نمایش مبدأ برای فضای هیلبرت

[[پرونده:Standing waves on a string.gif|جایگزین=تجزیه ریسمان در حال ارتعاش|بندانگشتی|حالات ریسمان در حال ارتعاش را می‌توان به صورت نقطه ای در فضای هیلبرت مدل کرد. در اینجا تجزیهٔ ریسمان مرتعش به نوسانات فرعی متمایز نشان داده شده که در حقیقت تصویر نقطه بر روی محورهای مختصات در فضای هیلبرت است.]]

'''فضای هیلبرت''' {{به انگلیسی|Hilbert Space}} که به‌افتخار [[داویت هیلبرت]] نام‌گذاری شده، مفهوم [[فضای اقلیدسی]] را تعمیم می‌دهد. این فضا، روش‌های جبر برداری و [[حسابان]] را از صفحه اقلیدسی دو بعدی و فضای اقلیدسی سه بعدی، به فضاهایی با هر تعداد بُعد، [[مجموعه متناهی|متناهی]] یا [[مجموعه نامتناهی|نامتناهی]]، گسترش می‌دهد. یک فضای هیلبرت، [[فضای برداری]] مجردی (به انگلیسی: abstract، انتزاعی) است که دارای [[ضرب داخلی]] بوده و اندازه‌گیری فاصله در آن، ممکن است. افزون‌بر این، فضای هیلبرت، [[فضای متریک کامل|کامل]] است.

فضاهای هیلبرت، به‌شکل فضای بی‌نهایت‌بُعدی توابع در [[ریاضیات]] و [[فیزیک]]، بسیار ظاهر می‌شوند. ازین نظر، نخستین فضاهای هیلبرت، دههٔ نخست قرن بیستم از سوی [[دیوید هیلبرت|داویت هیلبرت]]، [[ارهارد اشمیت|اِرهارد اشمیت]] و [[فریدیش ریس]] مطالعه شدند. این فضاها، ابزارهای ضروری در معادلات مشتقات جزئی، [[مکانیک کوانتومی]]، [[آنالیز فوریه|تحلیل فوریه]] (که شامل کاربردهای آن در [[پردازش سیگنال]] و [[انتقال گرما|انتقال حرارت]] می‌شود) و [[نظریه ارگودیک]] (که زیربنای ریاضی [[ترمودینامیک]] است) هستند. [[جان فون نویمان]]، عبارت «فضای هیلبرت» را در مفهومی انتزاعی، که کاربردهای گسترده‌ای داشت، پیش نهاد.

فضاهای هیلبرت راه را برای عصر پرثمر [[آنالیز تابعی]] هموار کرد. در کنار فضاهای اقلیدسی کلاسیک، نمونه‌هایی از فضاهای هیلبرت، شامل فضاهای توابع مربع-انتگرال‌پذیر، فضاهای دنباله‌ای، فضاهای سوبولف شامل توابع تعمیم‌یافته و فضاهای هاردی از توابع هولومورفیک می‌شود.

[[شهودگرایی ریاضی|شهود]] [[هندسه|هندسی]] نقش مهمی در بسیاری از جنبه‌های فضای هیلبرت بازی می‌کند. مشابه‌های دقیقی از [[قضیه فیثاغورس|قضیه فیثاغورث]] و قانون [[متوازی‌الاضلاع|متوازی‌الأضلاع]]، در فضای هیلبرت نیز هستند. در نگاهی عمیق‌تر، تصویرکردن متعامد روی زیرفضاها (مشابه [[ارتفاع (مثلث)|ارتفاع مثلث]]‌ها) نقش مهمی در [[بهینه‌سازی]] و دیگر جنبه‌های آن، بازی می‌کند. در مقایسه با [[دستگاه مختصات دکارتی|مختصات کارتزین]] در صفحه، یک عنصر از یک فضای هیلبرت را می‌توان منحصربه‌فرد از راه مختصات و با توجه به مجموعه‌ای از محورهای مختصات (یک پایه متعامد نرمال) مشخص کرد. وقتی مجموعهٔ محورها نامتناهی شمارا باشند، فضای هیلبرت را می‌توان به صورت دنبالهٔ نامتناهی که مربع-جمع پذیر هستند تصور کرد. در قدیم، این‌گونه فضاها را، فضای هیلبرت در نظر می‌گرفتند. عملگرهای خطی روی یک فضای هیلبرت نیز نسبتاً ملموس هستند؛ در برخی موارد، این عملگرها تبدیلات ساده‌ای هستند که فضا را در جهت‌های دوبه‌دو متعامد با ضریب‌های متفاوت می‌کِشند، به‌گونه‌ای‌که با مطالعه طیفشان، می‌توان آن‌ها را دقیق‌تر شناخت.

