نمایش مبدأ برای فونون

[[پرونده:1D normal modes (280 kB).gif|بندانگشتی|275px|حرکت نوسانی اتمها در کریستال یک‌بعدی برای طول موجها و بسامدهای متفاوت]]
'''فونون''' یک [[کوانتوم]] انرژی است (مقایسه شود با [[فوتون]]). به '''برانگیزشِ گردآمدیِ''' (collective excitation) اتم‌ها در یک [[ساختار بلوری]] فونون می‌گویند. یا به بیانی ساده‌تر، نوسان‌های هماهنگ همه‌یِ اتم‌ها در یک ساختار بلوری را فونون می‌گویند. در [[مکانیک کوانتومی|فیزیک کوانتومی]] برای بیان این نوسان اتم‌ها در شبکه بلور از مفهوم [[شبه ذرات|شبه‌ذره]] بهره‌می‌جویند که فونون نام دارد.

در [[فیزیک ماده چگال]]، فونون نقش بسیار مهمی دارد و در بسیاری از خاصیتهای [[فیزیک حالت جامد|مواد جامد]] از جمله [[رسانایی گرمایی]] و [[رسانایی الکتریکی]] تأثیر گذار است.

فونون به عنوان شبه‌ذره یک [[بوزون]] است، یعنی از [[آمار بوز-اینشتین]] پیروی می‌کند.
فونون در شبکه دارای یک مفهوم فضایی غیرجایگزیده می‌باشد.<ref name=":0">Neil W. Ashcroft, N. D. Mermin (1976). ''Solid State Physics ,'' 1 edition, Brooks Cole. {{ISBN|978-0-03-083993-1|en}} (Hardcover).</ref>

فونون یک [[حالت برانگیخته]] در کوانتیزه [[مکانیک کوانتومی]] حالت‌های ارتعاشی برای ساختارهای الاستیک ذرات [[برهم‌کنش|برهم کنش]] است. در واقع، مشابه فوتون که [[نور|امواج نور]] را کوانتیده می‌کند، فونون [[امواج صوتی]] را کوانتیده می‌کند.<ref name=":1">{{cite book |last1=Girvin |first1=Steven M. |last2=Yang |first2=Kun |title=Modern Condensed Matter Physics |date=2019 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-1-107-13739-4 |pages=78–96}}</ref>

مفهوم فونون اولین بار در سال ۱۹۳۰ توسط یک فیزیکدان [[اتحاد جماهیر شوروی|شوروی]] به نام [[ایگور یوگنیویچ تام]] (به [[روسیه|روسی]]: Игорь Евгеньевич Тамм) معرفی شد. نام فونون توسط [[یعکوو فرنکل]] (به [[روسیه|روسی]]: Яков Ильич Френкель) پیشنهاد داده شد. این نام از واژه یونانی φωνή (phonē) برگرفته شده است که به معنای صدا یا صوت است. این نام بر تشبیه کلمه فوتون تأکید دارد، به طوری‌که فونون [[دوگانگی موج و ذره]] برای امواج صوتی را نشان می‌دهد، همان‌طور که فوتون برای امواج نور نشان می‌دهد. جامدات با بیش از یک اتم در کوچک‌ترین سلول واحد، فونون‌های صوتی و نوری را نشان می‌دهند.<ref name=":2">{{Cite book |last=Kozhevnikov |first=A. B. |url=https://archive.org/details/stalinsgreatscie0000kozh/mode/1up?q=tamm+phonon |title=Stalin's great science: the times and adventures of Soviet physicists |date=2004 |publisher=Imperial College Press |isbn=978-1-86094-419-2 |location=London |pages=64–69}}</ref>

