نمایش مبدأ برای فاصله

{{دیگر کاربردها}}
'''فاصِله''' یک [[کمیت نرده‌ای|کمیت عددی]] برای تعیین مقدار دوری یا نزدیکی دو چیز است.

«فاصله» در زمینه‌های مختلفی تعریف می‌شود. به عنوان مثال، فاصلهٔ دو جسم از هم یا فاصلهٔ دو روز از سال.

== در هندسه ==
در [[هندسه اقلیدسی|هندسهٔ اقلیدسی]]، انواع مختلفی از فاصله تعریف می‌شود؛ امّا به طور کلّی منظور از «فاصله» همان [[فاصله اقلیدسی|فاصلهٔ اقلیدسی]] است.

=== فاصلهٔ اقلیدسی ===
{{اصلی|فاصله اقلیدسی}}
به طول کوتاه‌ترین خط بین دو نقطه‌ی <math>A</math> و <math>B</math> [[فاصله اقلیدسی|'''فاصلهٔ اقلیدسی''']] (با نماد <math>\overline{AB}</math><ref name=":0">{{یادکرد وب|نویسنده=[[سازمان بین‌المللی استانداردسازی]]|کد زبان=en|تاریخ=|وبگاه=|نشانی=https://www.iso.org/standard/64973.html|عنوان=ISO 80000-2:2019
Quantities and units — Part 2: Mathematics|تاریخ انتشار=2019-08}}</ref>) گفته می‌شود.

در [[هندسه تحلیلی|هندسهٔ تحلیلی]] فاصلهٔ بین دو نقطه‌ی <math>A = (A_x, A_y)</math> و <math>B = (B_x, B_y)</math> را می‌توان به کمک [[قضیه فیثاغورس|قضیهٔ فیثاغورث]] پیدا کرد که به فرمول زیر می‌رسد<ref name=":02">{{یادکرد کتاب|عنوان=Thomas' Calculus (14th Edition)|شناسه=978-0134438986|فصل=12.1}}</ref>:

<math>\overline{AB} = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} = \sqrt{(A_x - B_x)^2 + (A_y - B_y)^2}</math>

این فرمول را می‌توان به ابعاد بالاتر تعمیم داد؛ یعنی اگر <math>A = (A_1, A_2, \dots, A_n)</math> و <math>B = (B_1, B_2, \dots, B_n)</math>:

<math>\overline{AB} = \sqrt{\sum_{i = 1}^n{(\Delta A_i)^2}} = \sqrt{(A_1 - B_1)^2 + (A_2 - B_2)^2 + \dots + (A_n - B_n)^2}</math>

==== فاصله میان نقطه و خط ====
فاصله میان نقطه (<math>P = (x_p, y_p</math> و خط <math>l </math>، از طریق نقاط <math>(x_0, y_0) </math> و <math>(x_1, y_1)</math> برابر است با:

:<math>
d(P,l) = \sqrt{(x_p - x_0 - \lambda _q (x_1 - x_0) )^2 + (y_p - y_0 - \lambda _q (y_1 - y_0))^2}
</math>

که در آن:

:<math>
\lambda _q = \frac{(x_1 - x_0)(x_p - x_0) + (y_1 - y_0)(y_p - y_0)}{(x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2}
</math>

اگر مقدار <math>\lambda _q</math> میان ۰ و ۱ باشد نقطهٔ تقاطع <math>l </math> و خط گذرنده از <math>P </math> و عمود بر <math>l </math> بین نقاط <math>(x_0, y_0) </math> و <math>(x_1, y_1)</math> جای می‌گیرد.