== تاریخچه ==
[[پرونده:Hilbert.jpg|بندانگشتی|[[داوید هیلبرت|داویت هیلبرت]]]]
پیش‌از توسعهٔ فضاهای هیلبرت، تعمیم‌های دیگری از [[فضای اقلیدسی|فضاهای اقلیدسی]] نیز بودند که ریاضی‌دانان و فیزیک‌دانان با آن‌ها آشنا بودند. به‌ویژه، ایدهٔ فضای خطی مجرد، تا پایان قرن نوزدهم، توجه ریاضی‌دانان را برانگیخته‌بود:<ref>Largely from the work of [[هرمان گراسمان|Hermann Grassmann]], at the urging of [[آگوست فردینانند موبیوس|August Ferdinand Möbius]] {{harv|Boyer|Merzbach|1991|pp=584–586}}. The first modern axiomatic account of abstract vector spaces ultimately appeared in [[جوزپه پئانو|Giuseppe Peano]]'s 1888 account ({{harvnb|Grattan-Guinness|2000|loc=§5.2.2}}; {{harvnb|O'Connor|Robertson|1996}}).</ref> این‌ها فضاهایی هستند که عناصرشان را می‌توان با هم جمع کرده و [[کمیت نرده‌ای|اسکالرها]] را در آن‌ها ضرب کرد (اسکالرهای [[عدد حقیقی|حقیقی]] یا [[عدد مختلط|مختلط]]) بی‌این‌که لزوماً این عناصر، مفهومی بیرونی چون بردارهای «هندسی» مکان و گشتاور در فیزیک داشته‌باشند. دیگر چیزهای (به انگلیسی: objects) مطالعه‌شده از سوی ریاضی‌دانان در آغاز [[سده ۲۰ (میلادی)|قرن بیستم]]، به‌ویژه فضای دنباله‌ای (شامل سری‌ها) و فضای توابع<ref>A detailed account of the history of Hilbert spaces can be found in {{harvnb|Bourbaki|1987}}.</ref> را می‌توان فضاهای خطی در نظر گرفت. برای نمونه، می‌توان توابع را با هم جمع کرده یا در اسکالر ضرب کرد، و این عملیات از قوانین جبری جمع و ضرب اسکالر بردارها پیروی می‌کنند.

پیشرفت‌های هم‌زمان در دهه اول قرن بیستم میلادی، به معرفی فضاهای هیلبرت انجامیدند. نخستین آن‌ها، هنگام مطالعات [[داوید هیلبرت|داویت هیلبرت]] و [[ارهارد اشمیت]] در معادلات انتگرالی روی نمود<ref>{{harvnb|Schmidt|1908}}</ref> و چنین بود: ضرب داخلی دو [[تابع حقیقی]] <math>\mathrm{f}</math> و <math>\mathrm{g}</math> روی بازه <math>[a, b]</math>، چنین تعریف می‌شود:
: <math>\langle f, g \rangle = \int_a^b f(x)g(x)\, \mathrm{d}x</math>
این ضرب داخلی بسیاری از خواص آشنای ضرب داخلی در فضای اقلیدسی را داراست. به‌ویژه، ایدهٔ توابع معامد نیز این‌جا معنا پیدا می‌کند. اشمیت شباهت این ضرب داخلی با ضرب داخلی معمولی را به‌کار گرفت تا مشابه تجزیه طیفی یک عملگر به شکل:
: <math>f(x) \mapsto \int_a^b K(x, y) f(y)\, \mathrm{d}y</math>
که در آن <math>\mathrm{K}</math> یک [[تابع پیوسته]] و متقارن با متغیرهای <math>\mathrm{x}</math> و <math>\mathrm{y}</math> هست را ثابت کند. نتیجهٔ کار او، بسط توابع ویژه است که تابع <math>\mathrm{K}</math> را به‌صورت یک سری، چنین درمی‌آورد:
: <math>K(x, y) = \sum_n \lambda_n\varphi_n(x)\varphi_n(y)</math>
که در آن <math>\varphi _{n}</math>‌ها متعامد هستند یعنی <math>\langle \varphi _{n}, \varphi _{n} \rangle = 0</math> برای تمام <math>n \neq m</math>‌ها. گاهی هر کدام از جملات این سری را جواب‌های ضرب ابتدایی گویند. با این حال، بسط توابع ویژه‌ای هم یافت می‌شوند که به‌شکل مناسبی به تابع مربع-انتگرال‌پذیری همگرا نباشند؛ لذا عنصر مفقوده ای که از وجود شرط همگرایی اطمینان حاصل می‌کند همان خاصیت کامل بودن فضاست.<ref>{{harvnb|Titchmarsh|1946|loc=§IX.1}}</ref>