== تعریف ==
فونون توصیف مکانیک کوانتومی یک حرکت ارتعاشی ابتدایی است که در آن شبکه‌ای از [[اتم]]‌ها یا [[مولکول]]‌ها به‌طور یکنواخت در یک فرکانس نوسان می‌کنند. در [[مکانیک کلاسیک]] این یک [[مد نرمال|مُد نرمال]] ارتعاش را مشخص می‌کند. حالت‌های معمولی مهم هستند زیرا هر ارتعاش شبکه دلخواه را می‌توان برهم‌نهی این حالت‌های ارتعاش ابتدایی در نظر گرفت (به [[آنالیز فوریه]] مراجعه کنید). در حالی که حالت‌های معمولی در مکانیک کلاسیک پدیده‌هایی موج‌مانند هستند، فونون‌ها نیز دارای خواص ذره‌مانندی هستند که به نوعی با دوگانگی موج-ذره مکانیک کوانتومی مرتبط است.<ref name=":3">{{cite book|last1=Simon|first1=Steven H.|title=The Oxford solid state basics|url=https://archive.org/details/oxfordsolidstate0000simo|date=2013|publisher=Oxford University Press|location=Oxford|isbn=978-0-19-968077-1|pages=[https://archive.org/details/oxfordsolidstate0000simo/page/n95 82]|edition=1st}}</ref>

== دینامیک شبکه ==
معادلات این بخش از بدیهیات مکانیک کوانتومی استفاده نمی‌کند بلکه در عوض از روابطی استفاده می‌کند که در مکانیک کلاسیک مطابقت مستقیمی با آن‌ها وجود دارد.
برای مثال: [[مشبکه (ترتیب)|شبکه]] یک جامد با [[ساختار کریستالی]] (نه [[جامد آمورف|آمورف]])
{{پاک‌کن}} از ''N'' ذره تشکیل شده است. این ذره‌ها ممکن است اتم باشند یا مولکول. ''N'' برای یک نمونه عادی از جامد عددی بزرگ است و برای مثال از مرتبه 10<sup>23</sup>  یا [[عدد آووگادرو]] است. از آنجایی که شبکه [[جسم صلب|صلب]] است، اتم‌ها باید به یکدیگر نیرو وارد کنند تا همدیگر را نزدیک به حالت تعادلی نگه دارند. این نیروها شامل نیروهای [[نیروی واندروالسی|وان در والسی]]، [[پیوند کووالانسی|کوالانسی]]، [[الکترواستاتیک|الکترواستاتیکی]] و... می‌باشد که همگی این‌ها به دلیل نیرو الکتریکی هستند. به طور کلی از نیروهای [[نیروی مغناطیسی|مغناطیسی]] و [[نیروی گرانشی|گرانشی]] صرف نظر می‌شود. نیرو بین هر جفت اتم می‌تواند با [[انرژی پتانسیل|انرژی پتانسیل]] ''V'' مشخص شود که به فاصله اتم‌ها بستگی دارد. انرژی پتانسیل کل شبکه، مجموع تمام انرژی‌های پتانسیل جفتی ضرب در ضریب 1/2 برای جبران شمارش مضاعف است. <ref name=":4">{{cite book
 | last = Krauth| first = Werner| title =Statistical mechanics: algorithms and computations 
 | publisher =Oxford University Press| date =April 2006| location =International publishing locations| pages =231–232 
 | url =https://books.google.com/books?id=EnabPPmmS4sC&q=Mechanics+of+particles+on+a+lattice&pg=RA1-PA231| isbn =978-0-19-851536-4}}</ref>
{{چپ‌چین}}
:<math>\frac12\sum_{i \neq j} V\left(r_i - r_j\right)</math>
{{پایان چپ‌چین}}

