نمایش مبدأ برای قضیه آخر فرما

{{جعبه اطلاعات حکم ریاضیاتی
| name = قضیه آخر فرما
| image = Diophantus-II-8-Fermat.jpg
| caption = ویرایش ۱۶۷۰ از کتاب ''حساب'' دیوفانتوس که در آن یادداشت فرما قرار دارد، یادداشتی که به «آخرین قضیه» معروف شده‌است. (بعد از مرگ فرما، فرزندش آن را منتشر کرد)
| field = [[نظریه اعداد]]
| conjectured by = [[پیر دو فرما]]
| conjecture date = ۱۶۳۷
| first proof by = [[اندرو وایلز]]
| first proof date = ۱۹۹۵
| implied by = {{ubl | [[حدس بیل]] | [[حدس abc]] | [[حدس زپیرو]] | [[قضیه مدولاریتی]]}}
}}
در [[نظریه اعداد]]، '''قضیه آخر فِرما''' (که برخی مواقع از آن به '''حدس فِرما''' هم یاد شده‌است، به‌خصوص در متون قدیمی تر) بیان می‌دارد که هیچ سه عدد صحیح مثبتی چون <math>a</math>، <math>b</math> و <math>c</math> وجود ندارند چنان‌که در معادله <math>a^n + b^n = c^n</math> برای هر عدد صحیح <small><math>n>2</math></small> صدق کنند. این که حالات <small><math>n=1, 2</math></small> بی‌نهایت جواب دارند، از زمان باستان شناخته شده بود.<ref name="auto">Singh, pp. 18–20.</ref>

این گزاره ابتدا توسط [[پیر دو فرما]] در ۱۶۳۷ در حاشیه کتاب ''حساب'' [[دیوفانت|دیوفانتوس]] [[حدس]] زده شد؛ فرما اضافه کرد که اثباتی برای آن دارد، اما به دلیل بزرگ بودن بیش از حد در این حاشیه نمی‌گنجد. با این حال اوایل در مورد آن مشکوک بودند، چون انتشارش توسط پسرش و بدون موافقت پدر و بعد از مرگ او صورت گرفته بود.<ref name="BostonFLTproof">{{Cite web|url=https://www.math.wisc.edu/~boston/869.pdf |title=Nigel Boston,p.5 "THE PROOF OF FERMAT'S LAST THEOREM"}}</ref> بعد از ۳۵۸ سال تلاش ریاضیدانان، اولین اثبات موفق در ۱۹۹۴ توسط [[اندرو وایلز]] منتشر شد و به‌طور رسمی در ۱۹۹۵ منتشر شد؛ این اثبات در اهدای [[جایزه آبل]] به وایلز در ۲۰۱۶ به عنوان «پیشرفت محیرالعقول» توصیف شد.<ref name="abelcitation">{{یادکرد وب |نشانی=http://www.abelprize.no/c67107/binfil/download.php?tid=67059 |عنوان=Abel prize 2016 – full citation |بازبینی=۲ اکتبر ۲۰۱۹ |archive-date=۲۰ مه ۲۰۲۰ |archive-url=https://web.archive.org/web/20200520195920/https://www.abelprize.no/c67107/binfil/download.php?tid=67059 |dead-url=yes }}</ref> همچنین در آن بخش اعظم قضیه مدولاریتی اثبات شده و رهیافت‌های سراسر نوینی را به سوی چندین مسئله دیگر و تکنیک‌های بالابری (لیفتینگ) مدولاریتی باز کرد.

این مسئله حل نشده انگیزه بخش توسعه [[نظریه جبری اعداد]] در قرن نوزدهم میلادی و اثبات قضیه مدولاریتی در قرن بیستم بود. این مسئله در میان معروف‌ترین قضایای [[تاریخ ریاضیات]] است و تا قبل از اثبات شدنش در ''رکوردهای جهانی کتاب گینس'' به عنوان «سخت‌ترین مسئله ریاضی» شناخته می‌شد، بخشی از این توصیف به دلیل اثبات‌های متعدد ناموفقی بوده که سعی در حل آن داشتند.<ref>{{cite book|title=The Guinness Book of World Records|url=https://archive.org/details/guinnessbookofna0007eddunk|year=1995|section=Science and Technology|publisher=Guinness Publishing Ltd.}}</ref>

== مرور کلی ==
=== منشأ [[مکتب فیثاغوری|فیثاغورسی]] ===
[[قضیه فیثاغورس|معادله فیثاغورسی]] <math>x^2+y^2=z^2</math> بی‌نهایت جواب صحیح مثبت برای <math>x,y</math> و <math>z</math> دارد. این جواب‌ها را [[سه‌تایی فیثاغورسی|سه تایی‌های فیثاغورسی]] گویند (کوچکترین آن‌ها ۳، ۴، ۵ است). در حدود ۱۶۳۷، [[پیر دو فرما|فرما]] در حاشیه کتابش نوشت که معادله <math>a^n+b^n=c^n</math> برای <math>n</math>های بزرگتر از ۲ هیچ جواب [[عدد صحیح|صحیح]] مثبتی ندارد. گرچه که او ادعا کرد که [[اثبات ریاضیات|اثبات]] عمومی برای حدسش دارد، ولی جزئیاتی از آن بعد از مرگش باقی نگذاشت. این ادعا به عنوان ''قضیه آخر فرما'' شناخته می‌شود و برای سه و نیم قرن حل نشده باقی ماند.<ref name="BostonFLTproof"/> این ادعا در نهایت تبدیل به یکی از معروف‌ترین مسائل حل نشده ریاضیات شد. تلاش‌ها برای اثبات آن موجب پیشرفت‌های اساسی در نظریه جبری اعداد گشت و در طی زمان، قضیه آخر فرما به عنوان [[مسئله‌های حل‌نشده ریاضی|مسئله حل نشده ریاضیات]] معروف شد.

