Alexander Bogomolny |date= |work=Cut the Knot |publisher= |accessdate=4 November 2010}}</ref> مثلث‌ها یکسانند و مساحتی برابر با <math>\tfrac12ab</math> دارند. مربع کوچک ضلعی برابر با ''b − a'' و مساحتی برابر با ''<sup>۲</sup> (b − a)'' به این ترتیب مساحت مربع بزرگ برابر خواهد بود با:
{{چپ‌چین}}
::<math>(b-a)^2+4\frac{ab}{2} = (b-a)^2+2ab = a^2+b^2</math>
{{پایان چپ‌چین}}
و چون این مربع ضلعی برابر با ''c'' دارد پس مساحتی برابر با ''<sup>۲</sup> c'' خواهد داشت، می‌توان نتیجه گرفت:
{{چپ‌چین}}
::<math>c^2 = a^2 + b^2</math>
{{پایان چپ‌چین}}
همان گونه که در پایین نگاره می‌توان دید، اثبات مشابه دیگری وجود دارد که در آن با استفاده از بازچینی چهار مثلث یکسان به دور مربعی به ضلع ''c'' به نتیجه می‌رسد.<ref>{{cite web |url=http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml#4 |title=Cut-the-knot.org: Pythagorean theorem and its many proofs, Proof #4 |author=Alexander Bogomolny |date= |work=Cut the Knot |publisher= |accessdate=4 November 2010}}</ref> با این کار مربع بزرگتری به ضلع ''(a+b)'' و در نتیجه با مساحت'' <sup>۲</sup> (a+b)'' تشکیل می‌شود. چهار مثلث و مربع با ضلع ''c'' مساحتی برابر با مساحت مربع بزرگتر دارد.
{{چپ‌چین}}
::<math>(b+a)^2 = c^2 + 4\frac{ab}{2} = c^2+2ab</math>
{{پایان چپ‌چین}}
با جابجایی عبارت پشت تساوی خواهیم داشت:
{{چپ‌چین}}
::<math>c^2 = (b+a)^2 - 2ab = a^2 + b^2</math>
{{پایان چپ‌چین}}
اثبات دیگری برای این قضیه ارائه شده‌است که آن را به [[جیمز آبرام گارفیلد]] نسبت می‌دهند.<ref name=Garfield>Published in a weekly mathematics column: {{cite journal |journal=The New England Journal of Education |volume=۳ |page=۱۶۱ |year=۱۸۷۶ |author=James A Garfield |ref=harv}} as noted in {{cite book |title=The mathematical universe: An alphabetical journey through the great proofs, problems, and personalities |url=http://books.google.com/?id=3tG_FRQ9N1QC&cd=1&dq=%22mathematical+universe%22+inauthor:William+inauthor:Dunham&q=New+England+Journal#search_anchor |author=William Dunham |year=۱۹۹۷ |publisher=Wiley |isbn=۰۴۷۱۱۷۶۶۱۳ |page=۹۶}} and in [http://www.math.usma.edu/people/rickey/hm/Dates/April.pdf A calendar of mathematical dates: April 1, 1876] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100714153516/http://www.math.usma.edu/people/rickey/hm/Dates/April.pdf |date=۱۴ ژوئیه ۲۰۱۰}} by V. Frederick Rickey</ref><ref name=animation>[http://math.colgate.edu/faculty/dlantz/pythpfs/garfldpf.html Prof. David Lantz' animation] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130828104818/http://math.colgate.edu/faculty/dlantz/Pythpfs/Garfldpf.html |date=۲۸ اوت ۲۰۱۳}} from his [http://math.colgate.edu/faculty/dlantz/Pythpfs/Pythpfs.html web site of animated proofs]</ref> در این اثبات به‌جای مربع از یک [[ذوزنقه]] استفاده می‌شود. بخشی از این ذوزنقه از دو نیم کردن (به صورت قطری) مربعی که در اثبات دوم در بالا گفته شد تشکیل شده‌است. مساحت ذوزنقه برابر با نصف مساحت آن مربع است:
[[پرونده:Garfield Pythagoras.svg|بندانگشتی|120px|نگارهٔ مربوط به اثبات [[جیمز آبرام گارفیلد|گارفیلد]]]]
{{چپ‌چین}}
::<math>\frac{1}{2}(b+a)^2</math>
{{پایان چپ‌چین}}
مربع داخلی نیز دو نیم شده‌است، ادامهٔ اثبات به همان روش مشابه‌است با این تفاوت که عامل <math>\frac{1}{2}</math> را اضافه‌تر دارد؛ که با دو برابر کردن کل عبارت به آسانی حذف می‌شود.

