نمایش مبدأ برای قانون متوازی الاضلاع

[[پرونده:Color parallelogram.svg|چپ|بندانگشتی|یک متوازی‌الأضلاع. اضلاع به رنگ آبی و قطرها به رنگ قرمز نمایش داده شده‌اند.]]
در [[ریاضیات]]، ساده‌ترین حالت از '''قانون متوازی‌الأضلاع''' (که به آن اتحاد متوازی‌الأضلاع نیز گفته می‌شود) متعلق به [[هندسه مسطحه]] مقدماتیست. این قانون بیان می‌دارد که جمع مربع چهار ضلع [[متوازی‌الأضلاع]] برابر جمع مربع اضلاع دو قطر آن است. ما اضلاع را با این نماد گذاری نمایش می‌دهیم: <math>AB, BC, CD, DA</math>. اما از آنجا که در، اضلاع مقابل هم در یک متوازی‌الأضلاع لزوماً با هم برابرند، یعنی <math>AB=CD</math> و <math>BC=DA</math>، این قانون را می‌توان به صورت زیر بیان نمود:

: <math>2AB^2+2BC^2=AC^2+BD^2\,</math>

اگر متوازی الاضلاع تبدیل به یک [[مستطیل]] گردد (چرا که مستطیل حالت خاصی از متوازی‌الأضلاع است)، طول دو قطر آن با هم برابر شده <math>AC=BC</math>، لذا در این حالت خواهیم داشت:

: <math>2AB^2+2BC^2=2AC^2\,</math>

که همان قضیه [[فیثاغورس|فیثاغورث]] است. برای [[چهارضلعی|چهار ضلعی]]‌های کلی تر که در آن‌ها اضلاع مقابل هم لزوماً موازی نیستند داریم:

: <math>AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4x^2,</math>

که در آن <math>x</math> طول پاره خط متصل کنندهٔ میانه‌های قطرهاست. می‌توان از شکل مشاهده کرد برای حالت متوازی‌الأضلاع، <math>x=0</math> بوده و اتحاد فوق در این حالت به همان قانون متوازی‌الأضلاع که ذکر آن رفت تبدیل می‌شود.

== اثبات ==
[[پرونده:Color parallelogram.svg|چپ|thumb]]
در متوازی‌الأضلاع سمت چپ، داریم: <math>AD=BC=a, AB=DC=b, \angle BAD = \alpha</math>. با استفاده از قانون کسینوس‌ها در مثلث <math>\bigtriangleup{BAD}</math>، بدست می‌آوریم:

<math>a^2+b^2-2ab\cos(\alpha)=BD^2</math>

در متوازی‌الأضلاع، زاویه‌های مجاور مکمل اند، لذا داریم <math>\angle ADC=180\deg - \alpha</math>. با استفاده از [[قانون کسینوس‌ها]] در مثلث <math>\bigtriangleup ADC</math> بدست می‌آوریم:

<math>a^2+b^2-2ab\cos(180^{\circ}-\alpha)=AC^2</math>

با اعمال اتحاد مثلثاتی <math>\cos(180^{\circ} - x) = -\cos x</math> به سمت چپ عبارت بالا، به معادلهٔ زیر می‌رسیم:

<math>a^2+b^2+2ab\cos(\alpha)=AC^2</math>

اکنون جمع مربعات <math>BD^2 + AC^2</math> برابر خواهد بود با:

<math>BD^2 + AC^2 = a^2 + b^2 -2ab\cos(\alpha) + a^2 + b^2 +2ab\cos(\alpha)</math>

که بعد از ساده‌سازی به عبارت زیر می‌رسیم:

<math>BD^2 + AC^2 = 2a^2 + 2b^2</math>

== منابع ==
{{پانویس}}
* {{یادکرد-ویکی
|پیوند = https://en.wikipedia.org/wiki/Parallelogram_law
|عنوان = Parallelogram Law
|زبان = انگلیسی}}

[[رده:هندسه اقلیدسی]]