=== پیشرفت‌های پی در پی تا حل کامل ===
بررسی و اثبات حالت خاص <math>n=4</math> توسط خود فرما، کافی بود تا مشخص شود که اگر حدس او برای یک توان مثل <math>n</math> غلط باشد آنگاه برای یک <math>n</math> کوچکتر هم غلط خواهد بود، لذا تنها مقادیر اول <math>n</math> نیاز به بررسی بیشتر داشتند.<ref group="یادداشت">اگر توان <math>n</math> اول یا برابر 4 نبود، آنگاه امکان نوشتن <math>n</math> به صورت ضرب دو عدد صحیح کوچکتر (<math>n=PQ</math>) که در آن <math>P</math> یک عدد اول بزرگتر از 2 است، وجود خواهد داشت، سپس برای هر <math>a, b</math> و <math>c</math> داریم <math>a^n=a^{PQ}=(a^Q)^P</math>. یعنی، جواب معادلی برای توان‌های اول <math>P</math> ''کمتر'' از <math>n</math> هم باید وجود داشته باشد، یا در غیر این صورت <math>n</math> به صورت توانی از 2، بزرگتر از 4 خواهد بود و با نوشتن <math>n=4Q</math> همین استدلال را می‌توان تکرار کرد.</ref> در طی دو قرن بعد (۱۶۳۷–۱۸۳۹)، این حدس تنها برای [[عدد اول|اعداد اول]] ۳، ۵ و ۷ اثبات شد، اگرچه که [[سوفی ژرمن]] رهیافتی را ابداع و اثبات کرد که به کلاس عمده‌ای از اعداد اول مرتبط می‌شد، [[ارنست ادوارد کومر|ارنست کومر]] رهیافت وی را توسعه داد تا شامل کل اعداد اول منظم شد، او اعداد اول غیر منظم را از تحلیل خود خارج کرد. دیگر ریاضیدانان براساس کارهای [[ارنست ادوارد کومر|کومر]] و با استفاده از مطالعات محاسباتی پیشرفته با کمک رایانه‌ها، توانستند اثبات مورد نظر را به توان‌های تمام اعداد اول کوچکتر از ۴ میلیون بسط دهند، اما اثباتی برای تمام توان‌ها دست نیافتنی می‌نمود (یعنی ریاضیدانان عموماً اثبات حالت کلی را غیرممکن، بسیار سخت، یا بر اساس دانش موجود دست نیافتنی می‌شمردند).

حدود ۱۹۵۵، ریاضیدانان ژاپنی [[گورو شیمورا]] و [[یوتاکا تانی‌یاما|یوتاکا تانیاما]] احتمال دادند که ارتباطی بین [[خم بیضوی|خم‌های بیضوی]] و فرم‌های مدولار، دو قلمرو کاملاً متفاوت ریاضیات، وجود داشته باشد. در آن زمان حدس این دو، به نام حدس تانیاما-شیمورا شناخته می‌شد (در نهایت به نام قضیه مدولاریتی شناخته شد)، این حدس خود هویتی مستقل داشت و ظاهراً هیچ ارتباطی هم با قضیه آخر فرما پیدا نمی‌کرد. حدس تانیاما-شیمورا به خودی خود طور گسترده مهم تلقی می‌شد اما (همچون قضیه آخر فرما) اثبات آن عمدتاً کاملاً دست نیافتنی می‌نمود.

در ۱۹۸۴، گرهارد فری متوجه یک ارتباط ظاهری بین این دو مسئله شد، مسائلی که پیش از آن غیر مرتبط و حل نشده بودند. فری به‌طور اجمالی نشان داد که می‌توان این ارتباط را اثبات نمود. اثبات کامل ارتباط نزدیک این دو مسئله در ۱۹۸۶ توسط کن ریبت، بر اساس اثباتی جزئی از [[ژان-پی‌یر سر|ژان پیر سره]] انجام شده بود. او ([[ژان-پی‌یر سر|ژان پیر سر]]) تمام قسمت‌ها به جز قسمتی که به نام «حدس اپسیلون» شناخته می‌شد را اثبات کرده بود (مقالات مربوط به ''قضیه ریبت'' و ''خم فری'' را ببینید).<ref name="abelcitation"/> مقالات فری، سره و ریبت نشان دادند که اگر بتوان قضیه مدولاریتی را حداقل برای دسته نیمه-پایا از خم‌های بیضوی اثبات کرد، آنگاه به‌طور خودکار اثباتی برای قضیه آخر فرما نیز حاصل خواهد شد. این ارتباط بدین صورت توصیف گشت: هر راه حلی که با قضیه آخر فرما تناقض داشته باشد، می‌تواند با قضیه مدولاریتی هم دچار تناقض شود؛ بنابراین اگر قضیه مدولاریتی درست باشد، آنگاه طبق تعریف هیچ راه حلی که با قضیه آخر فرما در تناقض باشد وجود نخواهد داشت، لذا قضیه آخر فرما هم درست خواهد بود.

گرچه که هردو مسئله هولناک بودند و در آن زمان به‌طور گسترده اثباتشان به عنوان «کاملاً دست نیافتنی» تلقی می‌شد،<ref name="abelcitation"/> این ارتباط اولین مسیری بود که توسط آن، قضیه آخر فرما می‌توانست توسعه یافته و برای تمام اعداد، نه فقط بخش خاصی از اعداد، اثبات شود. همچنین چیزی که در انتخاب یک موضوع تحقیقاتی برای محققان مهم بود، این حقیقت بود که برعکس قضیه آخر فرما، قضیه مدولاریتی یک حوزه فعال تحقیقاتی بود که همگان طالب اثباتی از آن بودند، نه فقط به خاطر جنبه تاریخی اش، لذا این نکته وقت گذاشتن روی قضیه مدولاریتی را برای محققان از نظر حرفه‌ای توجیه می‌نمود.<ref>Singh, p. 144 quotes Wiles's reaction to this news: "I was electrified. I knew that moment that the course of my life was changing because this meant that to prove Fermat’s Last Theorem all I had to do was to prove the Taniyama–Shimura conjecture. It meant that my childhood dream was now a respectable thing to work on."</ref> با این حال، عقیده عموم این بود که چنین ارتباطی نشان دهندهٔ غیر عملی بودن اثبات حدس تانیاما-شیمورا نیز می‌باشد.<ref name="singh144">Singh, p. 144.</ref> یکی از صحبت‌هایی که اغلب شنیده می‌شد، چیزی بود شبیه صحبت ریاضیدانی به نام جان کوتس:<ref name="singh144"/><blockquote>«من خودم خیلی بد بین بودم که ارتباط زیبایی بین قضیه آخر فرما و حدس تانیاما-شیمورا عملاً منجر به چیزی شود، چون باید اعتراف کنم که فکر نمی‌کردم حدس تانیاما شیمورا برای اثبات دست یافتنی باشد. گرچه که این مسئله زیبا بود، اما به نظر می‌رسید که اثبات آن در عمل غیر ممکن باشد. باید اقرار کنم که احتمالاً فکر می‌کردم در طول زندگانی ام اثبات نمی‌شود.»</blockquote>زمانی که شنیده شد ریبت، درستی ارتباط فری را اثبات کرده، [[ریاضی‌دان|ریاضیدان]] انگلیسی [[اندرو وایلز]] که از زمان بچگی افسون قضیه آخر فرما بود و پشتوانه‌ای از کار با [[خم بیضوی|خم‌های بیضوی]] و زمینه‌های مرتبط داشت، تصمیم گرفت تا سعی بر اثبات حدس تانیاما-شیمورا به عنوان راهی برای اثبات قضیه آخر فرما کند. در ۱۹۹۳، بعد از شش سال کار مخفی بر روی مسئله، وایلز در اثبات آن به اندازه کافی موفق شد. مقاله وایلز از نظر اندازه و حیطه موضوعی وسیع بود. یک نقص در بخشی از مقاله اصلی او طی اولین [[داوری همتا]]<nowiki/>ی مقاله اش، موجب شد اندرو وایلز یک سال دیگر با شاگرد قدیمی اش [[ریچارد تیلور (ریاضیدان)|ریچارد تیلور]] برای حل آن تلاش کند. در نتیجه، اثبات نهایی در ۱۹۹۵ همراه با مقاله‌ای ضمیمه‌ای منتشر شد، مقاله ضمیمه‌ای نشان می‌داد که گام‌های اصلاحی معتبر هستند. دستاورد وایلز به‌طور گسترده در رسانه‌های عمومی گزارش شد و در کتاب‌ها و برنامه‌های تلویزیونی معروف شد. بخش‌های باقیماندهٔ حدس تانیاما-شیمورا اکنون اثبات شده و به قضیه مدولاریتی معروف است که پس از مقاله وایلز توسط دیگر ریاضیدانان براساس کار وایلز بین سال‌های ۱۹۹۶ تا ۲۰۰۱ اثبات شد. از وایلز به خاطر اثباتش قدردانی شد و جوایز متعددی از جمله [[جایزه آبل|جایزه ۲۰۱۶ آبل]] را نصیبش کرد.<ref name="natureAbel">{{cite web |url=http://www.nature.com/news/fermat-s-last-theorem-earns-andrew-wiles-the-abel-prize-1.19552 |title=Fermat's last theorem earns Andrew Wiles the Abel Prize |publisher=[[Nature (journal)|Nature]] |date=15 March 2016 |accessdate=15 March 2016}}</ref><ref>[https://www.washingtonpost.com/world/europe/british-mathematician-sir-andrew-wiles-gets-abel-math-prize/2016/03/15/41146a7e-eaa9-11e5-a9ce-681055c7a05f_story.html British mathematician Sir Andrew Wiles gets Abel math prize] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160315135239/https://www.washingtonpost.com/world/europe/british-mathematician-sir-andrew-wiles-gets-abel-math-prize/2016/03/15/41146a7e-eaa9-11e5-a9ce-681055c7a05f_story.html |date=15 مارس 2016 }} – The Washington Post.</ref><ref>[http://www.cnn.com/2016/03/16/europe/fermats-last-theorem-solved-math-abel-prize/index.html 300-year-old math question solved, professor wins $700k] – CNN.com.</ref>

