نمایش مبدأ برای فهرست سری‌های ریاضی

در این صفحه '''فهرست سری‌های ریاضی''' برای سری‌های هم‌گرا و واگرا را می‌یابید.

== حاصل‌جمع سری‌های توانی ==
{{آغاز چپ‌چین}}
*<math>\sum_{m=1}^n m = \frac{n(n+1)}{2}\,\!</math>
*<math>\sum_{m=1}^n m^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}  \,\!</math>
*<math>\sum_{m=1}^n m^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 = \frac{n^4}{4} + \frac{n^3}{2} + \frac{n^2}{4} = \left(\sum_{m=1}^n m\right)^2\,\!</math>
*<math>\sum_{m=1}^{n} m^{4} = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}=\frac{6 n^5+15 n^4+10 n^3-n}{30}\,\!</math>
*<math>\sum_{m=0}^n m^s = \frac{(n+1)^{s+1}}{s+1} + \sum_{k=1}^s\frac{B_k}{s-k+1}{s\choose k}(n+1)^{s-k+1}\,\!</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که <math>B_k\,</math> [[عدد برنولی]] <math>k\,</math>-اُم، و <math>B_1\,</math>  عددی منفی است.
{{آغاز چپ‌چین}}
*<math>\sum^{\infty}_{m=1} \frac{1}{m^2} = \frac{\pi^2}{6}\,\!</math>
*<math>\sum^{\infty}_{m=1} \frac{1}{m^4} = \frac{\pi^4}{90}\,\!</math>
*<math>\sum^{\infty}_{m=1} \frac{1}{m^{2n}} = (-1)^{n+1} \frac{B_{2n} (2\pi)^{2n}}{2(2n)!} </math>
*<math>\sum_{m=1}^\infty m^{-s} = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} = \zeta(s)\,\!</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که <math>\zeta(s)\,</math> [[تابع زتای ریمان]] است.

== سری‌های توانی ==

برای حالت‌های نامتناهی: <math>|x| < 1</math>
{{آغاز چپ‌چین}}<math>\sum_{m=0}^\infty x^m= \frac{1}{1-x}\,\!</math>
<math>\sum_{m=0}^n x^m = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} = 1+\frac{1}{r}\left(1-\frac{1}{(1+r)^n}\right)</math> که <math>r > 0</math> و <math>x=\frac{1}{1+r}.\,\!</math>

<math>\sum_{m=0}^\infty x^{2m}= \frac{1}{1-x^2}\,\!</math> 

<math>\sum_{m=1}^\infty m x^m = \frac{x}{(1-x)^2}\,\!</math>

<math>\sum_{m=1}^n m x^m = x\frac{1-x^n}{(1-x)^2} - \frac{n x^{n+1}}{1-x}\,\!</math>

<math>\sum_{m=1}^{\infty} m^2 x^m =\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}\,\!</math>

<math>\sum_{m=1}^n m^2 x^m = \frac{x(1+x-(n+1)^2x^n+(2n^2+2n-1)x^{n+1}-n^2x^{n+2})}{(1-x)^3} \,\!</math>

<math>\sum_{m=1}^{\infty} m^3 x^m =\frac{x(1+4x+x^2)}{(1-x)^4}\,\!</math>

<math>\sum_{m=1}^{\infty} m^4 x^m =\frac{x(1+x)(1+10x+x^2)}{(1-x)^5}\,\!</math>

<math>\sum_{m=1}^{\infty} m^k x^m = \operatorname{Li}_{-k}(x),\,\!</math>

{{پایان چپ‌چین}}
که <math>Li_s (x)</math> [[پلی‌لگاریتم]] ''x'' است.

=== سری‌های سادهٔ کسری ===
{{آغاز چپ‌چین}}
*<math>\sum^{\infty}_{m=1} \frac{x^m}m = \ln\left(\frac{1}{1-x}\right)</math> برای <math>|x| < 1 \!</math>
*<math>\sum^{\infty}_{m=0} \frac{(-1)^m}{2m+1} x^{2m+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots = \arctan(x)\,\!</math>
*<math>\sum^{\infty}_{m=0} \frac{x^{2m+1}}{2m+1} = \mathrm{arctanh} (x)</math> برای  <math>|x| < 1\,\!</math>
{{پایان چپ‌چین}}

