نمایش مبدأ برای قانون سینوس‌ها

{{مثلثات}}
[[پرونده:Triangle with notations 2.svg|بندانگشتی|250px|چپ|یک مثلث دلخواه.]]

در [[مثلثات]]، '''قانون سینوس‌ها''' معادله‌ای است که میان طول ضلع هر مثلث دلخواه و زاویهٔ مقابل آن ضلع رابطه برقرار می‌کند؛ این قانون عبارت است از:

{{چپ‌چین}}
:<math> \frac{a}{\sin (\alpha)} = \frac{b}{\sin (\beta)} = \frac{c}{\sin (\gamma)} </math>
{{پایان چپ‌چین}}
که a و b و c به ترتیب ضلع‌های مثلث و <math>\alpha</math> و <math>\beta</math> و <math>\gamma</math> به ترتیب زاویه‌های مقابل به هر ضلع‌اند. هنگامی که دو زاویه و یک ضلع مثلث را داشته باشیم از قانون سینوس‌ها استفاده می‌کنیم تا طول ضلع‌های دیگر مثلث را بدست آوریم.

== پیشینه ==
قانون کروی سینوس‌ها در قرن ۱۰ میلادی کشف شد. این قانون را بیشتر به [[ابومحمود حامدبن خضر خجندی]]، [[ابوالوفای بوزجانی]]، [[خواجه نصیر طوسی]] و [[ابونصر منصور]]<ref name=Sesiano>Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (۲۰۰۰) «Islamic mathematics» pp. ۱۳۷ , page 157, in {{citation|title=Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics|first1=Helaine|last1=Selin|first2=Ubiratan|last2=D'Ambrosio|year=2000|publisher=[[اشپرینگر ساینس+بیزینس مدیا|Springer]]|isbn=1402002602}}</ref> نسبت می‌دهند.

[[الجیانی]] در قرن ۱۱ میلادی کتابی نوشت با عنوان «کتاب کمان‌های ناشناخته در کره» {{به انگلیسی|The book of unknown arcs of a sphere}} و در آن به معرفی کلی قانون سینوس‌ها پرداخت.<ref name="MacTutor Al-Jayyani">{{MacTutor|id=Al-Jayyani|title=Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani}}</ref> پس از او در قرن ۱۳ میلادی [[خواجه نصیر طوسی|خواجه نصیر الدین طوسی]] به بیان این قانون میان صفحه‌ها پرداخت. او در کتابی با عنوان انگلیسی ''On the Sector Figure'' قانون سینوس‌ها را برای صفحه‌ها و مثلث‌های کروی بیان کرد و برای قانونش اثبات‌هایی را ارائه کرد.<ref>{{cite book | first=J. Lennart | last=Berggren | title=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook | url=https://archive.org/details/mathematicsofegy0000unse | chapter=Mathematics in Medieval Islam | publisher=Princeton University Press | year=2007 | isbn=9780691114859 | page=[https://archive.org/details/mathematicsofegy0000unse/page/518 518]}}</ref>

== نمونه ==
در ادامه روش استفاده از قانون سینوس‌ها برای حل یک مسئله گفته شده‌است.

;نمونه:
اگر فرض کنیم: ضلع‌های ''a''&nbsp;=&nbsp;20 و ''c''&nbsp;=&nbsp;24 و زاویهٔ ''C''&nbsp;=&nbsp;40° باشد، با استفاده از قانون سینوس‌ها می‌توان نتیجه گرفت که:
{{چپ‌چین}}
:<math>\frac{\sin A}{20} = \frac{\sin 40^\circ}{24}.</math>