== جستارهای وابسته ==
* [[آنالیز تابعی]]
* [[فضای باناخ]]

== پانویس ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
{{Refbegin|colwidth=30em}}
* {{Citation | last1=Bachman | first1=George | last2=Narici | first2=Lawrence | last3=Beckenstein | first3=Edward | title=Fourier and wavelet analysis | publisher= Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=Universitext | isbn=978-0-387-98899-3 | mr=1729490 | year=2000}}.
* {{citation|title=Partial differential equations|first=Lipman|last= Bers|authorlink=Lipman Bers|first2=Fritz|last2= John|authorlink2=Fritz John|first3= Martin|last3= Schechter|publisher= American Mathematical Society|year=1981|isbn=978-0-8218-0049-2}}.
* {{citation|first=Nicolas|last=Bourbaki|authorlink=Nicolas Bourbaki|title=Spectral theories|series=Elements of mathematics|publisher= Springer-Verlag|location=Berlin|year=1986|isbn=978-0-201-00767-1}}.
* {{citation|first=Nicolas|last=Bourbaki|authorlink=Nicolas Bourbaki|title=Topological vector spaces|series=Elements of mathematics|publisher= Springer-Verlag|location=Berlin|year=1987|isbn=978-3-540-13627-9}}.
* {{citation|authorlink1=Carl Benjamin Boyer|last1=Boyer|first1=Carl Benjamin|last2=Merzbach|first2=Uta C|author2-link=Uta Merzbach|year=1991|title=A History of Mathematics|edition=2nd|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|isbn=978-0-471-54397-8|url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye}}.
* {{citation|first1=S.|last1=Brenner|first2=R. L.|last2=Scott|title=The Mathematical Theory of Finite Element Methods|edition=2nd|publisher=Springer|year=2005|isbn=978-0-387-95451-6}}.
* {{Citation | last1=Buttazzo | first1=Giuseppe | last2=Giaquinta | first2=Mariano | last3=Hildebrandt | first3=Stefan | title=One-dimensional variational problems | publisher=The Clarendon Press Oxford University Press | series=Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications | isbn=978-0-19-850465-8 | mr=1694383 | year=1998 | volume=15}}.
* {{citation|first=J. A.|last=Clarkson|title=Uniformly convex spaces|journal=Trans. Amer. Math. Soc.|volume=40|year=1936|pages=396–414|doi=10.2307/1989630|issue=3|jstor=1989630}}.
* {{citation|first=Richard|last=Courant|authorlink=Richard Courant|first2=David|last2=Hilbert|authorlink2=David Hilbert|title=Methods of Mathematical Physics, Vol. I|publisher=Interscience|year=1953}}.
* {{citation| first = Jean| last = Dieudonné| authorlink=Jean Dieudonné|title= Foundations of Modern Analysis|publisher = Academic Press| year= 1960}}.
* {{citation|first=P.A.M.|last=Dirac|authorlink=Paul Dirac|title=Principles of Quantum Mechanics |publisher=Clarendon Press|location=Oxford|year=1930|title-link=Principles of Quantum Mechanics}}.
* {{citation|first1=N.|last1=Dunford|first2=J.T.|last2=Schwartz|authorlink2=Jacob T. Schwartz|title=Linear operators, Parts I and II|publisher=Wiley-Interscience|year=1958}}.
* {{citation|first=P.|last= Duren|title=Theory of H<sup>p</sup>-Spaces|year=1970|publisher= Academic Press|location= New York}}.
<!--*{{Citation | last1=Feintuch | first1=Avraham | last2=Saeks | first2=Richard | title=System theory | publisher=Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers] | location=London | series=Pure and Applied Mathematics | isbn=978-0-12-251750-1 | mr=663906 | year=1982 | volume=102}}. -->
* {{citation |title=Fourier analysis and its application |first=Gerald B.|last=Folland |url=https://books.google.com/books?as_isbn=0-8218-4790-2 |isbn=978-0-8218-4790-9 |publisher=American Mathematical Society Bookstore |year=2009 |edition=Reprint of Wadsworth and Brooks/Cole 1992}}.