=== اثبات به روش دیفرانسیلی ===
یک راه اثبات فیثاغورس، نگاه به این مطلب است که با تغییر طول یکی از اضلاع مثلث، در اندازهٔ وتر چه تغییری صورت می‌گیرد، این کار را باید با استفاده از [[حساب دیفرانسیل و انتگرال]] انجام داد.<ref name="Staring">{{cite journal |doi=۱۰٫۲۳۰۷/۲۶۹۱۳۹۵ |title=The Pythagorean proposition: A proof by means of calculus |author=Mike Staring |journal=Mathematics Magazine |publisher=Mathematical Association of America |volume=۶۹ |number=۱ |pages=۴۵–۴۶ |year=۱۹۹۶ |issue=February |jstor=۲۶۹۱۳۹۵ |ref=harv}}{{سخ}}
(An abbreviated version of this proof is in the second half of [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/#40 Proof #40] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160629193953/http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/#40 |date=۲۹ ژوئن ۲۰۱۶ }} at {{cite web |url=http://www.cut-the-knot.org/pythagoras |title=Pythagorean Theorem |accessdate=۲۰۱۰-۰۵-۰۹ |last=Bogomolny |first=Alexander |work=[http://www.cut-the-knot.org/ Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles] |publisher=Alexander Bogomolny |archiveurl=https://web.archive.org/web/20100706200930/http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ |archivedate=۶ ژوئیه ۲۰۱۰ |dead-url=yes }} [http://www.webcitation.org/5paKy2VLi Archived version May 8, 2010.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160101210907/http://www.webcitation.org/5paKy2VLi |date=۱ ژانویه ۲۰۱۶ }})</ref><ref name="M_Hardy">[http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/#40 Proof #40] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160629193953/http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/#40|date=۲۹ ژوئن ۲۰۱۶}} also summarizes a differential proof by Michael Hardy: "Pythagoras Made Difficult". ''[[Mathematical Intelligencer]]'', '''10''' (3), p. &nbsp;31, 1988. Although not listed in this journal's table of contents and without a doi, this article can be found at the end of the unrelated article by {{cite journal|author=Bruce C. Berndt|year=۱۹۸۸|title=Ramanujan—100 years old (fashioned) or 100 years new (fangled)?|journal=The Mathematical Intelligencer|volume=۱۰|pages=۲۴|doi=10.1007/BF03026638|ref=harv}}</ref> این نوع اثبات را اثبات به روش اندازه‌گیری می‌نامند و از نوع اثبات دانتزیگ است که در آن به اندازه‌گیری طول‌ها می‌پردازند و نه مساحت‌ها.

همان‌گونه که در شکل نشان داده شده‌است، می‌توان از دو مثلث راست‌گوشهٔ ADP و AQP استفاده کرد تا حدهای بالایی و پایینی نسبت دیفرانسیل {{nowrap|Δ''c''/Δ''a''}} را معلوم کرد؛ بنابراین حد را می‌توان از {{nowrap|Δ''a'', Δ''c'' → ۰,}} گرفت. از نتیجهٔ [[مشتق]] {{nowrap|''dc'' /''da''}} می‌توان برای اثبات فیثاغورس استفاده کرد.