=== سری‌های کسری فاکتوریلی ===
بسیاری از سری‌های توانی که از [[بسط تیلور]] به دست می‌آیند، [[ضریب|ضریب‌های]] [[فاکتوریل|فاکتوریلی]] دارند.
{{آغاز چپ‌چین}}
*<math>\sum^{\infty}_{m=0} \frac{x^m}{m!} = e^x</math>
*<math>\sum^{\infty}_{m=0} \frac{(-1)^m}{m!} x^{m} = \frac{1}{e^{x}} </math>
*<math>\sum^{\infty}_{m=0} m   \frac{x^m}{m!} = x e^x</math> ([[توزیع پواسون]])
*<math>\sum^{\infty}_{m=0} m^2 \frac{x^m}{m!} = (x + x^2) e^x</math> ([[مشتق دوم]] توزیع پواسون)
*<math>\sum^{\infty}_{m=0} m^3 \frac{x^m}{m!} = (x + 3x^2 + x^3) e^x</math>
*<math>\sum^{\infty}_{m=0} m^4 \frac{x^m}{m!} = (x + 7x^2 + 6x^3 + x^4) e^x</math>
*<math>\sum^{\infty}_{m=0} m^n \frac{x^m}{m!} = x \frac{d}{dx}\sum^{\infty}_{m=0} m^{n-1} \frac{x^m}{m!}</math>
*<math>\sum^{\infty}_{m=0} \frac{(-1)^m}{(2m+1)!} x^{2m+1}=  x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = \sin x </math>
*<math>\sum^{\infty}_{m=0} \frac{(-1)^m}{(2m)!} x^{2m} =  1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \cos x </math>
*<math>\sum^{\infty}_{m=0} \frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} = \sinh x </math>
*<math>\sum^{\infty}_{m=0} \frac{x^{2m}}{(2m)!} = \cosh x </math>

*<math>\sum^{\infty}_{m=0} \frac{(2m)!}{4^m (m!)^2 (2m+1)} x^{2m+1} = \arcsin x\quad\mbox{ for } |x| < 1\!</math>
*<math>\sum^{\infty}_{m=0} \frac{(-1)^m (2m)!}{4^m (m!)^2 (2m+1)} x^{2m+1} = \mathrm{arcsinh}(x) \quad\mbox{ for } |x| < 1\!</math>
*<math>\sum^{\infty}_{m=0} \frac{(4m)!}{16^m \sqrt{2} (2m)! (2m+1)!} x^m = \sqrt{\frac{1 - \sqrt{1-x}}{x}}</math> <ref name="gfo">[http://www.math.upenn.edu/~wilf/gfologyLinked2.pdf generatingfunctionology]</ref> 
*<math>\sum^{\infty}_{m=0} \frac{4^m (m)!^2}{(m+1) (2m+1)!} x^{2m} = \left( \frac{\arcsin{x}}{x} \right)^2 </math> <ref name="gfo"/> 
*<math>\sum^{\infty}_{m=0} \frac{\prod_{n=0}^{m-1}(4n^2+1)}{(2m)!} x^{2m} + \sum^{\infty}_{m=0} \frac{4^m \prod_{n=1}^{m}(\frac{1}{2}-n+n^2)}{(2m+1)!}  x^{2m+1} = e^{\arcsin{x}} </math> <ref name="gfo"/>
{{پایان چپ‌چین}}

=== سری‌های دوجمله‌ای ===
[[سری‌های هندسی]]:
{{آغاز چپ‌چین}}
*<math>
 (1+x)^{-1} = 
 \begin{cases} 
   \displaystyle  \sum_{m=0}^\infty (-x)^m     &  |x|<1  \\
   \displaystyle  \sum_{m=1}^\infty -(x)^{-m}  &  |x|>1  \\
 \end{cases}
</math>
{{پایان چپ‌چین}}

[[بسط دوجمله‌ای]]:
{{آغاز چپ‌چین}}
*<math> (a+x)^n =  \begin{cases}    \displaystyle \sum_{m=0}^\infty \binom{n}{m} a^{n-m} x^m  &  |x| \! < \! |a|  \\   \displaystyle \sum_{m=0}^\infty \binom{n}{m} a^m x^{n-m}  &  |x| \! > \! |a|  \\ \end{cases}</math>

*<math>(1+x)^\alpha = \sum_{m=0}^\infty {\alpha \choose m} x^m</math>
{{پایان چپ‌چین}}
برای تمام <math>|x| < 1</math> و تمام <math>\alpha\!</math>های مختلط
:عمومی‌شدهٔ [[ضریب دوجمله‌ای|ضریب‌های دوجمله‌ای]]
{{آغاز چپ‌چین}}
<math>{\alpha\choose n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\!</math>
{{پایان چپ‌چین}}

[[ریشه دوم|ریشهٔ دوم]]:
{{آغاز چپ‌چین}}
*<math>\sqrt{1+x} = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m(2m)!}{(1-2m)m!^24^m}x^m</math> برای <math>|x|<1\!</math>
{{پایان چپ‌چین}}