* {{citation|first=Gerald B.|last=Folland|title=Harmonic analysis in phase space|series=Annals of Mathematics Studies|volume= 122|publisher=Princeton University Press|year= 1989|isbn= 978-0-691-08527-2}}.
* {{citation|first=Maurice|last=Fréchet|title=Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires|journal=C. R. Acad. Sci. Paris|volume=144|pages=1414–1416|year=1907}}.
* {{citation|first=Maurice|last=Fréchet|title=Sur les opérations linéaires|year=1904–1907}}.
* {{citation|first=Enrico|last=Giusti|title=Direct Methods in the Calculus of Variations|publisher=World Scientific|year=2003|isbn=978-981-238-043-2}}.
* {{Citation | last1=Grattan-Guinness | first1=Ivor | title=The search for mathematical roots, 1870–1940 | publisher=[[Princeton University Press]] | series=Princeton Paperbacks | isbn=978-0-691-05858-0 | mr=1807717 | year=2000}}.
* {{citation| last =Halmos| first =Paul| authorlink=Paul Halmos|title=Introduction to Hilbert Space and the Theory of Spectral Multiplicity|year=1957|
publisher=Chelsea Pub. Co}}
* {{citation| last=Halmos|first=Paul|authorlink=Paul Halmos|title=A Hilbert Space Problem Book|year=1982|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-90685-0}}.
* {{citation| last = Hewitt| first = Edwin| last2 = Stromberg| first2 = Karl| title = Real and Abstract Analysis| year = 1965| publisher = Springer-Verlag| location = New York}}.
* {{citation| last1=Hilbert| first1=David| authorlink1 = David Hilbert| last2=Nordheim| first2 = Lothar (Wolfgang)| authorlink2= Lothar Nordheim| last3= von Neumann| first3= John|authorlink3= John von Neumann| title = Über die Grundlagen der Quantenmechanik| url=http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?ht=VIEW&did=D27779| journal = Mathematische Annalen| volume = 98| pages = 1–30| year = 1927| doi=10.1007/BF01451579}}{{dead link|date=July 2016}}.
* {{citation|first=Mark|last=Kac|authorlink=Mark Kac|title=Can one hear the shape of a drum?|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=73|issue=4, part 2|year=1966|pages=1–23|doi=10.2307/2313748|jstor=2313748}}.
* {{Citation | last1=Kadison | first1=Richard V. | last2=Ringrose | first2=John R. | title=Fundamentals of the theory of operator algebras. Vol. I | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Graduate Studies in Mathematics | isbn=978-0-8218-0819-1 | mr=1468229 | year=1997 | volume=15}}.
<!--* {{citation| title = Элементы теории функций и функционального анализа| last1 = Колмогоров| first1 = А. Н.| authorlink1 = Andrey Kolmogorov| last2= Фомин|first2= С. В.| authorlink2 = Sergei Fomin| year = 1989| edition = sixth Russian (with corrections)| publisher = "Nauka", Moscow| isbn= 5-02-013993-9}}. -->
* {{Citation | last1=Kakutani | first1=Shizuo | author1-link=Shizuo Kakutani | title=Some characterizations of Euclidean space | mr=0000895 | year=1939 | journal=Japanese Journal of Mathematics | volume=16 | pages=93–97}}.
* {{Citation | last1=Kline | first1=Morris | author1-link=Morris Kline | title=Mathematical thought from ancient to modern times, Volume 3 | year=1972 | publisher=[[Oxford University Press]] | edition=3rd | isbn=978-0-19-506137-6 | publication-date=1990 | url=https://archive.org/details/mathematicalthou00morr}}.
* {{citation| title = Introductory Real Analysis| last1 = Kolmogorov| first1 = Andrey| authorlink1 = Andrey Kolmogorov| last2 = Fomin| first2 = Sergei V.| authorlink2 = Sergei Fomin| year = 1970| edition = Revised English edition, trans. by Richard A. Silverman (1975)| publisher = Dover Press| isbn = 978-0-486-61226-3| url = https://archive.org/details/introductoryreal00kolm_0}}.
