نمایش مبدأ برای قضیه بزو

{{pp-vandalism|small=yes}}
'''قضیه بزو''' یا '''اتحاد بزو''' {{به انگلیسی|Bézout's identity}} قضیه‌ای قدرتمند برای [[حلقه (ریاضی)|حلقه‌های]] جابجایی مجهز به [[الگوریتم تقسیم]] است. دو حالت خاص این قضیه، در مورد [[اعداد طبیعی]] و [[چندجمله‌ای]]‌ها معروف و پرکاربرد است. این قضیه را نخستین بار [[ریاضی‌دان|ریاضیدان]] فرانسوی [[اتین بزو]] در کتابش «نظریه عمومی معادله های جبری» اثبات کرد.

== در مجموعه اعداد طبیعی ==
فرض کنید <math>\; a</math> و <math>\;b</math> دو [[عدد صحیح]] باشند که دست کم یکی از آنها مخالف صفر است. در این صورت دو عدد صحیح <math>\;r</math> و <math>\;s</math> را می‌توان یافت به طوری که: <math>\; d = ra+sb</math> که در آن <math>\;d</math> [[بزرگترین مقسوم علیه مشترک|ب. م. م]] <math>\;a</math> و <math>\; b</math> است. به عبارت دیگر حداقل یک [[ترکیب خطی]] از دو عدد صحیح <math>\;a</math> و <math>\;b</math> مساوی ب. م. م آن‌ها خواهد بود.

=== صورت دیگر قضیهٔ بزو ===
فرض کنید <math>a</math> عددی صحیح و <math>m</math> عددی طبیعی باشد که <math>(a,m)=1</math>. در اینصورت عددی طبیعی یکتا مانند <math>a^*</math> وجود دارد که <math>aa^* \equiv 1 (mod m)</math> باشد و <math>a^*</math> را وارون ضربی <math>a</math> به پیمانهٔ <math>m</math> مینامیم.

==== برای اعدادی که متباین نیستند ====
اگر <math>a</math> عددی صحیح و <math>m</math> عددی طبیعی باشد <math>(a,m)</math> عدد در دستگاه کامل مانده های <math>m</math> مانند <math>a^*</math> وجود دارد که <math>aa^* \equiv (a,m) (mod m)</math>

=== مثال ===
برای <math>\; a=10 </math> و <math>\; b=24 </math> یک ترکیب خطیشان باید برابر با ب. م. م شان، یعنی <math>\; 2</math> شود. اگر قرار دهیم <math>\; r=5 , s=-2 </math> آنگاه <math>\; ax+by=10 \times 5 + 24 \times (-2) = 2</math> یا به عبارت دیگر <math>10 \times 5 \equiv 2 (mod 24)</math>
<br>[[وارون ضربی]] 10 به پیمانهٔ 7 برابر 5 است؛ یعنی،<math>10 \times 5=50 \equiv 1(mod 7)</math>

=== اثبات ===
مجموعه کلیه ترکیب‌های خطی ''مثبت'' <math>\;a</math> و <math>\;b</math> را <math>\; P</math> می‌نامیم. یعنی:
{{چپ‌چین}}
<math>P=\{ ax+by|x,y \in \mathbb{Z}, ax+by> 0 \}</math>
{{پایان چپ‌چین}}

مجموعه <math>\; P</math> به وضوح ناتهی است. زیرا مثلاً اگر <math>\;y</math> ناصفر باشد، با <math>\; x=0,y=b</math> یک عضو مثبت برای آن به دست می‌آید.
چون همه اعضای <math>\; P</math> مثبت اند، پس <math>\;P</math> کوچکترین عضو دارد. آن را <math>\;d</math> می‌نامیم و فرض می‌کنیم <math> \; d=ax'+by'> 0</math>. ادعا می‌کنیم <math>\;d</math> مساوی ب. م. م <math>\;a</math> و <math>\;b</math> است. برای این کار، <math>\;a</math> را بر <math>\;d</math> تقسیم می‌کنیم. بنابر [[الگوریتم تقسیم]]، [[خارج قسمت]] <math>\;q</math> و باقی‌مانده <math>\;r</math> (که <math> 0 \le r \le d</math>) وجود دارند که: <math>  \;a=dq+r </math>. حال باید نشان دهیم <math>\; r=0</math> اگر <math> \; r>0</math> آنگاه چون داریم
{{چپ‌چین}}
<math> \; r = a-dq = a-(ax'+by')q = a-ax'q - by'q =a(1-qx')+b(-y'q)  </math>
{{پایان چپ‌چین}}
یعنی یک ترکیب خطی از <math>\; a </math> و <math>\; b</math> برابر با <math>\; r</math> مثبت شده‌است که عددی کم تر از <math>\; d</math> است. این تناقض است. زیرا <math>\;d </math> کوچکترین ترکیب خطی مثبت <math>\;a</math> و <math>\;b</math> بود. پس فرض اولیه درست نبود. یعنی داریم <math>\; r=0</math>. به عبارت دیگر <math>\;a </math> و مشابها <math>\; b</math> بر <math>\; d</math> [[بخش پذیر]] اند. ثابت شد <math>\;d</math> [[مقسوم علیه]] مشترک <math>\; a</math> و <math>\; b</math> است. اثبات [[بزرگترین مقسوم علیه مشترک]] بودن آن مانده‌است. اگر <math>\;d'</math> ب. م. م آن دو باشد، چون <math>\; a</math> و <math>\; b </math> هر دو بر <math>\ d'</math> بخش پذیر اند، پس هر ترکیب خطی آن دو نیز بر <math>\; d'</math> بخش پذیر اند. به ویژه <math>\; d=ax'+by'</math>. پس <math>\; d</math> از <math>\; d'</math> کوچکتر نیست و به عبارت دقیق تر، خود <math>\; d'</math> است.

== در مجموعه [[چندجمله‌ای]]‌های با ضرایب صحیح ==
اگر <math>\; a(x) </math> و <math>\; b(x)</math> دو چندجمله‌ای با ضرایب صحیح باشند، آنگاه چندجمله‌ای‌های <math>\; r(x)</math> و <math>\; s(x) </math> با ضرایب صحیح وجود دارند که
<math>a(x) \times r(x)+b(x) \times s(x)</math> برابر با [[بزرگترین مقسوم علیه مشترک|ب. م. م]] <math>\; a(x)</math> و <math>\; b(x)</math> شود.

=== اثبات ===
چون در مجموعه چندجمله‌ای‌های با ضرایب صحیح، الگوریتم تقسیم درست است، مشابه اثبات قضیه برای [[مجموعه اعداد طبیعی]]، برای این صورت نیز جواب می‌دهد. (البته با تغییر اسامی و متغیرها)

== منابع ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}
* بهشتی زواره، رویا، و [[مریم میرزاخانی]]. ''نظریه اعداد''. تهران: [[انتشارات فاطمی]].

{{داده‌های کتابخانه‌ای}}

[[رده:معادله سیاله]]
[[رده:لم‌های نظریه اعداد]]
[[رده:مقاله‌های دربردارنده برهان]]