گوناگون:
{{آغاز چپ‌چین}}
* <ref name="ctcs">[http://www.tug.org/texshowcase/cheat.pdf Theoretical computer science cheat sheet]</ref> <math>\sum_{m=0}^\infty {m+n \choose m} x^m = \frac{1}{(1-x)^{n+1}}</math>
*<ref name="ctcs"/> <math>\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m+1}{2m \choose m} x^m = \frac{1}{2x}(1-\sqrt{1-4x})</math>
*<ref name="ctcs"/> <math>\sum_{m=0}^\infty {2m \choose m} x^m = \frac{1}{\sqrt{1-4x}}</math>
*<ref name="ctcs"/> <math>\sum_{m=0}^\infty {2m + n \choose m} x^m = \frac{1}{\sqrt{1-4x}}\left(\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\right)^n</math>
{{پایان چپ‌چین}}

=== عددهای برنولی ===
{{آغاز چپ‌چین}}
*<math> \sum_{m=0}^{\infty} \frac{B_m}{m!} x^m = \frac{x}{e^x-1} </math> <ref name="gfo"/>
*<math> \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-4)^m B_{2m}}{(2m)!} x^{2m} = x \cot{x} </math> <ref name="gfo"/>
*<math> \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1} 2^{2m} (2^{2m}-1) B_{2m}}{(2m)!} x^{2m-1} = \tan{x} </math> <ref name="gfo"/>
*<math> \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1} (4^m-2) B_{2m}}{(2m)!} x^{2m} = \frac{x}{\sin{x}} </math> <ref name="gfo"/>
{{پایان چپ‌چین}}

=== عددهای هارمونیک ===
{{آغاز چپ‌چین}}
*<math> \sum_{m=1}^{\infty} H_m x^m = \frac{\log{\frac{1}{1-x}}}{1-x} </math>
*<math> \sum_{m=2}^{\infty} \frac{H_{2m-1}}{m} x^m = \frac{1}{2} \left( \log{\frac{1}{1-x}} \right)^2 </math> <ref name="gfo"/>
*<math> \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1} H_{2m}}{2m+1} x^{2m+1} = \frac{1}{2} \arctan{x} \log{(1+x^2)} </math> <ref name="gfo"/>
*<math> \sum_{m=0}^{\infty} \frac{\sum_{n=0}^{2m} \frac{(-1)^n}{2n+1}}{4m+2} x^{4m+2} = \frac{1}{4} \arctan{x} \log{\frac{1+x}{1-x}} </math> <ref name="gfo"/>
{{پایان چپ‌چین}}

== ضریب‌های دوجمله‌ای ==
{{آغاز چپ‌چین}}
*<math>\sum_{m=0}^n {n \choose m} = 2^n</math>
*<math>\sum_{m=0}^n {n \choose m}a^{(n-m)} b^m = (a + b)^n</math>
*<math>\sum_{m=0}^n (-1)^i{n \choose m} = 0</math>
*<math>\sum_{m=0}^n {m \choose k} = { n+1 \choose k+1 }</math>
*<math>\sum_{m=0}^n {k+m \choose m} = { k + n + 1 \choose n }</math>
*<math>\sum_{m=0}^r {r \choose m}{s \choose n-m} = {r + s \choose n}</math>
{{پایان چپ‌چین}}

== تابع‌های مثلثاتی ==
برخی از [[سینوس|سینوس‌ها]] و [[کسینوس|کسینوس‌ها]] از [[سری فوریه]] به دست می‌آیند.
{{آغاز چپ‌چین}}
*<math>\sum_{m=1}^n \sin\left(\frac{m\pi}{n}\right) = 0</math>
*<math>\sum_{m=1}^n \cos\left(\frac{m\pi}{n}\right) = 0</math>
{{پایان چپ‌چین}}

== دسته‌بندی نشده ==
{{آغاز چپ‌چین}}
*<math>\sum_{m=b+1}^{\infty} \frac{b}{m^2 - b^2} = \frac{1}{2} H_{2b}</math>
*<math>\sum^{\infty}_{m=1} \frac{y}{m^2+y^2} = -\frac{1}{2y}+\frac{\pi}{2}\coth(\pi y)</math>
{{پایان چپ‌چین}}
== جستارهای وابسته ==
* [[سری (ریاضیات)]]
* [[فهرست‌های انتگرال‌ها]]
* [[سری تیلور]]
* [[بسط دوجمله‌ای]]
* [[سری گریگوری]]

== منابع ==
{{پانویس}}
{{یادکرد-ویکی
|پیوند = http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=List_of_mathematical_series&oldid=410801328
|عنوان = List of mathematical series
|زبان = انگلیسی
|بازیابی = ۲۴ فوریهٔ ۲۰۱۱
}}

[[رده:جداول ریاضیاتی]]
[[رده:حسابان]]
[[رده:ریاضیات مقدماتی]]
[[رده:سری‌های ریاضی]]
[[رده:فهرست‌های ریاضی]]