* {{Citation | last1=Krantz | first1=Steven G. | authorlink=Steven Krantz|title=Function Theory of Several Complex Variables | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-2724-6 | year=2002}}.
* {{citation |title=Applied analysis |first=Cornelius|last=Lanczos|isbn=978-0-486-65656-4 |publisher=Dover Publications |year=1988 |edition=Reprint of 1956 Prentice-Hall |url=https://books.google.com/books?as_isbn=0-486-65656-X}}.
* {{Citation | last1=Lindenstrauss | first1=J. | last2=Tzafriri | first2=L. | title=On the complemented subspaces problem | mr=0276734 | year=1971 | journal=Israel Journal of Mathematics | issn=0021-2172 | volume=9 | pages=263–269 | doi=10.1007/BF02771592 | issue=2}}.
* {{MacTutor|class=HistTopics|id=Abstract_linear_spaces|title=Abstract linear spaces|date=1996}}.
* {{citation|first=Henri|last=Lebesgue|title=Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives|url=https://books.google.com/?id=VfUKAAAAYAAJ&dq=%22Lebesgue%22%20%22Leçons%20sur%20l%27intégration%20et%20la%20recherche%20des%20fonctions%20...%22&pg=PA1#v=onepage&q=|year=1904|publisher=Gauthier-Villars}}.
* {{springer|id=H/h047380|title=Hilbert space|author=B.M. Levitan}}.
* {{Citation | last1=Marsden | first1=Jerrold E. | author1-link=Jerrold E. Marsden | title=Elementary classical analysis | publisher=W. H. Freeman and Co. | mr=0357693 | year=1974}}.
* {{citation| last=von Neumann| first=John| authorlink=John von Neumann| title=Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren| journal=Mathematische Annalen| volume = 102| pages = 49–131| year = 1929| doi=10.1007/BF01782338}}.
* {{citation|first=John|last=von Neumann|authorlink=John von Neumann|title=Physical Applications of the Ergodic Hypothesis|year=1932|journal=Proc Natl Acad Sci USA|volume=18|pages=263–266|doi=10.1073/pnas.18.3.263|pmid=16587674|issue=3|pmc=1076204|jstor=86260|bibcode = 1932PNAS...18..263N}}.
* {{Citation | last1=von Neumann | first1=John | author1-link=John von Neumann | title=Mathematical Foundations of Quantum Mechanics | publisher=[[Princeton University Press]] | series=Princeton Landmarks in Mathematics | isbn=978-0-691-02893-4 | mr=1435976 | publication-date=1996|year=1932| title-link=Mathematical Foundations of Quantum Mechanics}}.
* {{citation| last=Prugovečki|first=Eduard|title=Quantum mechanics in Hilbert space|publisher=Dover|edition=2nd|year=1981|publication-date=2006|isbn=978-0-486-45327-9}}.
* {{citation|first=Michael|last=Reed|authorlink=Michael C. Reed|first2=Barry|last2=Simon|authorlink2=Barry Simon|series=Methods of Modern Mathematical Physics|title=Functional Analysis|publisher=Academic Press|year=1980|isbn= 978-0-12-585050-6}}.
* {{citation|first=Michael|last=Reed|authorlink=Michael C. Reed|first2=Barry|last2=Simon|authorlink2=Barry Simon|title=Fourier Analysis, Self-Adjointness|series=Methods of Modern Mathematical Physics|publisher=Academic Press|year=1975|isbn=978-0-12-585002-5}}.
* {{citation| first=Frigyes|last=Riesz|authorlink=Frigyes Riesz|title=Sur une espèce de Géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables|journal=C. R. Acad. Sci. Paris|volume=144|pages=1409–1411|year=1907}}.
* {{citation|first=Frigyes|last=Riesz|authorlink=Frigyes Riesz|title=Zur Theorie des Hilbertschen Raumes|journal=Acta Sci. Math. Szeged|volume=7|pages=34–38|year=1934}}.
* {{citation|first=Frigyes|last=Riesz|authorlink=Frigyes Riesz|first2=Béla|last2=Sz. -Nagy|authorlink2=Béla Szőkefalvi-Nagy|title=Functional analysis|publisher=Dover|year=1990|isbn= 978-0-486-66289-3}}.
* {{citation| first=Walter|last=Rudin|authorlink=Walter Rudin|title=Functional analysis|publisher=Tata MacGraw-Hill|year=1973}}.