=== صورت‌های معادل قضیه ===
راه‌های مختلفی برای بیان قضیه آخر فرما وجود دارند که از نظر ریاضیاتی با مسئله اصلی معادلند.

به منظور بیانشان، ما از نمادهای ریاضیاتی استفاده می‌کنیم: فرض کنید <math>\mathbb{N}</math> مجموعه اعداد طبیعی <math>1, 2, 3, \dotsc</math> باشد و <math>\mathbb{Z}</math> مجموعه [[عدد صحیح|اعداد صحیح]] <math>0, \pm 1, \pm 2,\dotsc</math> و <math>\mathbb{Q}</math> مجموعه [[عدد گویا|اعداد گویای]] <math>\frac{a}{b}</math> باشد که <math>a</math> و <math>b</math> عضو <math>\mathbb{Z}</math> بوده به گونه‌ای که <math>b\neq 0</math>. در ادامه ما به حلی از <math>x^n+y^n=z^n</math> که در آن یکی از <math>x,y</math> یا <math>z</math> صفر باشند ''حل بدیهی'' می‌گوییم. یک حل که در آن تمام سه متغیر نا-صفر باشند را حل ''نابدیهی'' نامیم.

جهت مقایسه، ابتدا از فرمول اصلی شروع می‌کنیم.
* '''حکم اصلی''': فرض کنید <math>n, x, y, z \in \mathbb{N}</math> و <math>n>2</math>، معادله <math>x^n+y^n=z^n</math> هیچ جوابی ندارد.
* '''حکم معادل 1''': <math>x^n+y^n=z^n</math>، که در آن عدد صحیح <small><math>n\geq 3</math></small> است، هیچ جواب غیر بدیهی <math>x, y, z, \in \mathbb{Z}</math> ندارد.

معادل بودن این حکم هنگامی که <math>n</math> زوج باشد واضح است. اگر <math>n</math> فرد بود و تمام سه عدد <math>x, y, z</math> منفی بودند، آنگاه می‌توانیم <math>x, y, z</math> را با <math>-x, -y, -z</math> برای بدست آوردن جوابی در <math>\mathbb{N}</math> جایگزین کنیم. اگر دوتا از آن‌ها منفی باشند، این دوتا باید <math>x, z</math> یا <math>y, z</math> باشند، در این صورت اگر مثلاً <math>x, z</math> منفی بودند و <math>y</math> مثبت بود، آنگاه آن‌ها را به صورت <math>(-z)^n+y^n=(-x)^n</math> می‌نویسیم که منجر به جوابی در <math>\mathbb{N}</math> می‌شود؛ در حالت دیگر به روش مشابه عمل می‌کنیم. حال اگر تنها یکی از آن‌ها منفی بود، باید [[اعداد منفی|عدد منفی]] یکی از <math>x</math> یا <math>y</math> باشد. اگر <math>x</math> منفی بود، و <math>y</math> و <math>z</math> مثبت بودند، آنگاه می‌توان معادله را به صورت <math>(-x)^n+z^n=y^n</math> نوشت، که مجدداً منجر به حل آن در <math>\mathbb{N}</math> می‌شود؛ اگر <math>y</math> منفی بود، طبق تقارن باز به همان نتیجه اخیر می‌رسیم.
* '''حکم معادل 2''': <math>x^n+y^n=z^n</math>، که در آن عدد صحیح <math>n\geq3</math> است، هیچ جواب نا-بدیهی <math>x,y,z\in \mathbb{Q}</math> ندارد.

به این علت که توان‌های <math>x,y</math> و <math>z</math> برابر (با <math>n</math>) است، چنان‌که اگر جوابی در <math>\mathbb{Q}</math> داشته باشد، آنگاه آن جواب را می‌توان در مخرج مشترک مناسبی ضرب کرد تا جوابی در <math>\mathbb{Z}</math> بدست آید که در نتیجه جوابی در <math>\mathbb{N}</math> خواهد بود.
* '''حکم معادل 3''': <math>x^n+y^n=1</math>، که در آن عدد صحیح <math>n\geq 3</math> است، هیچ جواب نا-بدیهی <math>x,y\in \mathbb{Q}</math> ندارد.

جواب نابدیهی <math>a, b, c\in \mathbb{Z}</math> برای <math>v^n+w^n=1</math> منجر به جواب نابدیهی <math>\frac{a}{c}, \frac{b}{c}\in \mathbb{Q}</math> برای <math>v^n+w^n=1</math> خواهد شد. برعکس، جواب <math>\frac{a}{c}, \frac{b}{c}\in \mathbb{Q}</math> برای <math>v^n+w^n=1</math> منجر به جواب نابدیهی <math>ad, cb, bd</math> برای <math>x^n+y^n=z^n</math> خواهد شد.