:<math> A = \arcsin\left(\frac{20\sin 40^\circ}{24} \right) \cong 32.39^\circ. </math>
{{پایان چپ‌چین}}
== رابطه با دایرهٔ محیطی مثلث ==
[[پرونده:Triangle_and_circumcircle_with_notations.png|بندانگشتی|263px||یک مثلث دلخواه محاط در دایره.]]
اگر داشته باشیم:
{{چپ‌چین}}
:<math>\,\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = \frac{abc}{2 S} = 2R</math>،
{{پایان چپ‌چین}}
مقدار تک تک کسرهایی که در قانون سینوس‌ها نوشته می‌شود برابر است با [[قطر (هندسه)|قطر]] دایرهٔ محیطی مثلث می‌توان نشان داد که این مقدار خود برابر است با:
{{چپ‌چین}}
:<math>\begin{align}
\frac{abc} {2S} & {} = \frac{abc} {2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} \\[6pt]
& {} = \frac {2abc} {\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}},
\end{align}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که در آن ''S'' مساحت مثلث است و ''p'' برابر با نصف محیط <math>p = \frac{a+b+c} {2}</math> می‌باشد. همچنین رابطهٔ <math>S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math> [[فرمول هرون]] بود که از آن در بالا استفاده شد.

=== حالت مبهم برای مثلث ===
وقتی از قانون سینوس‌ها استفاده می‌کنیم تا زاویه‌های یک مثلث را بدست آوریم، حالت‌هایی وجود دارند که ابهام برانگیزند و ما به جای یک جواب به دو جواب (دو مثلث) می‌رسیم.
<center>[[پرونده:Sine Law - Ambiguous Case.svg]]</center>
اگر ''ABC'' یک مثلث دلخواه باشد اگر شرایط زیر اتفاق افتد:
* اطلاعات ما دربارهٔ مثلث تنها زاویهٔ ''A'' و ضلع‌های ''a'' و ''b'' باشد.
* زاویهٔ ''A'' یک [[زاویهٔ تند]] باشد (کوچکتر از ۹۰ درجه).
* ضلع ''a'' کوچکتر از ضلع ''b'' باشد (''a <b'').
* ضلع ''a'' بزرگتر از ارتفاع [[مثلث راست‌گوشه]] با زاویهٔ ''A'' و وتر ''b'' باشد (''a> b sin A'').
اگر تمام شرط‌های بالا برقرار باشد، بسته به اینکه زاویهٔ ''B'' تند است یا باز، یکی از جواب‌های بدست آمده درست خواهد بود.
{{چپ‌چین}}
: <math>B = \arcsin {b \sin A \over a}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
یا
{{چپ‌چین}}
: <math>B= 180^\circ - \arcsin {b \sin A \over a}</math>
{{پایان چپ‌چین}}

==اثبات==
[[پرونده:Triangle with notations 2.svg|بندانگشتی|250px|راست||یک مثلث دلخواه.]]
بنابر شکل بالا و با استفاده از قانون مساحت مثلثات، داریم:
[[پرونده:PSX 20171209 214448.jpg|بندانگشتی|360px|چپ||اثبات.]]












== حالت کلی در فضای اقلیدوسی ==
[[چهاروجهی]] A<sub>۱</sub>A<sub>۲</sub>A<sub>۳</sub>A<sub>۴</sub> را در فضای اقلیدوسی در نظر بگیرید. در شکل مقابل اطلاعات مربوط به زاویه‌ها و ضلع مقابل به هر گوشه نشان داده شده‌است:
[[پرونده:Tetrahedron_with_faces_and_dihedral_angles.png|چپ|بندانگشتی|200px|گوشه‌ها و ضلع‌های چهاروجهی.]]
* <math>\,\mathrm S_k</math> ضلع مقابل به گوشهٔ <math>\,\mathrm A_k</math>.
* <math>\,\Delta_k</math> صفحه‌ای که <math>\,\mathrm S_k</math> بر روی آن قرار دارد.
* <math>\,\theta_{ij}</math> زاویهٔ میان دو سطح <math>\widehat{(\Delta_i, \Delta_j)}</math>.
{{پاک‌کن}}
سینوس زاویهٔ دو سطحی که بوسیلهٔ گوشهٔ ''A<sub>۱</sub>'' به وجود آمده به روش زیر بدست می‌آید:
{{چپ‌چین}}
* <math>\sin A_1 = \frac{\sqrt{1-\cos^2\theta_{23}-\cos^2\theta_{24}-\cos^2\theta_{34}-2\cos\theta_{23}\cos\theta_{24}\cos\theta_{34}}}{\sin\theta_{23}\sin\theta_{24}\sin\theta_{34}}</math> ;
{{پایان چپ‌چین}}
برای دیگر زاویه‌ها هم به روش بالا بدست می‌آید. بنابراین:
{{چپ‌چین}}
:<math> \frac{S_1}{\sin A_1} = \frac{S_2}{\sin A_2} = \frac{S_3}{\sin A_3} = \frac{S_4}{\sin A_4} = \frac{2S_1S_2S_3S_4}{9V}</math>،
{{پایان چپ‌چین}}
که در آن ''V'' حجم چهاروجهی است.<ref>{{یادکرد-ویکی
|پیوند = http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Loi_des_sinus&oldid=64086880
|عنوان = Loi des sinus
|زبان = فرانسه
|بازیابی = ۱۶ اوت ۲۰۱۱
}}
</ref>