حل این مسئله چندجسمی به‌طور صریح در مکانیک کلاسیک یا کوانتومی دشوار است. برای ساده‌سازی مسئله، معمولاً دو تقریب مهم اعمال می‌شود. اول، جمع فقط بر روی اتم‌های همسایه انجام می‌شود. اگرچه نیروهای الکتریکی در جامدات واقعی تا بی‌نهایت گسترش می‌یابند، این تقریب همچنان معتبر است زیرا میدان‌هایی که توسط اتم‌های دورتر ایجاد می‌شوند به طور مؤثر خنثی می‌گردند. دوم، پتانسیل‌ها ''V'' به‌عنوان پتانسیل‌های هارمونیک در نظر گرفته می‌شوند. این امر در صورتی مجاز است که اتم‌ها نزدیک به موقعیت‌های تعادل خود باقی بمانند. به‌طور رسمی، این کار با [[بسط تیلور]] ''V'' در اطراف مقدار تعادل تا مرتبه درجه دوم انجام می‌شود، به طوری که ''V'' متناسب با جابه‌جایی ''x''<sup>2</sup> و نیروی الاستیک به‌سادگی متناسب با '' x '' می‌شود. خطای ناشی از نادیده گرفتن جملات با مرتبه بالاتر کوچک باقی می‌ماند اگر ''x '' به موقعیت تعادل نزدیک بماند.

شبکه‌ی حاصل را می‌توان به‌عنوان سیستمی از توپ‌هایی که با فنرها به هم متصل شده‌اند تصور کرد. شکل زیر یک شبکه مکعبی را نشان می‌دهد که مدل خوبی برای بسیاری از انواع جامدات بلوری است. سایر شبکه‌ها شامل زنجیره‌ی خطی هستند، که یک شبکه بسیار ساده است و به‌زودی از آن برای مدل‌سازی فونون‌ها استفاده خواهیم کرد. (برای مشاهده سایر شبکه‌های رایج، به [[ساختار بلوری]] مراجعه کنید.)
[[پرونده:Cubic.svg|بندانگشتی|جایگزین=ساختار کریستالی مکعبی ساده|ساختار کریستالی مکعبی ساده]]

حال انرژی پتانسیل شبکه می‌توان به شکل زیر نوشته شود:
{{چپ‌چین}}
:<math>\sum_{\{ij\} (\mathrm{nn})} \tfrac12 m \omega^2 \left(R_i - R_j\right)^2.</math>
{{پایان چپ‌چین}}

لازم به ذکر است که رویکرد ریاضی ارائه‌شده در اینجا بسیار ساده‌شده است تا برای غیرمتخصصان نیز قابل‌فهم باشد. این ساده‌سازی با استفاده از دو فرض اساسی در بیان انرژی پتانسیل کل کریستال حاصل شده است. این فرضیات عبارتند از: 
# انرژی پتانسیل کل را می‌توان به‌صورت مجموعی از برهم‌کنش‌های دوتایی نوشت.
# هر اتم فقط با همسایگان نزدیک خود تعامل دارد.
 
این فرضیات در دینامیک شبکه‌ای مدرن به ندرت استفاده می‌شوند.رویکرد عمومی‌تر این است که انرژی پتانسیل را بر حسب ثابت‌های نیرو بیان کنیم. به عنوان مثال، به مقاله [[ویکی‌پدیا]] درباره توابع گرین چندمقیاسی (به انگلیسی: Multiscale Green's function) مراجعه کنید.<ref name=":5">Maradudin, A.; Montroll, E.; Weiss, G.; Ipatova, I. (1971). ''Theory of lattice dynamics in the harmonic approximation''. Solid State Physics. Vol. Supplement 3 (Second ed.). New York: Academic Press.</ref>

===امواج شبکه===
[[File:Lattice wave.svg|200px|thumb|left|فونون در حال انتشار در یک شبکه مربعی (جابجایی اتم‌ها به‌شدت اغراق‌آمیز نشان داده شده است)]]
به دلیل ارتباط بین اتم‌ها، جابجایی یک یا چند اتم از موقعیت‌های تعادل خود باعث ایجاد مجموعه‌ای از امواج ارتعاشی می‌شود که از طریق شبکه انتشار می‌یابند. یکی از این امواج در شکل سمت چپ نشان داده شده است. دامنه موج با جابجایی اتم‌ها از موقعیت‌های تعادلشان تعیین می‌شود. [[طول موج|طول موج]] ''λ'' مشخص شده است.