فرمولبندی اخیر به‌طور خاص ثمر بخش و مفید است، چرا که مسئله اصلی رویه سه بعدی را به مسئله خم دو بعدی تقلیل می‌دهد. علاوه بر این، امکان آن را می‌دهد تا به جای حلقه <math>\mathbb{Z}</math> روی میدان <math>\mathbb{Q}</math> کار شود؛ میدان‌ها ساختار خاص تری نسبت به حلقه‌ها هستند و امکان تحلیل عمیق‌تر و بهتری را فراهم می‌آورند.
* '''حکم معادل ۴ - ارتباط با خم‌های بیضوی''': اگر <math>a, b, c</math> جواب نا-بدیهی برای <math>x^p+y^p=z^p</math> بوده و <math>p</math> عدد اول فردی باشد آنگاه <math>y^2=x(x-a^p)(x+b^p)</math> (خم فری (Frey)) یک خم بیضوی خواهد بود.<ref>{{cite journal|last=Wiles|first=Andrew|authorlink=Andrew Wiles|year=1995|title=Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem|url=http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf|journal=[[سالنامه ریاضیات|Annals of Mathematics]]|volume=141|issue=3|page=448|doi=10.2307/2118559|jstor=2118559|oclc=37032255|quotation=پیشنهاد فری مبنی بر نمادگذاری این قضیه، بدین منظور بود که نشان دهد خم بیضوی (فرضی) <math>y^2=x(x+u^p)(x-v^p)</math> نمی‌تواند پیمانه ای باشد.|access-date=۲۶ اکتبر ۲۰۱۹|archive-date=۱۰ مه ۲۰۱۱|archive-url=https://web.archive.org/web/20110510062158/http://math.stanford.edu/%7Elekheng/flt/wiles.pdf|dead-url=yes}}</ref>

بررسی این خم بیضوی بر اساس قضیه ریبت (Ribet) نشان می‌دهد که این خم فرم پیمانه‌ای (مدولار) ندارد. با این حال، اثبات اندرو وایلز نشان می‌دهد که هر معادله به فرم <math>y^2=x(x-a^p)(x+b^p)</math> فرم پیمانه‌ای دارد؛ لذا هر جواب نابدیهی به معادله <math>x^p+y^p=z^p</math> (که در آن <math>p</math> یک عدد اول فرد است) منجر به تناقض می‌گردد، که به نوبه خود اثبات می‌کند که هیچ جواب نابدیهی وجود ندارد.<ref>{{cite journal|last=Ribet|first=Ken|authorlink=Ken Ribet|year=1990|title=On modular representations of Gal({{overline|'''Q'''}}/'''Q''') arising from modular forms|url=http://math.berkeley.edu/~ribet/Articles/invent_100.pdf|journal=Inventiones Mathematicae|volume=100|issue=2|page=432|bibcode=1990InMat.100..431R|doi=10.1007/BF01231195|mr=1047143|hdl=10338.dmlcz/147454}}</ref>

به بیان دیگر، هر جوابی که بتواند قضیه آخر فرما را دچار تناقض کند می‌تواند برای ایجاد تناقض در قضیه پیمانه‌ای (مدولاریتی) هم استفاده گردد. بنابر این اگر قضیه پیمانه‌ای درست بود، آنگاه می‌توان نتیجه گرفت که قضیه آخر فرما هم می‌تواند برقرار باشد. همان‌طور که توصیف شد، کشف این حکم معادل اخیر برای حل قضیه آخر فرما حیاتی بود، چرا که طریقی ایجاد می‌کرد که بوسیله آن می‌توانستند به مسئله با بررسی همه اعداد به صورت یک جا «حمله» کنند.

== تاریخچه ریاضیاتی ==
=== فیثاغورث و دیوفانتوس ===
==== سه تایی‌های فیثاغورسی ====
{{اصلی|سه تایی فیثاغورسی}}
در زمان‌های باستانی، می‌دانستند که مثلثی با نسبت اضلاع <math>3\colon 4\colon 5</math> دارای زاویه قائمه است. این نکته در ترسیم و بعدها در [هندسه] به کار گرفته شد. همچنین آن را به عنوان مثالی از قاعده کلی می‌شناختند که بنابر آن قاعده، اگر در هر مثلثی، مربع دو ضلع آن را با هم جمع کنند (<math>3^2+4^2=9+16=25</math>)، مقدار حاصل برابر با مجذور ضلع سوم شود (<math>5^2=25</math>)، در آن صورت آن مثلث هم یک مثلث قائم الزاویه خواهد بود. اکنون به این قاعده [[قضیه فیثاغورس|قضیه فیثاغورس]] می‌گویند و اعداد سه‌گانه‌ای که در این شرایط صدق کند را [[سه تایی‌های فیثاغورسی]] گویند، هردوی این‌ها به افتخار [[فیثاغورس]] یونان باستان نامگذاری شده‌است. مثال‌هایی از سه تایی‌های فیثاغورسی شامل (۳، ۴، ۵) و (۵، ۱۲، ۱۳) می‌باشد. بی‌نهایت از چنین سه تایی‌هایی وجود دارد،<ref name="Stillwell_2003">{{cite book | author = Stillwell J | year = 2003 | title = Elements of Number Theory | url = https://books.google.com/books?id=LiAlZO2ntKAC&pg=PA110 | publisher = Springer-Verlag | location = New York | isbn = 0-387-95587-9 | pages = 110–112 | accessdate = 2016-03-17| author-link = John Stillwell}}</ref> و روش‌هایی برای تولید چنین سه تایی‌هایی وجود دارند که توسط فرهنگ‌های مختلف مورد مطالعه قرار گرفته‌اند، اولین کسانی که به مطالعه آن‌ها پرداخته‌اند بابلی‌ها بوده<ref>Aczel, pp. 13–15</ref> و سپس ریاضیدانان یونان باستان، چینی‌ها، و هندی‌ها به مطالعه‌شان پرداختند.<ref name="auto"/> از نظر ریاضیاتی، تعریف سه تایی‌های فیثاغورسی به صورت مجموعه اعداد صحیح (<math>a, b, c</math>) می‌باشد که در معادله<ref>Stark, pp. 151–155.</ref> <math>a^2+b^2=c^2</math> صدق می‌کنند.