=== فاصلهٔ منهتنی ===
{{اصلی|فاصله منهتن}}[[پرونده:Manhattan distance.svg|بندانگشتی|246x246پیکسل|در منهتن انتخاب بین مسیر‌های زرد و آبی و قرمز فرقی در مسافت طی‌شدهٔ نهایی ایجاد نمی‌کند{{Chess diagram small|tright|51=x5|37=x3|38=x2|39=x2|40=x2|41=x2|42=x2|43=x5|44=x4|45=x3|46=x3|47=x3|48=x3|49=x3|50=x3|52=x4|35=x5|53=x4|54=x4|55=x4|56=x4|57=x4|58=x4|59=x5|60=x5|61=x5|62=x5|63=x5|64=x5|65=x5|66=x5|36=x4|34=x2||17=x1|x5|x4|x3|x2|x2|x2|x2|x2|x5|x4|x3|x2|x1|x1|18=x2|33=x1|19=x5|20=x4|21=x3|22=x2|23=x1|24=kl|25=x1|26=x2|27=x5|28=x4|29=x3|30=x2|31=x1|32=x1|67=}}]]
نام این نوع فاصله از [[منهتن|منهتن در نیویورک آمریکا]] الهام گرفته شده؛ به این دلیل که نقشهٔ جادّه‌های آنجا بلوک‌بندی شده. فاصلهٔ منهتنی دو خانه برابر مسافتی ست که یک تاکسی باید طی کند تا به مقصد برسد.

فاصلهٔ منهتنی دو نقطه‌ی <math>A = (A_x, A_y)</math> و <math>B = (B_x, B_y)</math> (با نماد <math>d_1</math>) با فرمول زیر تعریف می‌شود:

<math>\mathrm{d_1}(A, B) = \left \vert \Delta x \right \vert + \left \vert \Delta y \right \vert </math>

این فرمول را نیز می‌توان به ابعاد بالاتر تعمیم داد.

=== فاصلهٔ شطرنجی ('''فاصلهٔ چبیشف)''' ===
این نوع فاصله به این دلیل ''شطرنجی'' نامیده شده که در شطرنج برابر تعداد نوبت‌های مورد نیاز ''[[شاه (شطرنج)|شاه]]'' برای رسیدن به مقصدش می‌باشد.

فاصلهٔ شطرنجی دو نقطه‌ی <math>A = (A_x, A_y)</math> و <math>B = (B_x, B_y)</math> (با نماد <math>d_1</math>) با فرمول زیر تعریف می‌شود:

<math>\mathrm{d_\infty}(A, B) = \max \{\Delta x, \Delta y\} </math>

این فرمول را نیز می‌توان به ابعاد بالاتر تعمیم داد.

=== تعمیم و فاصلهٔ مینکوفسکی ===
{{اصلی|نرم (ریاضیات)}}
در فضای <math>\Reals^n </math> فاصلهٔ مینکوفسکی از مرتبهٔ <math>p </math> (یا [[نرم (ریاضیات)|p-نُرم]] با نماد <math>\mathrm{d}_p </math>) بین دو نقطه‌ی <math>A = (A_1, A_2, \dots, A_n)</math> و <math>B = (B_1, B_2, \dots, B_n)</math> به صورت زیر تعریف می‌شود:

<math> \left( \sum_{i=1}^n \left| A_i - B_i \right|^p \right)^{1/p}</math>

فاصلهٔ منهتنی معادل ۱-نرم، فاصلهٔ شطرنجی معادل ∞-نرم و فاصلهٔ اقلیدسی معادل ۲-نرم (<math>\mathrm{d}_2 </math>) هستند.

== در گراف ==
{{اصلی|فاصله در گراف}}
در [[نظریه گراف|نظریّهٔ گراف‌ها]]، فاصلهٔ دو [[رأس (نظریه گراف)|رأس]] (با نماد <math>d</math>) برابر طول کوتاه‌ترین [[مسیر (نظریه گراف)|مسیر]] بین دو آن دو تعریف می‌شود<ref>{{یادکرد کتاب|عنوان=Introduction to Graph Theory (2nd Edition)|شناسه=9780132272780|کوشش=Douglas B. West|فصل=2.1}}</ref>.

== منابع ==
{{پانویس}}
{{ویکی‌گفتاورد}}
{{سینماتیک}}

{{ریاضی-خرد}}

[[رده:فاصله]]
[[رده:درازا]]
[[رده:ریاضیات مقدماتی]]
[[رده:هندسه متریک]]