یک طول موج حداقلی وجود دارد که برابر با دو برابر فاصله تعادل ''a'' بین اتم‌ها است. هر طول موجی کوتاه‌تر از این مقدار می‌تواند به دلیل تناوب شبکه به طول‌موجی بلندتر از 2''a'' نگاشت شود. این موضوع را می‌توان به‌عنوان نتیجه‌ای از [[قضیه نمونه‌برداری نایکوئیست–شنون|قضیه نمونه‌‌برداری نایکوئیست-شانون]] در نظر گرفت، به طوری که نقاط شبکه به‌عنوان "نقاط نمونه‌برداری" یک موج پیوسته مشاهده می‌شوند.

با این حال، هر ارتعاش ممکن در شبکه طول‌موج و فرکانس مشخصی ندارد. اما مُدهای نرمال دارای طول‌موج‌ها و فرکانس‌های مشخص هستند.

===شبکه یک بعدی===
برای ساده‌سازی تحلیل موردنیاز برای یک شبکه سه‌ بعدی از اتم‌ها، مدل‌سازی یک شبکه یک‌ بعدی یا زنجیره خطی مناسب است. این مدل به‌اندازه کافی پیچیده است تا ویژگی‌های اصلی فونون‌ها را نشان دهد.

====مداخله کلاسیک====
نیروهای بین اتم‌ها فرض می‌شود که خطی و همسایگی نزدیک باشند و توسط یک فنر الاستیک نمایش داده شوند. هر اتم فرض می‌شود که یک [[ذره نقطه‌ای]] باشد و هسته و الکترون‌ها به‌طور هماهنگ حرکت می‌کنند (قضیه آدیاباتیک):

{{چپ‌چین}}
::::::::''n'' − 1 {{pad|1em}} ''n'' {{pad|2em}} ''n'' + 1 {{pad|5em}} ← {{pad|1em}} ''a'' {{pad|1em}} →
···o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o···
::::::::→→{{pad|2em}}→{{pad|2em}}→→→
::::::::''u''<sub>''n'' − 1</sub>{{pad|2em}}''u<sub>n</sub>''{{pad|2em}}''u''<sub>''n'' + 1</sub>
{{پایان چپ‌چین}}
در اینجا {{mvar|n}} شماره‌ی اتم {{mvar|n}}-ام را از مجموع {{mvar|N}} اتم‌ها برچسب‌گذاری می‌کند، {{mvar|a}} فاصله بین اتم‌ها زمانی که زنجیره در تعادل است، و {{math|''u<sub>n</sub>''}} جابجایی اتم {{mvar|n}}-ام از موقعیت تعادل آن است.

اگر ''C'' ثابت الاستیک فنر و {{mvar|m}} جرم اتم باشد، آنگاه [[معادله حرکت]] اتم {{mvar|n}}-ام به صورت زیر است:
{{چپ‌چین}}
:<math>-2Cu_n + C\left(u_{n+1} + u_{n-1}\right) = m\frac{d^2u_n}{dt^2} .</math>
{{پایان چپ‌چین}}
این یک مجموعه معادلات مرتبط است.
از آنجا که انتظار می‌رود راه‌حل‌ها نوسانی باشند، مختصات جدیدی با استفاده از یک [[تبدیل فوریه گسسته]] تعریف می‌شود تا این معادلات از هم جدا شوند<ref name=":6">{{cite book|last=Mattuck |first=R. |title=A guide to Feynman Diagrams in the many-body problem|date=1976 |publisher=McGraw-Hill |isbn=9780070409545 |url=https://archive.org/details/guidetofeynmandi0000matt |url-access=registration }}</ref>:
{{چپ‌چین}}
:<math>u_n = \sum_{Nak/2\pi=1}^N Q_k e^{ikna}.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
اینجا، {{math|''na''}} به متغیر پیوسته {{mvar|x}} در [[نظریه میدان اسکالر]] مربوط می‌شود و به آن تبدیل می‌شود. {{math|''Q<sub>k</sub>''}} به عنوان ''مختصات نرمال'' برای مُدهای میدان پیوسته شناخته می‌شوند. 
<math>\phi_k = e^{ikna}</math> با <math>k = 2\pi j/(Na)</math> برای <math>j=1\dots N</math>.