==== معادلات سیاله‌ای ====
{{اصلی|معادله سیاله}}
معادله فرما، <math>x^n+y^n=z^n</math> با جواب‌های صحیح مثبت، مثالی از یک معادله سیاله‌ای (یا دیوفانتینی) است،<ref>Stark, pp. 145–146.</ref> که به افتخار ریاضیدان قرن سوم میلادی از [[اسکندریه]]، [[دیوفانت|دیوفانتوس]]، نامیده شده‌است. او کسی بود که این گونه معادلات را مطالعه کرده و روش‌هایی برای حل برخی از انواع معادلات سیاله‌ای (دیوفانتینی) توسعه داد. یک نمونه از چنین مسائلی یافتن دو عدد صحیح <math>x</math> و <math>y</math> است چنان‌که جمعشان، و جمع مربعاتشان به ترتیب برابر دو عدد داده شده <math>A</math> و <math>B</math> باشد:

:<math>A = x + y</math>
:<math>B = x^2 + y^2.</math>

اثر اصلی دیوفانوس، ''Arithmetica'' است، که تنها بخشی از آن باقی مانده‌است.<ref>Singh, pp. 50–51.</ref> حدس فرما از قضیه آخرش هنگام خواندن ویرایش جدیدی از ''Arithmetica'' به او الهام شد،<ref>Stark, p. 145.</ref> نسخه‌ای که فرما از آن می‌خواند ترجمه‌ای به لاتین بود که در ۱۶۲۱ توسط کلاود باشت منتشر شده بود.<ref>Aczel, pp. 44–45; Singh, pp. 56–58.</ref>

معادلات سیاله‌ای برای هزاران سال مطالعه شده‌اند. به عنوان مثال، حل معادله سیاله‌ای مربعی <math>x^2+y^2=z^2</math> توسط [[سه‌تایی فیثاغورسی|سه تایی‌های فیثاغورسی]]، ابتدا توسط بابلی‌ها (۱۸۰۰ قبل از میلاد) حل شد.<ref>Aczel, pp. 14–15.</ref> حل معادلات سیاله‌ای خطی چون <math>26x+65y=13</math> را می‌توان با استفاده از [[الگوریتم اقلیدس|الگوریتم اقلیدسی]] (قرن پنجم قبل از میلاد) بدست آورد.<ref>Stark, pp. 44–47.</ref> بسیاری از معادلات سیاله‌ای از نقطه نظر جبری فرمی شبیه به معادله قضیه آخر فرما دارند، چرا که آن‌ها هیچ جمله‌ای که از ضرب چند متغیر دیگر حاصل شده باشند را در خود نداشته، و بدین طریق ویژگی دو متغیر مختلف با هم ترکیب نمی‌شوند. به عنوان مثال، مشخص شده که بی‌نهایت عدد صحیح <math>x, y</math> و <math>z</math> وجود دارند چنان‌که <math>x^n+y^n=z^m</math> که در آن <math>m</math> و <math>n</math> [[عدد طبیعی|اعداد طبیعی]] متباین اند.<ref group="یادداشت">به عنوان مثال، <math>\left((j^r+1)^s\right)^r + \left(j(j^r+1)^s\right)^r = (j^r+1)^{rs+1}.</math></ref>

=== حدس فرما ===
[[پرونده:Diophantus-II-8.jpg|جایگزین=مسئله II.8 از کتاب آریتمتیکای دیوفانتوس|بندانگشتی|مسئله II.8 در ویرایش ۱۶۲۱ کتاب ''Arithmetica'' اثر دیوفانتوس. حاشیه سمت راست برای گنجاندن اثبات ادعایی اش از «قضیه آخر» بسیار کوچک بود.]]
مسئله II.8 از ''Arithmetica'' می‌پرسد که چگونه می‌توان یک عدد مربعی را به دو عدد مربعی دیگر جدا کرد؛ به بیان دیگر، برای یک عدد گویای داده شده چون <math>k</math>، اعداد گویای <math>u</math> و <math>v</math> را چنان پیدا کنید که <math>k^2=u^2+v^2</math>. دیوفانتوس نشان داد که چگونه می‌توان این مسئله از جمع مربعات را برای <math>k=4</math> حل کرد (جواب <math>u=\frac{16}{5}</math> و <math>v=\frac{12}{5}</math> است).<ref>Friberg, pp. 333–334.</ref>

حدود ۱۶۳۷، فرما آخرین قضیه اش را در حاشیه نسخه‌ای که از ''Arithmetica'' داشت، کنار مسئله جمع مربعات دیوفانتوس نوشت:<ref>Dickson, p. 731; Singh, pp. 60–62; Aczel, p. 9.</ref>
{| style="font-style:italic;"
| style="padding:0 1em;vertical-align:top;" |Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
| style="padding:0 1em;vertical-align:top;" |امکان جدا کردن یک مکعب به مکعب‌ها، یا توان چهارم به توان‌های چهارم‌ها، یا در حالت کلی تر هر توانی بزرگتر از ۲ به دو توان مشابه وجود ندارد. من اثبات واقعاً حیرت‌آوری برای این نکته پیدا کرده‌ام که این حاشیه برای گنجانیدن آن بسیار کوچک است.<ref>T. Heath, ''Diophantus of Alexandria'' Second Edition, Cambridge University Press, 1910, reprinted by Dover, NY, 1964, pp. &nbsp;144–145</ref><ref>Panchishkin, [https://books.google.com/books?id=wvK586IxaxwC&pg=PA341&dq=%22Cubum+autem+in+duos+cubos,+aut+quadratoquadratum%22&hl=en&ei=Jig_Tc2hCIH_8Aaf2LivCg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=7&sqi=2&ved=0CEsQ6AEwBg#v=onepage&q=%22Cubum%20autem%20in%20duos%20cubos,%20aut%20quadratoquadratum%22&f=false p. 341]</ref>
|}

بعد از مرگ فرما در ۱۶۶۵، فرزندش کلمنت-ساموئل فرما ویرایش جدیدی از آن کتاب را همراه با توضیحات پدرش در ۱۶۷۰ ایجاد نمود.<ref>Singh, pp. 62–66.</ref> گرچه که یادداشت حاشیه کتاب در آن زمان قضیه نبود (یعنی حکم ریاضیاتی بود بدون این که اثباتی برای آن موجود باشد)، به مرور زمان آن یادداشت به ''قضیه آخر فرما'' شهرت یافت،<ref name="Dickson, p. 731">Dickson, p. 731.</ref> چرا که آخرین قضیه از قضایای ادعایی فرما بود که اثبات نشده باقی ماند.<ref>Singh, p. 67; Aczel, p. 10.</ref>

معلوم نیست که آیا فرما واقعاً برای تمام توان‌های <math>n</math> اثبات قابل قبولی یافته بود یا نه، اما به نظر نمی‌رسد که چنین اثباتی را یافته باشد. تنها یک اثبات مرتبط با آن توسط او باقی مانده، این اثبات مربوط به حالت <math>n=4</math> است که در ادامه بدان می‌پردازیم. در حالی که فرما حالت‌های <math>n=3</math> و <math>n=4</math> را به عنوان چالشی برای همتایان ریاضیدان خود چون مارین مرسن، بلیز پاسکال و [[جان والیس]] ارائه نمود،<ref>Ribenboim, pp. 13, 24.</ref> هیچ‌گاه حالت کلی را مطرح نکرد.<ref>van der Poorten, Notes and Remarks 1.2, p. 5.</ref> به علاوه، در سی سال آخر زندگی اش، فرما هیچگاه مجدداً در مورد «اثبات واقعاً شگفت انگیز» ش از حالت کلی چیزی ننوشت و هیچ‌گاه آن را نیز منتشر نکرد. ون در پورتن<ref>van der Poorten, ''loc. cit.''</ref> معتقد است که چیزی که مهم است عدم وجود اثبات نیست، بلکه عدم چالش به معنای این است که فرما متوجه شده بود که اثباتی ندارد؛ او به نقل قول ویل<ref>{{cite book | author = André Weil | year = 1984 | title = Number Theory: An approach through history. From Hammurapi to Legendre | url = https://archive.org/details/numbertheoryappr00weil_475 | publisher = Birkhäuser | location = Basel, Switzerland | page = [https://archive.org/details/numbertheoryappr00weil_475/page/n123 104]| author-link = André Weil}}</ref> اشاره می‌کند آنجا که او گفت فرما باید کمی خود را نسبت به ایده‌ای غیرقابل حصول فریب داده باشد.