از مثلث ABC:
{{چپ‌چین}}
::<math>\cos \theta = \frac{AB}{AC} = \frac{a + \Delta a}{c+\Delta c}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
حال مثلث ADP را رسم می‌کنیم، سپس:
{{چپ‌چین}}
::<math>\cos \theta = \frac{AD}{AP} = \frac{AD}{\Delta a}> \frac{\Delta c}{\Delta a}</math>
{{پایان چپ‌چین}}

[[پرونده:Pythagoras Staring.PNG|بندانگشتی|نگاره‌ای که برای بدست آوردن حدهای بالایی و پایینی <math>\Delta c / \Delta a</math><ref name=Staring/> کشیده شده‌است.]]

همان گونه که در قسمت بالای نگاره نشان داده شده‌است، آخرین نامساوی که می‌توان از ''AD''> Δ''c'' نتیجه گرفت، با ترکیب cos ''θ'' در عبارت بدست می‌آید:<ref name="aside">From the figure, it is evident that point D lies inside the circle of radius ''c'', which is why ''AD'' is larger than Δ''c''. That fact is rigorously established by noting side ''CD'' of right triangle CDP must be less than ''c'' because it is necessarily less than the hypotenuse ''CP'' of CDP. Consequently, point D definitely is inside the circle of radius ''c''. Similarly, point Q must lie inside the circle of radius ''c'' + Δ''c'' because ''CQ'' must be less than the hypotenuse ''CA'' of right triangle CQA, of length ''c'' + Δ''c''. The theorem that the hypotenuse of a right triangle is longer than either of its sides [[Triangle inequality#Right triangle|does not require Pythagoras' theorem]], so the derivation is not simply circular. However, that theorem in turn does require the [[triangle postulate]], equivalent to Euclid's [[اصل پنجم اقلیدس|postulate of parallel lines]].</ref>
{{چپ‌چین}}
::<math>\frac{\Delta c}{\Delta a} <\frac{a + \Delta a}{c+\Delta c}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
پس از آن مثلث راست‌گوشهٔ AQP را تشکیل می‌دهیم (قسمت پایین نگاره) چون هر دو مثلث AQP و PBC یک زاویهٔ <math> \scriptstyle \phi </math> دارند، پس:
{{چپ‌چین}}
::<math> \cos \phi = \frac{a}{c} =\frac{PQ}{PA}= \frac{PQ}{\Delta a} <\frac{\Delta c}{\Delta a}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
همان‌گونه که در نگارهٔ پایینی نمایش داده شده‌است، آخرین نامساوی که می‌توان از {{nowrap|''PQ'' <Δ''c''}} نتیجه گرفت، با ترکیب دو نامساوی که از مثلث‌های ADP و AQP بدست آمد، ایجاد می‌شود:
{{چپ‌چین}}
::<math>\frac{a}{c} <\frac{\Delta c}{\Delta a} <\frac{a + \Delta a}{c+\Delta c} = \left(\frac{a}{c} \right) \frac{1+ \Delta a /a}{1+\Delta c /c}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
حال حدهای بالایی و پایینی نسبت {{nowrap|Δ''c'' /Δ''a''}} را در اختیار داریم. وقتی که {{nowrap|Δ''c'' و Δ''a''}} به سمت صفر میل کنند، نسبت {{nowrap|Δ''c'' /Δ''a''}} به مشتق {{nowrap|''dc'' /''da''}} تبدیل می‌شود و حد بالایی و حد پایینی یکی می‌شود و خواهیم داشت:
{{چپ‌چین}}
::<math>\frac {dc}{da} =\frac{a}{c}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
:یا
{{چپ‌چین}}
::<math>c \, dc = a \, da; \ d (c^2) = d (a^2)</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که [[انتگرال|انتگرالی]] برابر با مقدار زیر خواهد داشت:
{{چپ‌چین}}
::<math> c^2 = a^2 + </math> ''مقدار ثابت''
{{پایان چپ‌چین}}
آنگاه که ''a'' = ۰ و ''c'' = ''b'' باشد، مقدار ثابت جواب انتگرال برابر با {{nowrap|''b''<sup>۲</sup>}} خواهد بود؛ بنابراین استدلال قضیهٔ فیثاغورس اثبات شد.
{{چپ‌چین}}
::<math>c^2 = a^2 + b^2</math>
{{پایان چپ‌چین}}<!--[[دیفرانسیل کامل]] عبارت بالا برابر است با:
{{چپ‌چین}}
::<math> d(c^2) = d(a^2) +d(b^2)</math>
{{پایان چپ‌چین}}
نتیجه نشان می‌دهد که با افزایش مقدار توان دوم وتر، برابر است با مجموع دو عبارت مستقل ضلع‌های کناری. -->