جایگذاری در معادله حرکت، معادلات جداشده زیر را تولید می‌کند<ref name=":7">{{cite book  |title= Theoretical Mechanics of Particles and Continua|url= https://archive.org/details/theoreticalmecha0000fett| publisher=Dover Books on Physics |
  first1=Alexander|last1=Fetter|first2= John|  last2=Walecka |isbn= 978-0486432618| date=2003-12-16 }}</ref>:
{{چپ‌چین}}
<math> 2C(\cos {ka-1})Q_k = m\frac{d^2Q_k}{dt^2}.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
اینها معادلات برای [[نوسانگر هماهنگ|نوسان‌گرهای هماهنگ]] جداشده هستند که دارای راه‌حل زیر هستند:
{{چپ‌چین}}
:<math>Q_k=A_ke^{i\omega_kt};\qquad \omega_k=\sqrt{ \frac{2C}{m}(1-\cos{ka})}.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
هر مختصات نرمال ''Q<sub>k</sub>'' نمایانگر یک مُد ارتعاشی مستقل از شبکه با شماره موج {{mvar|k}} است که به آن مُد نرمال گفته می‌شود.

معادله دوم، برای {{math|''ω<sub>k</sub>''}}، به عنوان [[رابطه پاشش]] بین [[بسامد زاویه‌ای|فرکانس زاویه‌ای]] و شماره موج شناخته می‌شود.

در محدودیت پیوسته، {{چپ‌چین}}
{{mvar|a}}→0، {{mvar|N}}→∞
{{پایان چپ‌چین}} با ثابت نگه داشتن {{math|''Na''}}، {{math|''u<sub>n</sub>''}} → {{math|''φ''(''x'')}}، یک میدان اسکالر، و  <math> \omega(k)  \propto k a</math>. این به [[نظریه میدان نرده‌ای|نظریه میدان اسکالر]] آزاد کلاسیک تبدیل می‌شود، یک مجموعه از نوسان‌گرهای مستقل.

====مداخله کوانتومی====
یک زنجیره هارمونیکی یک‌ بعدی مکانیک کوانتومی شامل ''N'' اتم یکسان است. این ساده‌ترین مدل مکانیک کوانتومی از یک شبکه است که به فونون‌ها اجازه ظهور می‌دهد. فرموله‌سازی برای این مدل به راحتی قابل تعمیم به دو و سه بعد است.

در مقابل بخش قبلی، موقعیت‌های جرم‌ها نه با <math>u_i</math>، بلکه با <math>x_1,x_2,\dots</math> به‌عنوان اندازه‌گیری از موقعیت‌های تعادل آنها نمایش داده می‌شوند. (یعنی <math>x_i=0</math> اگر ذره <math>i</math> در موقعیت تعادل خود باشد.) در دو یا بیشتر بعد، <math>x_i</math> [[کمیت برداری|کمیت‌های برداری]] هستند. [[هامیلتونین (مکانیک کوانتومی)|همیلتونی]] این سیستم به‌صورت زیر است:
{{چپ‌چین}}
:<math>\mathcal{H} = \sum_{i=1}^N \frac{p_i^2}{2m} + \frac{1}{2} m\omega^2 \sum_{\{ij\} (\mathrm{nn})} \left(x_i - x_j\right)^2</math>
{{پایان چپ‌چین}}
در اینجا ''m'' جرم هر اتم است (با فرض اینکه برای همه یکسان است)، و ''x<sub>i</sub>'' و ''p<sub>i</sub>''ط به ترتیب عملگرهای موقعیت و [[تکانه]] برای اتم ''i''-ام هستند و جمع‌گیری بر روی نزدیک‌ترین همسایگان انجام می‌شود. با این حال، انتظار می‌رود که در یک شبکه، امواجی ظاهر شوند که مانند ذرات رفتار کنند. معمولاً با امواج در فضای فوریه کار می‌شود که از مُدهای نرمال با [[بردار موج]] به‌عنوان متغیرها به‌جای مختصات ذرات استفاده می‌کند. تعداد مُدهای نرمال برابر با تعداد ذرات است. با این حال، فضای فوریه به دلیل تناوب سیستم بسیار مفید است.