فنونی که فرما ممکن است از آن در چنان «اثبات شگفت انگیزی» استفاده کرده باشد شناخته شده‌اند.

اثبات تیلور و وایلز بر اساس فنون قرن بیستمی بنا نهاده شده‌است.<ref>{{cite av media|url=https://www.youtube.com/watch?v=Ua8K8HW2Qsg#t=47m|title=BBC Documentary|publisher=}}</ref> بر اساس دانش ریاضیات موجود در آن زمان، اثبات فرما باید در مقایسه با این فنون مدرن مقدماتی و ساده بوده باشد.

در حالی که حدس بزرگ هاروی فریدمن دلالت بر این دارد که هر قضیه قابل اثباتی (شامل آخرین قضیه فرما هم می‌شود) را می‌توان صرفاً با استفاده از 'حساب تابع مقدماتی' اثبات کرد، چنین اثباتی تنها از جنبه فنی ساده خواهد بود ولی ممکن است شامل میلیون‌ها مرحله باشد و لذا برای اثباتی که فرما پیدا کرده بود بیش از حد حجیم است.

=== اثبات توان‌های خاص ===
{{اصلی|اثبات قضیه آخر فرما برای توان‌های خاص}}

==== توان = ۴ ====
[[پرونده:Diophantus-VI-24-20-Fermat.png|بندانگشتی|نزول نامتناهی فرما برای حالت <math>n=4</math> قضیه آخر فرما در ویرایش ۱۶۴۰ از ''Arithmetica'' اثر دیوفانتوس (صفحات ۳۳۸–۳۳۹).]]
تنها یک اثبات مرتبط با قضیه آخر از فرما باقی مانده‌است که در آن او از تکنیک نزول نامتناهی استفاده کرده تا نشان دهد مساحت یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع صحیح هیچگاه نمی‌تواند برابر مربع یک عدد صحیح باشد.<ref>{{cite web|author=Freeman L|title=Fermat's One Proof|url=http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-one-proof.html|accessdate=23 May 2009}}</ref><ref>Dickson, pp. 615–616; Aczel, p. 44.</ref> اثبات او معادل این است که نشان دهیم معادله:

: <math>x^4+y^4=z^2</math>

هیچ جواب اولیه‌ای (هیچ جواب دو به دو متباین) در اعداد صحیح ندارد. در مقابل، این قضیه آخر فرما را در حالت <math>n=4</math> اثبات می‌کند چرا که <math>a^4+b^4=c^4</math> را می‌توان به صورت <math>a^4+b^4=(c^2)^2</math> نوشت.

سپس این افراد اثبات‌های دیگری برای حالت <math>n=4</math> ارائه نمودند:<ref>Ribenboim, pp. 15–24.</ref>