== وارون قضیه ==
درستی [[وارونگی (منطق)|وارون]] قضیهٔ فیثاغورس را می‌توان اثبات کرد.<ref name=Sally1>{{cite book |title=Cited work |author=Judith D. Sally, Paul Sally |page=۶۲ |chapter=Theorem 2.4 (Converse of the Pythagorean Theorem). |url=http://books.google.com/books?id=nHxBw-WlECUC&pg=PA54
|isbn=۰۸۲۱۸۴۴۰۳۲ |date=۲۰۰۷-۱۲-۲۱}}</ref>
<blockquote>برای هر سه عدد مثبت ''a'' و ''b'' و ''c'' که در عبارت {{nowrap|''a''<sup>۲</sup> + ''b''<sup>۲</sup> {{=}} ''c''<sup>۲</sup>}} صدق کنند؛ می‌توان مثلثی پیدا کرد با طول ضلع‌های ''a'' و ''b'' و ''c'' که حتماً دارای زاویه‌ای راست (۹۰ درجه) میان ضلع‌های ''a'' و ''b'' است.</blockquote>

چنین اعدادی را اعداد فیثاغورسی می‌نامند. بیان دیگر وارون قضیه عبارت است از:
<blockquote>برای هر مثلثی با اضلاع ''a'' و ''b'' و ''c'' اگر {{nowrap|''a''<sup>۲</sup> + ''b''<sup>۲</sup> {{=}} ''c''<sup>۲</sup>}} باشد آنگاه زاویهٔ میان اضلاع ''a'' و ''b'' برابر با ۹۰ درجه خواهد بود.</blockquote>

بیان استفاده شده در کتاب [[اصول اقلیدس (کتاب)|اصول اقلیدوس]] (کتاب اول، گزاره ۴۸):<ref>[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI48.html Euclid's Elements, Book I, Proposition 48] From [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html D.E. Joyce's web page] at Clark University</ref>
<blockquote>اگر مربع یکی از اضلاع مثلثی برابر باشد با مجموع مربع‌های دوضلع دیگر، آنگاه زاویهٔ تشکیل شده با آن دو ضلع، یک [[زاویهٔ راست]] است.</blockquote>

درستی این مطلب را می‌توان با استفاده از قانون کسینوس‌ها اثبات کرد.

فرض کنید ''ABC'' مثلثی با اضلاع ''a'' و ''b'' و ''c'' باشد که {{nowrap|''a''<sup>۲</sup> + ''b''<sup>۲</sup> {{=}} ''c''<sup>۲</sup>}}. حال باید ثابت کرد که زاویهٔ میان ''a'' و ''b'' زاویه‌ای راست است. مثلث دیگری می‌سازیم با ضلع‌های ''a'' و ''b'' و با یک زاویهٔ راست میان دو ضلع آن، چون می‌دانیم قضیهٔ فیثاغورس درست است پس طبق این قضیه باید وتر مثلث طولی برابر با ''c'' = √(''a''<sup>۲</sup> + ''b''<sup>۲</sup>) داشته باشد. پس وتر مثلث دوم طولی برابر با وتر مثلث اول دارد. پس دو مثلث با یکدیگر برابرند از هم نهشتی دو مثلث می‌توان نتیجه گرفت که زاویه‌های دو به دو برابر نیز دارند. پس زاویهٔ میان ضلع‌های ''a'' و ''b'' در مثلث اصلی خود، زاویه‌ای راست است.

