نمایش مبدأ برای فرایند اورنستین-یولنبک

[[پرونده:OrnsteinUhlenbeckProcess2D.svg|بندانگشتی|شبیه‌سازی با θ = ۱٫۰, σ = ۳۰۰ و '''μ''' = (۰, ۰). ابتدا در موقعیت (۱۰, ۱۰) ذره تمایل به حرکت به نقطه مرکزی '''μ '''را دارد.]]
[[پرونده:OrnsteinUhlenbeckProcess3D.svg|بندانگشتی|شبیه‌سازی 3D با θ = ۱٫۰, σ = ۳۰۰, '''μ''' = (۰, ۰, ۰) و موقعیت اولیه (۱۰, ۱۰, ۱۰).]]
[[زمان پیوسته و زمان گسسته|در]] [[ریاضیات]] فرایند '''اورنشتاین-اولنبک''' (برگرفته شده از نام [[لئونارد اورنستاین|لئونارد اورنشتاین]] و [[جرج اولنبک]]) [[فرایندی تصادفی|فرایند تصادفی]] است که به‌طور کلی سرعت توده‌ای از ذرات برونی تحت تأثیر [[اصطکاک]] را توصیف می‌کند. این فرایند، فرایند [[فرایندهای تصادفی گاوسی-مارکوف|گاوس–مارکف]] (فرایندی با مشخصات گوسی و مارکوف) ایستا بوده و تنها فرایند غیرجزئی است که سه شرط فرایندهای گاوسی-مارکوف را ارضا کرده و تبدیلات خطی [[فضازمان|فضا و زمان]] را ممکن می‌سازد.<ref name="Doob">{{Harvard citation no brackets}}</ref> در طول زمان این فرایند به میانگین طولانی مدت خود میل می‌کند: به این فرایندها، بازگشت به میانگین می‌گویند.

این فرایند را می‌توان به عنوان تبدیلی از [[قدم زدن تصادفی]] در [[زمان پیوسته]]، یا [[فرایند وینر]] دانست که در آن خواص به گونه‌ای تغییر کرده‌است که قدم زدن و بازگشت به سمت محل مرکزی تمایل داشته و هرچه فاصله از این مرکز بیشتر باشد، شدت تمایل نیز بیشتر خواهد شد. فرایند اورنستین-یولنبک را نیز می‌توان به عنوان آنالوگ پیوسته-زمان فرایند گسسته-زمان [[مدل خودهمبسته|AR(1)]] در نظر گرفت.

== نمایش توسط تساوی دیفرانسیلی تصادفی ==
فرایند اورنشتاین-یولنبک Xt تساوی دیفرانسیلی تصادفی زیر را ارضا می‌کند:
:<math>dx_t = \theta (\mu-x_t)\,dt + \sigma\, dW_t</math>
که در آن <math>\theta > 0</math> با <math>\mu</math> و <math>\sigma > 0</math> پارامترها بوده و <math>W_t</math> نشان دهنده [[فرایند وینر]] است.

نمایش بالا را می‌توان به عنوان تعریف اصلی فرایند اورنستین-یولنبک دانست<ref name="Doob"/> و که به عنوان مدل واسیک نیز معرفی می‌گردد.<ref>{{Cite book|title=Arbitrage Theory in Continuous Time|year=2009|url=https://archive.org/details/arbitragetheoryc00bjor|last=Björk|first=Tomas|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-957474-2|edition=3|pages=[https://archive.org/details/arbitragetheoryc00bjor/page/n395 375], 381}}</ref>

== فوکر–پلانک معادله نمایندگی ==
تابع دانسیته احتمال (''ƒ''(''x'',&nbsp;''t'' فرایند اورنشتاین-اولنبک [[تساوی فوکر-پلانک]] را مرتفع می‌کند:

: <math>\frac{\partial f}{\partial t} = \theta \frac{\partial}{\partial x} [(x - \mu) f] + \frac{\sigma^2}{2}  \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}</math>

== منابع ==
{{پانویس}}

[[رده:انواع قدم‌زنی تصادفی]]
[[رده:فرایندهای مارکف]]
[[رده:معادله‌های دیفرانسیل تصادفی]]