فرنیکل دو بسی (۱۶۷۶)،<ref>Frénicle de Bessy, ''Traité des Triangles Rectangles en Nombres'', vol. I, 1676, Paris. Reprinted in ''Mém. Acad. Roy. Sci.'', '''5''', 1666–1699 (1729).</ref> [[لئونارد اویلر]] (۱۷۳۸)،<ref name="Euler_1738">{{cite journal|author=Euler L|author-link=Leonhard Euler|year=1738|title=Theorematum quorundam arithmeticorum demonstrationes|journal=Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae|volume=10|pages=125–146}}. Reprinted ''Opera omnia'', ser. I, "Commentationes Arithmeticae", vol. I, pp. 38–58, Leipzig:Teubner (1915).</ref> کاوسلر (۱۸۰۲)،<ref name="Kausler_1802">{{cite journal | author = Kausler CF | year = 1802 | title = Nova demonstratio theorematis nec summam, nec differentiam duorum cuborum cubum esse posse | journal =Novi Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae | volume = 13 | pages = 245–253}}</ref> پیتر بارلو (۱۸۱۱)،<ref>{{cite book|author=Barlow P|year=1811|title=An Elementary Investigation of Theory of Numbers|location=St. Paul's Church-Yard, London|publisher=J. Johnson|pages=144–145|author-link=Peter Barlow (mathematician)}}</ref> [[آدرین-ماری لژاندر]] (۱۸۳۰)،<ref name="Legendre_1830">{{cite book | author = Legendre AM | year = 1830 | title = Théorie des Nombres (Volume II) | edition = 3rd | publisher = Firmin Didot Frères | location = Paris| author-link = Adrien-Marie Legendre}} Reprinted in 1955 by A. Blanchard (Paris).</ref> شوپیس (۱۸۲۵)،<ref>{{cite book|author=Schopis|year=1825|title=Einige Sätze aus der unbestimmten Analytik|publisher=Programm|location=Gummbinnen}}</ref> اولری ترکوئم (۱۸۴۶)،<ref>{{cite journal|author=Terquem O|author-link=Olry Terquem|year=1846|title=Théorèmes sur les puissances des nombres|journal=[[Nouvelles Annales de Mathématiques]]|volume=5|pages=70–87}}</ref> جوزف برتراند (۱۸۵۱)،<ref>{{cite book|author=Bertrand J|year=1851|title=Traité Élémentaire d'Algèbre|publisher=Hachette|location=Paris|pages=217–230, 395|author-link=Joseph Louis François Bertrand}}</ref> ویکتور لبگ (۱۸۵۳، ۱۸۵۹، ۱۸۶۲)،<ref>{{cite journal|author=Lebesgue VA|year=1853|title=Résolution des équations biquadratiques ''z''<sup>2</sup> = ''x''<sup>4</sup> ± 2<sup>''m''</sup>''y''<sup>4</sup>, ''z''<sup>2</sup> = 2<sup>''m''</sup>''x''<sup>4</sup> − ''y''<sup>4</sup>, 2<sup>''m''</sup>''z''<sup>2</sup> = ''x''<sup>4</sup> ± ''y''<sup>4</sup>|journal=[[Journal de Mathématiques Pures et Appliquées]]|volume=18|pages=73–86}}{{cite book|author=Lebesgue VA|year=1859|title=Exercices d'Analyse Numérique|publisher=Leiber et Faraguet|location=Paris|pages=83–84, 89}}{{cite book|author=Lebesgue VA|year=1862|title=Introduction à la Théorie des Nombres|publisher=Mallet-Bachelier|location=Paris|pages=71–73}}</ref> تئوفیل پپین (۱۸۸۳)،<ref>{{cite journal|author=Pepin T|year=1883|title=Étude sur l'équation indéterminée ''ax''<sup>4</sup> + ''by''<sup>4</sup> = ''cz''<sup>2</sup>|journal=Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Serie IX. Matematica e Applicazioni.|volume=36|pages=34–70}}</ref> تافلماخر (۱۸۹۳)،<ref>{{cite journal|author=A. Tafelmacher|year=1893|title=Sobre la ecuación ''x''<sup>4</sup> + ''y''<sup>4</sup> = ''z''<sup>4</sup>|journal=[[Anales de la Universidad de Chile]]|volume=84|pages=307–320|doi=10.5354/0717-8883.1893.20645|doi-broken-date=2019-08-20}}</ref> [[دیوید هیلبرت]] (۱۸۹۷)،<ref>{{cite journal|author=Hilbert D|author-link=David Hilbert|year=1897|title=Die Theorie der algebraischen Zahlkörper|journal=[[Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung]]|volume=4|pages=175–546}} Reprinted in 1965 in ''Gesammelte Abhandlungen, vol. I'' by New York:Chelsea.</ref> بندز (۱۹۰۱)،<ref>{{cite thesis|author=Bendz TR|year=1901|title=Öfver diophantiska ekvationen x<sup>n'</sup> + y<sup>n</sup> = z<sup>n</sup>|publisher=Almqvist & Wiksells Boktrycken|location=Uppsala}}</ref> گمبیولی (۱۹۰۱)،<ref name="Gambioli_1901">{{cite journal | author = Gambioli D | year = 1901 | title = Memoria bibliographica sull'ultimo teorema di Fermat | journal = Periodico di Matematiche | volume = 16 | pages = 145–192}}</ref> [[لئوپولد کرونکر|لیئوپولد کرونکر]] (۱۹۰۱)،<ref>{{cite book|author=Kronecker L|year=1901|title=Vorlesungen über Zahlentheorie, vol. I|publisher=Teubner|location=Leipzig|pages=35–38|author-link=Leopold Kronecker}} Reprinted by New York:Springer-Verlag in 1978.</ref> بنگ (۱۹۰۵)،<ref>{{cite journal|author=Bang A|year=1905|title=Nyt Bevis for at Ligningen ''x''<sup>4</sup> − ''y''<sup>4</sup> = ''z''<sup>4</sup>, ikke kan have rationale Løsinger|journal=Nyt Tidsskrift for Matematik|volume=16B|pages=31–35|jstor=24528323}}</ref> سومر (۱۹۰۷)،<ref>{{cite book|author=Sommer J|year=1907|title=Vorlesungen über Zahlentheorie|publisher=Teubner|location=Leipzig}}</ref> بوتاری (۱۹۰۸)،<ref>{{cite journal|author=Bottari A|year=1908|title=Soluzione intere dell'equazione pitagorica e applicazione alla dimostrazione di alcune teoremi della teoria dei numeri|journal=Periodico di Matematiche|volume=23|pages=104–110}}</ref> کارل ریشلیک (۱۹۱۰)،<ref name="Rychlik_1910">{{cite journal | author = Rychlik K | year = 1910 | title = On Fermat's last theorem for ''n''&nbsp;=&nbsp;4 and ''n''&nbsp;=&nbsp;3 (in Bohemian) | journal = Časopis Pro Pěstování Matematiky a Fysiky | volume = 39 | pages = 65–86| author-link = Karel Rychlík}}</ref> نوتژورن (۱۹۱۲)،<ref>{{cite journal|author=Nutzhorn F|year=1912|title=Den ubestemte Ligning ''x''<sup>4</sup> + ''y''<sup>4</sup> = ''z''<sup>4</sup>|journal=Nyt Tidsskrift for Matematik|volume=23B|pages=33–38}}</ref> رابرت کارمایکل (۱۹۱۳)،<ref>{{cite journal|author=Carmichael RD|author-link=Robert Daniel Carmichael|year=1913|title=On the impossibility of certain Diophantine equations and systems of equations|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1913-09_20_7/page/213|journal=[[American Mathematical Monthly]]|publisher=Mathematical Association of America|volume=20|issue=7|pages=213–221|doi=10.2307/2974106|jstor=2974106}}</ref> هانکوک (۱۹۳۱)،<ref>{{cite book|author=Hancock H|year=1931|title=Foundations of the Theory of Algebraic Numbers, vol. I|publisher=Macmillan|location=New York}}</ref> ورانسینو (۱۹۶۶)،<ref>{{cite journal|author=Vrǎnceanu G|year=1966|title=Asupra teorema lui Fermat pentru ''n''=4|journal=Gazeta Matematică Seria A|volume=71|pages=334–335}} Reprinted in 1977 in ''Opera matematica'', vol. 4, pp. 202–205, Bucureşti: Editura Academiei Republicii Socialiste România.</ref> گرنت و پرلا (۱۹۹۹)،<ref>Grant, Mike, and Perella, Malcolm, "Descending to the irrational", ''Mathematical Gazette'' 83, July 1999, pp. 263–267.</ref> باربارا (۲۰۰۷)،<ref>Barbara, Roy, "Fermat's last theorem in the case n=4", ''Mathematical Gazette'' 91, July 2007, 260–262.</ref> و دولان (۲۰۱۱).<ref>Dolan, Stan, "Fermat's method of ''descente infinie''", ''[[Mathematical Gazette]]'' 95, July 2011, 269–271.</ref>

