نمایش مبدأ برای قضیه استوارت

[[پرونده:پاره‌خطی از رأس به ضلع روبه‌رو رد مثلث.jpg|انگشتی|800px|(قضیۀ استوارت)؛ در مثلث ABC، پاره خط AP را از رأس A به یکی از نقاط دلخواه P در ضلع BC چنان رسم می‌کنیم که آن را به نسبت x و y قطع کند.]]
'''قضیه استوارت'''، {{انگلیسی|Stewart's theorem}} در [[هندسه]] اندازه [[پاره‌خط]] وارد از یک رأس بر ضلع روبرو را بر حسب اندازه اضلاع [[مثلث]] و دو پاره‌خط ایجاد شده بر روی ضلع می‌دهد. به افتخار ریاضیدان [[اسکاتلندی]] [[متیو استوارت]] که در مقاله‌ای در سال [[۱۷۴۸ (میلادی)|۱۷۴۸]] این قضیه را منتشر کرد، این قضیه را قضیه استوارت نامیده‌اند.<ref>M. Stewart ''Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics'' (1746) "Proposition II"</ref>

اگر ''b'' ،''a'' و ''c'' طول اضلاع مثلت و ''p'' طول پاره خط مورد نظر باشد، آنگاه:
<center>
<math> a (p^2 + x y ) = b^2 x + c^2 y \, </math> و یا:

<math> ap^2 = b^2 x + c^2 y - axy  \, </math>
</center>
که ''x'' و ''y'' طول دو پاره‌خط ایجاد شده بر ضلع هستند.

== اثبات ==
[[پرونده:Stewarts thm proof.png|بندانگشتی|تصویر توسط miyomiyo1050.]]
اگر محل برخورد پاره‌خط ''p'' و ضلع '''BC''' را '''P''' بنامیم، آنگاه بنابر [[قانون کسینوس‌ها]] برای دو زاویه '''APB''' و '''APC''' داریم:
<center>
<math> b^2 = p^2 + y^2 - 2 p y \cos { \theta } \, </math>

<math> c^2 = p^2 + x^2 - 2 p x \cos { 180-\theta }\,
====
c^2 = p^2 + x^2 + 2 p x \cos { \theta }\, </math>
</center>
با ضرب کردن ''x'' در جمله اول و ''y'' در جمله دوم معادلات زیر بدست می‌آید:
<center>
<math> x b^2 = x p^2 + x y^2 - 2 p x y \cos { \theta } \, </math>

<math> y c^2 = y p^2 + y x^2 + 2 p x y \cos { \theta }\, </math>
</center>
حال با جمع کردن دو معادله بالا بدست می‌آید:
<center>
<math> x b^2 + y c^2 = (x+y) p^2 + x y (x + y) \, </math>
</center>
که همان معادله قضیه استوارت است.

== منابع ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}

[[رده:قضایای هندسه مسطحه]]
[[رده:قضیه‌های هندسی]]
[[رده:هندسه مثلث]]