مجموعه‌ای از ''N'' "مختصات نرمال" ''Q<sub>k</sub>'' ممکن است معرفی شود که به‌عنوان تبدیل فوریه گسسته ''x<sub>k</sub>'' تعریف شده و ''N'' "تکانه‌های مزدوج" ''Π<sub>k</sub>'' که به‌عنوان تبدیل فوریه ''p<sub>k</sub>'' تعریف شده‌اند:  
{{چپ‌چین}}
:<math>\begin{align} Q_k &= \frac{1}\sqrt{N} \sum_{l} e^{ikal} x_l \\ \Pi_{k} &= \frac{1}\sqrt{N} \sum_{l} e^{-ikal} p_l. \end{align}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
کمیت ''k'' در نهایت به عنوان [[عدد موج]] فونون ظاهر می‌شود، یعنی 2{{pi}} تقسیم بر طول موج.

این انتخاب، روابط جابه‌جایی مورد نظر را هم در فضای واقعی و هم در فضای بردار موج حفظ می‌کند.
{{چپ‌چین}}
: <math> \begin{align} 
\left[x_l , p_m \right]&=i\hbar\delta_{l,m} \\ 
\left[ Q_k , \Pi_{k'} \right] &=\frac{1}N \sum_{l,m} e^{ikal} e^{-ik'am} \left[x_l , p_m \right] \\
 &= \frac{i \hbar}N \sum_{l} e^{ial\left(k-k'\right)} = i\hbar\delta_{k,k'} \\
\left[ Q_k , Q_{k'} \right] &= \left[ \Pi_k , \Pi_{k'} \right] = 0
\end{align}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
از نتایج عمومی:
{{چپ‌چین}}
: <math> \begin{align} 
\sum_{l}x_l x_{l+m}&=\frac{1}N\sum_{kk'}Q_k Q_{k'}\sum_{l} e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk'}= \sum_{k}Q_k Q_{-k}e^{iamk} \\ 
\sum_{l}{p_l}^2 &= \sum_{k}\Pi_k \Pi_{-k}
\end{align}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
انرژی پتانسیل:
{{چپ‌چین}}
: <math> \tfrac12 m \omega^2 \sum_{j} \left(x_j - x_{j+1}\right)^2= \tfrac12 m\omega^2\sum_{k}Q_k Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})= \tfrac12 \sum_{k}m{\omega_k}^2Q_k Q_{-k}</math>
:<math>\omega_k = \sqrt{2 \omega^2 \left( 1 - \cos{ka} \right)} = 2\omega\left|\sin\frac{ka}2\right|</math>
{{پایان چپ‌چین}}
همیلتونی را می‌توان در فضای بردار موج به صورت زیر نوشت:
{{چپ‌چین}}
:<math>\mathcal{H} = \frac{1}{2m}\sum_k \left( \Pi_k\Pi_{-k} + m^2 \omega_k^2 Q_k Q_{-k} \right)</math>
{{پایان چپ‌چین}}
اتصالات بین متغیرهای موقعیت حذف شده‌اند. اگر ''Q'' و ''Π'' [[عملگر خودالحاقی|هرمیتی]] بودند (که نیستند)، همیلتونی تبدیل‌یافته ''N'' نوسان‌گر هارمونیکی جدا از هم را توصیف می‌کرد.