* {{citation|first=Walter|last=Rudin|authorlink=Walter Rudin|title=Real and Complex Analysis|year=1987|publisher=McGraw-Hill|isbn=978-0-07-100276-9}}.
* {{citation|first=Stanisław|last=Saks|authorlink=Stanisław Saks|title=Theory of the integral|publisher=Dover|year=2005|edition=2nd Dover|isbn=978-0-486-44648-6}}; originally published ''Monografje Matematyczne'', vol. 7, Warszawa, 1937.
* {{citation| last=Schmidt| first=Erhard|authorlink=Erhard Schmidt|title=Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten|journal=Rend. Circ. Mat. Palermo|volume=25|pages=63–77|year=1908| doi=10.1007/BF03029116}}.
* {{Citation | last1=Shubin | first1=M. A. | title=Pseudodifferential operators and spectral theory | publisher= Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=Springer Series in Soviet Mathematics | isbn=978-3-540-13621-7 | mr=883081 | year=1987}}.
* {{Citation | last1=Sobrino | first1=Luis | title=Elements of non-relativistic quantum mechanics | journal=<!-- Citation bot--> | publisher=World Scientific Publishing Co. Inc. | location=River Edge, New Jersey | isbn=978-981-02-2386-1 | mr=1626401 | year=1996| bibcode=1996lnrq.book.....S | doi=10.1142/2865}}.
* {{citation|title=Calculus: Concepts and Contexts|edition=3rd|first=James|last=Stewart|publisher=Thomson/Brooks/Cole|year=2006}}.
* {{citation|last=Stein|first=E|title= Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions |publisher=Princeton Univ. Press|year=1970| isbn= 978-0-691-08079-6}}.
* {{citation|last1=Stein|first1=Elias|authorlink1=Elias Stein|first2=Guido|last2=Weiss|authorlink2=Guido Weiss|title=Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces|publisher=Princeton University Press|year=1971|isbn=978-0-691-08078-9|location=Princeton, N.J.}}.
* {{citation|last1=Streater|first1=Ray|authorlink1=Ray Streater|last2=Wightman|first2=Arthur|authorlink2=Arthur Wightman|title= PCT, Spin and Statistics and All That|year=1964|publisher=W. A. Benjamin, Inc}}.
* {{cite book| last = Teschl| given = Gerald|authorlink=Gerald Teschl| title=Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators| publisher=[[American Mathematical Society]]| place = [[Providence, Rhode Island|Providence]]| year=2009 |url=http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ |isbn=978-0-8218-4660-5}}.
* {{citation| last=Titchmarsh|first=Edward Charles|authorlink=Edward Charles Titchmarsh|title=Eigenfunction expansions, part 1|year=1946|publisher=Clarendon Press|location=Oxford University}}.
* {{citation|first=François|last=Trèves|title=Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels|publisher=Academic Press|year=1967}}.
* {{Citation | last1=Warner | first1=Frank | title=Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups | publisher= Springer-Verlag | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90894-6 | year=1983}}.
* {{Citation | last1=Weidmann | first1=Joachim | title=Linear operators in Hilbert spaces | publisher= Springer-Verlag | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-90427-6 | mr=566954 | year=1980 | volume=68}}.
* {{citation| last=Weyl| first=Hermann| authorlink=Hermann Weyl| title = The Theory of Groups and Quantum Mechanics| year = 1931| publisher = Dover Press| edition = English 1950| isbn= 978-0-486-60269-1}}.
* {{citation| last=Young|first=Nicholas|title=An introduction to Hilbert space|publisher=Cambridge University Press|year=1988|zbl=0645.46024|isbn=978-0-521-33071-8}}.
{{Refend}}
{{پایان چپ‌چین}}

{{آنالیز تابعی}}
{{جبر}}
{{فضاهای‌برداری‌توپولوژیکی}}
{{داده‌های کتابخانه‌ای}}

[[رده:فضای هیلبرت| ]]
[[رده:آنالیز تابعی]]
[[رده:جبر خطی]]
[[رده:دیوید هیلبرت]]
[[رده:مفاهیم فیزیکی]]
[[رده:نظریه عملگرها]]