نمایش مبدأ برای فضای برداری نرم‌دار

{{short description|فضای برداری که بین عناصرش فاصله تعریف شده باشد}}
{{همچنین ببینید|نرم (ریاضیات)|فضای باناخ}}
[[پرونده:Mathematical Spaces.svg|بندانگشتی|سلسله مراتب فضاهای ریاضیاتی، فضاهای نرم‌دار در این نمودار شامل فضاهای ضرب داخلی و زیرمجموعه‌ای از فضاهای متری هستند که خود فضاهای متری زیرمجموعه فضاهای برداری نرم‌دار می‌باشند.]]
در [[ریاضیات]]، '''فضای برداری نرم‌دار''' {{به انگلیسی|Normed Vector Space}} یا '''فضای نرم‌دار'''، فضایی برداری روی [[عدد حقیقی|اعداد حقیقی]] یا [[عدد مختلط|مختلط]] است که برای آن [[نرم (ریاضیات)|نرم]] تعریف شده باشد.<ref name="text">{{cite book|first=Frank M.|last=Callier|title=Linear System Theory|url=https://archive.org/details/linearsystemtheo0000call|location=New York|publisher=Springer-Verlag|year=1991|isbn=0-387-97573-X}}</ref> نرم، صوری سازی و تعمیم مفهوم «طول» در جهان واقعی را به [[فضای برداری|فضاهای برداری]] حقیقی تعمیم می‌دهد. نرم، تابعی حقیقی-مقدار است که روی فضای برداری عریف شده و اکثراً به صورت <math>x\mapsto \|x\|,</math> نمایش داده شده و دارای خواص زیر است:{{sfn|Rudin|1991|pp=3-4}}

# نامنفی است، یعنی برای هر بردار <math>x</math> داریم <math>\|x\| \ge 0</math>.
# روی بردارهای ناصفر، بزرگتر از صفر است:
#: <math>\|x\|= 0 \Longleftrightarrow x=0.</math>
# برای هر بردار <math>x</math>، و هر اسکالر <math>\alpha</math> داریم:
#: <math>\|\alpha x\|=|\alpha| \|x\|.</math>
# نامساوی مثلثی برقرار است، یعنی برای هر دو بردار <math>x,y</math> داریم:
#: <math>\|x+y\| \le \|x\|+\|y\|.</math>

برای هر نرم از طریق رابطه زیر یک [[متریک (ریاضیات)|متر]] تعریف می‌شود:

: <math>d(x,y)=\|y-x\|.</math>

که فضای برداری نرم دار را تبدیل به یک [[فضای متری]] و یک فضای برداری توپولوژیکی می‌کند. اگر متر <math>d</math> مذکور [[فضای متریک کامل|کامل]] باشد، به فضای نرم دار مورد نظر، [[فضای باناخ]] می‌گویند.

== پانویس ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
* {{آنالیز تابعی والتر رودین}} <!-- {{sfn | Rudin | 1991 | pp=}} -- >
* {{Banach Théorie des Opérations Linéaires}} <!-- {{sfn | Banach | 1932 | p=}} -->
* {{Citation|title=Functional analysis and control theory: Linear systems|last=Rolewicz|first=Stefan|year=1987|isbn=90-277-2186-6|publisher=D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers|oclc=13064804|edition=Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk|series=Mathematics and its Applications (East European Series)|location=Dordrecht; Warsaw|volume=29|pages=xvi+524|mr=920371|doi=10.1007/978-94-015-7758-8}}
* {{cite book|last=Schaefer|first=H. H.|title=Topological Vector Spaces|publisher=Springer New York Imprint Springer|publication-place=New York, NY|year=1999|isbn=978-1-4612-7155-0|oclc=840278135}} <!-- {{sfn | Schaefer | 1999 | p=}} -->
* {{تروس فرنچویس، فضاهای برداری توپولوژیکی، توزیع ها و هسته ها}}
{{پایان چپ‌چین}}

==پیوندهای بیرونی==
{{چپ‌چین}}
*{{Commons category-inline|Normed spaces}}
{{پایان چپ‌چین}}

{{آنالیز تابعی}}
{{فضاهای‌برداری‌توپولوژیکی}}

[[رده:فضاهای نرم‌دار| ]]
[[رده:فضاهای باناخ]]