با استفاده از وارون قضیهٔ فیثاغورس می‌توان به آسانی پیدا کرد که یک مثلث زاویهٔ راست، تند یا بازدارد. اگر بزرگترین ضلع یک مثلث را ''c'' نامگذاری کنیم، بر اساس [[نامساوی مثلث]]‌ها می‌توان گفت {{nowrap|''a'' + ''b''> ''c''}} است (اگر چنین نباشد یعنی مثلثی تشکیل نشده‌است) حال با استفاده از وارون قضیه فیثاغورس و نامساوی مثلث‌ها می‌توان گفت:<ref name=Wilczynski>{{cite book |title=Plane trigonometry and applications |author=Ernest Julius Wilczynski, Herbert Ellsworth Slaught |page=۸۵ |url=http://books.google.com/?id=vxk3AAAAMAAJ&pg=PA85 |chapter=Theorem 1 and Theorem 2 |year=۱۹۱۴ |publisher=Allyn and Bacon}}</ref>
* اگر {{nowrap|''a''<sup>۲</sup> + ''b''<sup>۲</sup> {{=}} ''c''<sup>۲</sup>,}} آنگاه مثلث راست‌گوشه‌است.
* اگر {{nowrap|''a''<sup>۲</sup> + ''b''<sup>۲</sup>> ''c''<sup>۲</sup>,}} آنگاه مثلث تیزگوشه‌است. (دارای زاویهٔ تند)
* اگر {{nowrap|''a''<sup>۲</sup> + ''b''<sup>۲</sup> <''c''<sup>۲</sup>,}} آنگاه مثلث دارای زاویه‌ای باز است. (بیش از ۹۰ درجه)

[[ادسخر دیکسترا]] برای تشخیص زاویهٔ مثلث‌ها پیشنهاد زیر را داده‌است:
{{چپ‌چین}}
::{{nowrap|sgn(''α'' + ''β'' − ''γ'') {{=}} sgn(''a''<sup>۲</sup> + ''b''<sup>۲</sup> − ''c''<sup>۲</sup>)}}
{{پایان چپ‌چین}}
که در آن ''α'' زاویهٔ مقابل به ضلع ''a'' و ''β'' زاویهٔ مقابل به ضلع ''b'' و ''γ'' زاویهٔ مقابل به ضلع ''c'' است؛ و sgn عبارت [[تابع علامت]] می‌باشد.<ref>{{cite web|url=http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/ewd09xx/EWD975.PDF|title=Dijkstra's generalization|format=PDF}}</ref>

== کاربردها و نتیجه‌های قضیه ==
[[File:Spiral_of_Theodorus.svg|جایگزین=physagoras|بندانگشتی|مارپیچ فیثاغورسی که تشکیل و دنباله عددی آن را در شکل می‌توانید ببینید.]]بنظر می رسد در جغرافیای کره زمین نیز از [[نسبت طلایی]] و مثلث فیثاغورث ( [[نیم‌کره غربی|نیمکره غربی]] ) بهره رفته است. [https://commons.m.wikimedia.org/wiki/User:Papayazarabad اینجا]