== یادداشت‌ها ==
{{پانویس|group="یادداشت"|۲}}

== منابع ==
{{پانویس|۲|چپ‌چین=بله}}

== کتاب‌شناسی ==
{{چپ‌چین}}
{{refbegin}}
* {{Cite book|last=Aczel|first=Amir|authorlink=Amir Aczel|title=Fermat's Last Theorem: Unlocking the Secret of an Ancient Mathematical Problem|date=30 September 1996|publisher=Four Walls Eight Windows|isbn=978-1-56858-077-7|url=https://archive.org/details/fermatslasttheor00acz_pep}}
* {{Cite book | author = Dickson LE | year = 1919 | title = History of the Theory of Numbers. Volume II. Diophantine Analysis | publisher = Chelsea Publishing | location = New York | pages = 545–550, 615–621, 688–691, 731–776| author-link = Leonard Eugene Dickson}}
* {{Cite book | author = Edwards, HM | year = 1997 | title = Fermat's Last Theorem. A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory | publisher = Springer-Verlag | location = New York | series = Graduate Texts in Mathematics | volume = 50| author-link = Harold Edwards (mathematician)}}
* {{Cite book | last = Friberg | first = Joran | year = 2007 | title = Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics | publisher =World Scientific Publishing Company | isbn = 978-981-270-452-8}}
* {{Cite journal|author=Kleiner I |year=2000 |title=From Fermat to Wiles: Fermat's Last Theorem Becomes a Theorem |journal=[[Elemente der Mathematik]] |volume=55 |pages=19–37 |url=http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/kleiner.pdf |doi=10.1007/PL00000079 |dead-url=yes |archiveurl=https://www.webcitation.org/5rBbbEvIz?url=http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/kleiner.pdf |archivedate=13 July 2010 |df=dmy}}
* {{Cite book | author = Mordell LJ | year = 1921 | title = Three Lectures on Fermat's Last Theorem | publisher = Cambridge University Press | location = Cambridge| author-link = Louis Mordell}}
* {{Cite book | last = Panchishkin | first = Alekseĭ Alekseevich | year = 2007 | title = Introduction to Modern Number Theory (Encyclopedia of Mathematical Sciences | publisher =Springer Berlin Heidelberg New York | isbn = 978-3-540-20364-3}}
* {{Cite book | author = Ribenboim P | year = 2000 | title = Fermat's Last Theorem for Amateurs | publisher = Springer-Verlag | location = New York | isbn = 978-0-387-98508-4| author-link = Paulo Ribenboim}}
* {{Cite book | author = Singh S | title = Fermat's Enigma |date=October 1998 | publisher = Anchor Books | location = New York | isbn = 978-0-385-49362-8| author-link = Simon Singh | title-link = Fermat's Enigma}}
* {{Cite book | author = Stark H | year = 1978 | title = An Introduction to Number Theory | publisher = MIT Press | isbn = 0-262-69060-8 | url = https://archive.org/details/introductiontonu00star_0 | author-link = Harold Stark}}
{{refend}}
{{پایان چپ‌چین}}


== برای مطالعه بیشتر ==

*{{Cite book|last=پوستنيکوف|first=ميخائيل|authorlink=پوستنيکوف|title=آخرين قضيه فرما، ترجمه پرويز شهرياري|publisher=نشر ني|year=1379}}
* {{Cite book|last=سينگ|first=سايمون|authorlink=سايمون سينگ|title=آخرين قضيه فرما، ترجمه کامران بزرگزاد ايماني|publisher=واژه|url=https://www.vazheh.com/books/flt/%D8%A2%D8%AE%D8%B1%DB%8C%D9%86%20%D9%82%D8%B6%DB%8C%D9%87%20%D9%81%D9%90%D8%B1%D9%85%D8%A7#stcont|year=1397}}
* {{Cite book|last=ريبن‌بوييم|first=پائولو|authorlink=پائولو ريبن‌بوييم|title=آخرين قضيه فرما براي دوستگاران غيرحرفه‌اي، ترجمه مژگان محمودي، محمدمهدي ابراهيمي|publisher=دانشگاه بهشتي|year=1382}}
* {{Cite book|last=اکزل|first=امير |authorlink=امير اکزل|title=آخرين قضيه فرما: افشاي اسرار يک مسئله کهن رياضي، ترجمه مژگان محمودي، محمدمهدي ابراهيمي|publisher=دانشگاه بهشتي|year=1385}}

{{چپ‌چین}}
{{refbegin}}
* {{Cite book|last=Bell|first=Eric T.|title=The Last Problem|location=New York|isbn=978-0-88385-451-8|date=6 August 1998|publisher=The Mathematical Association of America|origyear=1961}}
* {{Cite book|last=Benson|first=Donald C.|title=The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-513919-8|date=5 April 2001}}
* {{Cite book|last=Brudner|first=Harvey J.|authorlink=Harvey J. Brudner|title=Fermat and the Missing Numbers|publisher=WLC, Inc|isbn=978-0-9644785-0-3|year=1994}}
* {{Cite book | last=Edwards|first=H. M. | title=Fermat's Last Theorem | publisher=Springer-Verlag | origyear=1977|date=March 1996| isbn=978-0-387-90230-2|location=New York}}
* {{Cite journal | author = Faltings G |date=July 1995 | url = http://www.ams.org/notices/199507/faltings.pdf|title=The Proof of Fermat's Last Theorem by R. Taylor and A. Wiles|journal=[[Notices of the American Mathematical Society]] |volume=42|issue=7|pages=743–746|issn=0002-9920|author-link=Gerd Faltings}}
* {{Cite book|last=Mozzochi|first=Charles | title=The Fermat Diary |url=https://archive.org/details/fermatdiary0000mozz| date=7 December 2000 | isbn=978-0-8218-2670-6|publisher=American Mathematical Society}}
* {{Cite book | author = Ribenboim P | year = 1979 | title = 13 Lectures on Fermat's Last Theorem | publisher = Springer Verlag | location = New York | isbn = 978-0-387-90432-0| author-link = Paulo Ribenboim}}
* {{Cite book|last=van der Poorten|first=Alf|title=Notes on Fermat's Last Theorem|url=https://archive.org/details/notesonfermatsla0000vand|date=6 March 1996|publisher=WileyBlackwell |isbn=978-0-471-06261-5}}
* {{Cite journal | last = Saikia | first = Manjil P | date = July 2011 | url = http://www.manjilsaikia.in/publ/projects/kummerFLT.pdf | title = A Study of Kummer's Proof of Fermat's Last Theorem for Regular Primes | journal = IISER Mohali (India) Summer Project Report | bibcode = 2013arXiv1307.3459S | arxiv = 1307.3459 | access-date = ۲ اکتبر ۲۰۱۹ | archive-url = https://web.archive.org/web/20150922030715/http://www.manjilsaikia.in/publ/projects/kummerFLT.pdf | archive-date = ۲۲ سپتامبر ۲۰۱۵ | dead-url = yes}}
* {{cite book |last=Stevens |first=Glenn |authorlink=Glenn H. Stevens |chapter=An Overview of the Proof of Fermat's Last Theorem |title=Modular Forms and Fermat's Last Theorem |location=New York |publisher=Springer |year=1997 |isbn=0-387-94609-8 |pages=1–16 |chapterurl=https://books.google.com/books?id=Va-quzVwtMsC&pg=PA1}}
{{refend}}
{{پایان چپ‌چین}}
{{پیر دو فرما}}

[[رده:قضیه آخر فرما]]
[[رده:حدس‌هایی که اثبات شده‌اند]]
[[رده:علم در ۱۶۳۷ (میلادی)]]
[[رده:قضیه فیثاغورس]]
[[رده:قضیه‌ها در نظریه اعداد]]
[[رده:معرفی‌شده‌های ۱۶۳۷ (میلادی)]]
[[رده:علم در ۱۹۹۵ (میلادی)]]
[[رده:ریاضیات در سده ۲۰ (میلادی)]]