نمایش مبدأ برای فرمول والیس

'''فرمول والیس''' نام یک رابطه [[ریاضی]] است.

== پیشینه ==
فرمول والیس یکی از مهم‌ترین آثار [[جان والیس]] در ریاضیات است. او با ابداع این فرمول ریاضی کار [[لئونارد اویلر]] را پیش انداخت.

== بیان ریاضی ==
والیس از کارهای [[پییر دو فرما|فرما]] و دیگران برای محاسبه 

<center>
<math>
y = \sqrt{x - x^2}
</math>
</center>

[[سطح]] زیر [[نیم‌دایره]] را برابر <math>
\frac{\Pi}{8}
</math> در نظر گرفت.

سپس رابطه زیر را نتیجه گرفت:

<center>
<math>\int_{0}^{1} \sqrt{x - x^2} {dx} = \frac{(\frac{1}{2}!)^2}{2!}</math>
</center>

با در نظر گرفتن حاصل [[ضرب]] نامحدود زیر:

<center>
<math>
\frac{2}{\Pi} = \frac{1.3.3.5.5.7...}{2.2.4.4.6.6...}
</math>
</center>

می‌توان فرمول والیس را به صورت زیر نوشت:

<center>
<math>
\lim_{n \to \infty} \frac{\int_{0}^{\frac{\Pi}{2}} \, \sin ^nx{dx}}{\int_{0}^{\frac{\Pi}{2}} \, \sin ^{n+1}x{dx}} = 1
</math>
</center>

فرمول والیس برای [[اعداد]] [[صحیح]] [[فرد]] عبارت است از:

<center>
<math>
\int_{0}^{\frac{\Pi}{2}} \, \sin ^mx{dx} = \frac{(m - 1)!}{m!!}
</math>
</center>

و برای اعداد صحیح [[اعداد زوج و فرد|زوج]]:

<center>
<math>
\int_{0}^{\frac{\Pi}{2}} \, \sin ^mx{dx} = \frac{(m - 1)!}{m!!} \frac{\Pi}{2}
</math>
</center>

در فرمول ریاضی بالا !!m حاصل ضرب (m(m - 2)(m - 4 است.

== منابع ==
{{پانویس}}
{{چپ‌چین}}
* Carl B. Boyer, A history of mathematics, 2nd edition, by John Wiley & Sons, Inc., page 384, 1991
{{پایان چپ‌چین}}

== جستارهای وابسته ==
* [[جان والیس]]

[[رده:ضرب‌های بی‌نهایت]]
[[رده:محاسبات عددی]]