=== اعداد فیثاغورسی ( حلزونی ) زیبا ===
{{نوشتار اصلی|اعداد فیثاغورسی}}
اعداد فیثاغورسی به سه عددی می‌گویند که مجموع مربع‌های دو تا از آن‌ها برابر با مربع سومی باشد، به بیان دیگر اعداد a و b و c را فیثاغورسی گویند هرگاه ''a<sup>۲</sup> + b<sup>۲</sup> = c<sup>۲</sup>'' باشد. اعداد فیثاغورسی ضلع‌های یک مثلث راست‌گوشه را تشکیل می‌دهند. بررسی‌ها نشان داده‌است که بناهایی در [[شمال اروپا]] وجود داشته که در آن‌ها از ویژگی اعداد فیثاغورسی استفاده می‌شده‌است و آن‌ها پیش از شناخت این قضیه، از اعداد فیثاغورسی استفاده می‌کرده‌اند و آن‌ها را می‌شناختند. نمونه‌های پرکاربرد این اعداد عبارتند از: (۳، ۴، ۵) و (۵، ۱۲، ۱۳).

در زیر فهرستی از بعضی از اعداد فیثاغورسی نوشته شده‌است:
{{چپ‌چین}}
:(۳، ۴، ۵)، (۶٬۸٬۱۰)، (۵، ۱۲، ۱۳)، (۷، ۲۴، ۲۵)، (۸، ۱۵، ۱۷)، (۹، ۴۰، ۴۱)، (۱۱، ۶۰، ۶۱)، (۱۲، ۳۵، ۳۷)، (۱۳، ۸۴، ۸۵)، (۱۶، ۶۳، ۶۵)، (۲۰، ۲۱، ۲۹)، (۲۸، ۴۵، ۵۳)، (۳۳، ۵۶، ۶۵)، (۳۶، ۷۷، ۸۵)، (۳۹، ۸۰، ۸۹)، (۴۸، ۵۵، ۷۳)، (۶۵، ۷۲، ۹۷)، (۱۶۹٬۱۲۰٬۱۱۹)
{{پایان چپ‌چین}}

=== اعداد مختلط ===
{{نوشتار اصلی|عدد مختلط}}
[[پرونده:Complex conjugate picture.svg|بندانگشتی|قدر مطلق عدد مختلط z فاصلهٔ r از z تا مبدأ است.]]
برای هر عدد مختلط

<math>z = x + iy,</math>

[[قدر مطلق (ریاضی)|قدر مطلق]] آن عدد بدین صورت است:

<math>r = |z|=\sqrt{x^2 + y^2}.</math>

پس سه مقدار x ,r و y با استفاده از قانون فیثاغورس مرتبط هستند:

<math>r^2 = x^2 + y^2.</math>

که r به صورت عددی مثبت یا صفر تعریف می‌شود ولی x و y می‌توانند منفی یا مثبت یا صفر باشند. از لحاظ هندسی r فاصلهٔ z از مبدأ در [[صفحه مختلط]] است.

این را می‌توان تعمیم داد تا فاصله بین دو نقطهٔ z<sub>1</sub> و z<sub>2</sub> را یافت. این فاصله به این صورت به دست می‌آید:

<math>|z_1 - z_2|=\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2},</math>

که با استفاده از قضیه فیثاغورس می‌توان نوشت:

<math>|z_1 - z_2|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2</math>

=== فاصلهٔ اقلیدسی ===
رابطهٔ فاصله در [[دستگاه مختصات دکارتی|مختصات دکارتی]] از قضیه فیثاغورس نشات می‌گیرد.<ref>Jon Orwant; Jarkko Hietaniemi; John Macdonald (1999). [https://books.google.com/books?id=z9xMfXGoWd0C&pg=PA426 "Euclidean distance"]. ''Mastering algorithms with Perl''. O'Reilly Media, Inc. p. [[:en:Special:BookSources/1-56592-398-7|426. ISBN <bdi>1-56592-398-7</bdi>]].</ref> اگر (x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>) و (x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub>) نقاطی در صفحه باشند، فاصلهٔ بین آن‌ها که [[فاصله اقلیدسی]] نامیده می‌شود به این صورت به دست می‌آید:

<math>\sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}.</math>

به‌طور کلی تر در فضای اقلیدسی n بعدی فاصلهٔ بین دو نقطه ی، <math>A\,=\,(a_1,a_2,\dots,a_n)</math> و <math>B\,=\,(b_1,b_2,\dots,b_n)</math> از تعمیم قضیه فیثاغورس به این صورت تعریف می‌شود:

<math>\sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_n-b_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2}.</math>

اگر به جای فاصله اقلیدسی، مربع فاصلهٔ اقلیدسی به کار برده شود، معادلهٔ زیر به دست می‌آید:

<math>(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_n-b_n)^2 = \sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2.</math>

== تعمیم‌ها ==
قضیهٔ فیثاغورس حالتی از [[قانون کسینوس‌ها]] است که در آن زاویهٔ بین دو خط ۹۰ درجه است.

قانون کسینوس‌ها بیان می‌کند که اگر دو خط به طول a و b در راس O، تشکیل زاویه <math>\theta</math> بدهند، طول خطی که انتهای آن‌ها را به هم وصل می‌کند، از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

<math>c^2 = a^2+b^2-2ab\cos{\theta}</math> 

بنابراین، هر گاه زاویه <math>\theta</math> برابر ۹۰ درجه باشد مقدار <math>2ab\cos{\theta}</math> صفر شده و در نتیجه، قضیهٔ فیثاغورس بدست می‌آید:{{چپ‌چین}}
<math>a^2+b^2=c^2</math>
{{پایان چپ‌چین}}

== نظر ریاضی‌دانان دربارهٔ قضیه فیثاغورس ==
[[کپلر]] دربارهٔ قضیه فیثاغورس نوشته‌است: {{نقل قول|هندسه دو گنج بزرگ دارد: یکی قضیه فیثاغورس است، دیگری تقسیم یک خط به بینهایت نسبت میانگین. (قابلیت تقسیم شدن یک خط به بی‌نهایت جزء) ما اولی را با طلا مقایسه می‌کنیم، دومی را گوهری گرانبها می‌نامیم.<ref>Carl B. Boyer, A history of mathematics, page 50, 1991</ref>}}

== نگارخانه ==
<gallery>
پرونده:Khosrotashph3.gif|جایگزین=Pythagorean Theorem|بندانگشتی|اثبات تصویری قضیه فیثاغورث
پرونده:Khosrotashph.gif|جایگزین=Pythagorean Theorem |بندانگشتی|اثبات تصویری قضیه فیثاغورث
پرونده:Khosrotashph2.gif|جایگزین=Pythagorean Theorem|بندانگشتی|اثبات قضیه فیثاغورث
پرونده:Khosrotash2.gif|جایگزین=Pythagorean Theorem|بندانگشتی|اثبات به حالت تانگرام برای قضیه فیثاغورث
</gallery>

== جستارهای وابسته ==
{{درگاه|ریاضیات}}
{{چندستونه}}
* [[قضیه آخر فرما]]
* [[جبر خطی]]
* [[فضای لبگ]]
* [[قانون متوازی الاضلاع]]
* [[اتحاد پارسوال]]
* [[قضیه بطلمیوس]]
{{پایان چندستونه}}

== پانویس ==
{{پانویس|۳|چپ‌چین=بله}}
{{ویکی‌انبار-رده|Pythagorean theorem}}
{{داده‌های کتابخانه‌ای}}

[[رده:قضیه فیثاغورس]]
[[رده:اثبات بی‌کلام]]
[[رده:اختراع‌های یونانی]]
[[رده:تاریخ هندسه]]
[[رده:زاویه]]
[[رده:فیثاغورس]]
[[رده:قضایای هندسه مسطحه]]
[[رده:قضیه‌های هندسی]]
[[رده:مثلث‌ها]]
[[رده:مساحت]]
[[رده:معادلات]]
[[رده:هندسه مسطحه اقلیدسی]]