== حالت کلی قانون سینوس‌ها در هندسهٔ نااقلیدوسی ==
[[پرونده:Spherical_triangle_with_notations.png|بندانگشتی|200px|مثلث کروی با ضلع‌های کاهش یافتهٔ ''a'' و ''b'' و ''c'' و زاویه‌های ''α'' و ''β'' و ''γ''.]]
برای صفحه‌ای در [[هندسه نااقلیدسی|هندسهٔ نااقلیدوسی]] با انحنای ''K'' و شعاع انحنای ''ρ''، خواهیم داشت که:
{{چپ‌چین}}
:<math>\,\rho = 1/\sqrt{|K|}</math>.
{{پایان چپ‌چین}}
حال ابعاد کاهش یافتهٔ مثلث از رابطه‌های زیر بدست می‌آید:
{{چپ‌چین}}
:<math>\,a = BC/\rho</math>،
:<math>\,b = AC/\rho</math>،
:<math>\,c = AB/\rho</math>.
{{پایان چپ‌چین}}
در حالتی که یک مثلث کروی داشته باشیم، اندازهٔ ''a'' و ''b'' و ''c'' برابر است با اندازهٔ زاویهٔ مقابل به کمان‌های بزرگ [BC] و [AC] و [AB] (شکل روبرو).

=== هندسهٔ کروی ===
در یک [[مثلثات کروی|مثلث کروی]] مانند ABC با شعاع ''ρ'' که بر روی کره‌ای با مرکز O کشیده شده‌است، قانون سینوس‌ها به صورت زیر نوشته می‌شود:
{{چپ‌چین}}
:<math>\frac{\sin a}{\sin\alpha} = \frac{\sin b}{\sin\beta} = \frac{\sin c}{\sin\gamma} = \frac{6 V_{\mathrm{OABC}}}{\rho^3\sin a\,\sin b\,\sin c} </math>،
{{پایان چپ‌چین}}
که در آن ''V''<sub>OABC</sub> حجم [[چهاروجهی]] OABC است و ''α'' و ''β'' و ''γ'' سه زاویهٔ تشکیل شده در مرکز کره‌اند

=== هندسهٔ هذلولوی ===
در [[هندسه هذلولوی|هندسهٔ هذلولوی]] هنگامی که انحنا ۱- باشد، قانون سینوس‌ها به صورت زیر نوشته می‌شود:
{{چپ‌چین}}
:<math>\frac{\sinh a}{\sin\alpha} = \frac{\sinh b}{\sin\beta} = \frac{\sinh c}{\sin\gamma}</math>.
{{پایان چپ‌چین}}
در حالت ویژه‌ای که زاویهٔ <math>\beta</math> راست‌گوشه (۹۰ درجه) باشد، خواهیم داشت:
{{چپ‌چین}}
:<math>\sin \gamma = \frac{\sinh c}{\sinh b} \,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
== منابع ==
* {{یادکرد-ویکی
|پیوند = http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Law_of_sines&oldid=441711370
|عنوان = Law of sines
|زبان = انگلیسی
|بازیابی = ۱۶ اوت ۲۰۱۱
}}
{{پانویس}}

== جستارهای وابسته ==
* [[فرمول‌های مهم مثلثات]]
* [[مثلثات]]
* [[قانون کسینوس‌ها]]
* [[قانون تانژانت‌ها]]

[[رده:زاویه]]
[[رده:قضایای هندسه مسطحه]]
[[رده:مثلثات]]
[[رده:مثلث‌ها]]