شکل کوانتیزاسیون به انتخاب شرایط مرزی بستگی دارد؛ برای سادگی، شرایط مرزی تناوبی اعمال می‌شوند که در آن اتم (''N''&nbsp;+&nbsp;1)-ام معادل اتم اول تعریف می‌شود. از نظر فیزیکی، این به معنای اتصال زنجیره در دو سر آن است. کوانتیزاسیون حاصل به صورت زیر است: 
{{چپ‌چین}}
:<math>k=k_n = \frac{2\pi n}{Na} \quad \mbox{for } n = 0, \pm1, \pm2, \ldots \pm \frac{N}2 .\ </math>

{{پایان چپ‌چین}}
حد بالای ''n'' از حداقل طول موج ناشی می‌شود که برابر با دو برابر فاصله شبکه ''a'' است، همان‌طور که در بالا بحث شد.

[[مقادیر ویژه]] یا سطوح انرژی نوسان‌گر هارمونیکی برای مُد ''ω<sub>k</sub>'' به صورت زیر هستند: 
{{چپ‌چین}}
:<math>E_n = \left(\tfrac12+n\right)\hbar\omega_k \qquad n=0,1,2,3 \ldots</math>
{{پایان چپ‌چین}}
سطوح به صورت یکنواخت فاصله‌دار هستند به مقدار: 
{{چپ‌چین}}
:<math>\tfrac12\hbar\omega , \ \tfrac32\hbar\omega ,\ \tfrac52\hbar\omega \ \cdots</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که در آن {{sfrac|1|2}}''ħω'' [[انرژی نقطه صفر]] یک نوسان‌گر هارمونیکی کوانتومی است.

مقدار دقیقی از انرژی ''ħω'' باید به شبکه نوسان‌گر هارمونیکی اعمال شود تا به سطح انرژی بعدی برود. به‌طور مشابه با مورد فوتون در هنگام کوانتیده شدن [[میدان الکترومغناطیسی]]، کوانتوم انرژی ارتعاشی به نام فونون شناخته می‌شود.

همه سیستم‌های کوانتومی به‌طور همزمان ویژگی‌های موج‌گونه و ذره‌گونه را نشان می‌دهند. ویژگی‌های ذره‌گونه فونون با استفاده از روش‌های کوانتیده‌سازی دوم و تکنیک‌های عملگر که در ادامه توضیح داده می‌شوند، بهتر قابل درک هستند.<ref name=":8">{{cite book|last=Mahan|first=G. D.|title=Many-Particle Physics|publisher=Springer|location=New York|isbn=978-0-306-46338-9|year=1981}}</ref>

===شبکه سه بعدی===
این موضوع را می‌توان به یک شبکه سه‌بعدی تعمیم داد. عدد موج ''k'' جایگزین یک بردار موج سه‌بعدی '''k''' می‌شود. علاوه بر این، هر '''k''' اکنون با سه مختصات نرمال مرتبط است.

شاخص‌های جدید ''s'' = 1, 2, 3 [[قطبش (موج‌ها)|قطبش]] فونون‌ها را نشان می‌دهند. در مدل یک‌ بعدی، اتم‌ها به حرکت در طول خط محدود بودند، بنابراین فونون‌ها به امواج طولی مربوط می‌شدند. در سه بعد، ارتعاش به جهت انتشار محدود نیست و می‌تواند در صفحات عمود نیز رخ دهد، مانند امواج عرضی. این موضوع منجر به مختصات نرمال اضافی می‌شود که، همان‌طور که شکل همیلتونی نشان می‌دهد، می‌توان آن‌ها را به‌عنوان گونه‌های مستقل فونون‌ها در نظر گرفت.
== منابع ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}
{{ذرات بنیادی}}
{{داده‌های کتابخانه‌ای}}

[[رده:بوزون]]
[[رده:شبه ذرات]]
[[رده:فیزیک ماده چگال]]
[[رده:معرفی‌شده‌های ۱۹۳۲ (میلادی)]]