نمایش مبدأ برای عنصر (ریاضیات)

'''عنصر'''<ref>{{یادکرد فرهنگستان|مصوب=عنصر تابعی|بیگانه=function element|بیگانه در فارسی=|حوزه=ریاضی|دفتر=سیزدهم|بخش=فارسی|سرواژه=عنصر تابعی}}</ref> {{به انگلیسی|Element}} یا '''عضو '''{{به انگلیسی|member}} یک [[مجموعه (ریاضی)|مجموعه]] در [[ریاضیات]]، هر یک از [[شئ ریاضی|اشیاء]] متمایزیست که مجموعه را تشکیل می‌دهند.

== مجموعه‌ها ==
نوشتن{{رچ}} ''A''&#x20;=&#x20;{۱,&#x20;۲,&#x20;۳,&#x20;۴} {{چر}} بدان معنی است که عناصر مجموعه ''A'' اعداد ۱, ۲, ۳ و&#x20;۴ هستند. مجموعه‌های متشکل از عناصر ''A، ''مانند {۲, &#x6F1;}، [[زیرمجموعه|زیر مجموعه]]<nowiki/>های از&#x20;''A ''هستند.

مجموعه‌ها خود می‌توانند عنصر باشند؛ برای مثال، مجموعه{{رچ}} ''B&#x20;''=<code><nowiki>&#x20;{۱,&#x20;۲,&#x20;{۳,&#x20;۴}}</nowiki></code> {{چر}} را در نظر بگیرید. . عناصر ''B'' در واقع'' ''۱، ۲، ۳ و&#x20;۴ ''نیستند''. در عوض، ''B ''تنها سه عنصر دارد: یعنی اعداد ۱ و ۲ و مجموعه {۳,&#x20;۴}.
عناصر یک مجموعه می‌تواند هر چیزی باشد. برای مثال {&#x20;قرمز&#x20;, سبز، &#x20;آبی&#x20;} = ''C'' است مجموعه‌ای که عناصر رنگ قرمز و سبز و آبی.

== نمادگذاری و اصطلاحات ==
[[پرونده:First usage of the symbol ∈.png|چپ|بندانگشتی|اولین استفاده از نماد ϵ در اثر «[[اصول حساب، ارائه شده با نمایشی نوین]]» از [[جوزپه پئانو]].]]
[[رابطه دوتایی|رابطه]] ی «عنصریست از»، همچنین '''عضویت''' '''مجموعه‌ای '''گفته می‌شود و با نماد&#x20; «ϵ» نوشته می‌شود. نوشتن
:<math>x \in A </math>
به این معنیست که «''x'' یک عنصر از&#x20;''A ''است». عبارات معادل، «''x'' عضوی از ''A ''است»، «''x'' متعلق به&#x20;''A ''است»، «''x'' در ''A ''است» و «''x'' در ''A ''قرار دارد» هستند. عبارات «''A ''شامل ''x ''است" و «''A ''در بردارنده ''x ''است» همچنین جهت بیان عضویت مجموعه‌ای بیان می‌شوند؛ اگرچه، برخی مولفین آن‌ها را به برای تبیین «''x'' [[زیرمجموعه|زیر مجموعه]]<nowiki/>ای از&#x20;''A ''است» بکار می‌برند.<ref name="schech">{{cite book|title=Handbook of Analysis and Its Foundations|publisher=[[Academic Press]]|year=1997|isbn=0-12-622760-8|author=[[Eric Schechter]]}}</ref> [[منطق]] دان [[جرج بولوس]] به شدت اصرار داشت که «دربردارد» (به انگلیسی: contains) تنها برای عضویت استفاده شود و «شامل است» (به انگلیسی: includes) تنها برای رابطهٔ زیر مجموعگی بکار رود.<ref name="boolos">{{cite speech|title=24.243 Classical Set Theory (lecture).|author=[[George Boolos]]|authorlink=|date=February 4, 1992|location=Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA|url=|accessdate=}}</ref>

یک نمادگذاری دیگر برای همان رابطه
:<math>A \ni x,</math>
است که به معنای «''A ''در بردارنده ''x ''است» هر چند از آن کمتر استفاده می‌شود.

[[نقیض]] عضویت مجموعه‌ای با نماد&#x20; «∉» نشان داده می‌شود. نوشتن
:<math>x \notin A</math>
به این معنیست که «''x'' عنصری از&#x20;''A ''نیست».

نماد ϵ برای اولین بار توسط [[جوزپه پئانو]] در سال ۱۸۸۹ و در اثرش «[[اصول حساب، ارائه شده با نمایشی نوین]]» (به [[لاتین]]: Arithmetices principia nova methodo exposita) استفاده شد. در آن، در صفحهٔ X نوشته شده:{{چپ‌چین}} <blockquote class="">"Signum ϵ significat est. Ita a ϵ b legitur a est quoddam b; ..."</blockquote> {{پایان چپ‌چین}} که به معنیست که<blockquote class="">«نماد ϵ به معنی ''است'' می‌باشد؛ بنابراین a ϵ b به‌صورت a، یک b ''است''، خوانده می‌شود.</blockquote>نماد، خود تلطیفی از حرف کوچک یونانی [[اپسیلون]] («ε») است. حرف اول کلمه [//en.wiktionary.org/wiki/ἐστί]ἐστί که به معنی «است» می‌باشد.

کاراکترهای [[یونی‌کد|یونیکد]] برای این نمادها، U+2208 («عنصرِ») U+220B («شامل می‌شود، به عنوان عضو») و U+2209 («عضو نیست» هستند. دستورهای معادل در [[تک]]، دستورهایِ «\»، «in\» و «notin\» هستند. [[متمتیکا|متمتکیا]]، دستورهایِ «[Element]\» و «[NotElement]\» را دارد.

== کاردینالیتی مجموعه‌ها ==
تعداد عناصر در یک مجموعه مشخص، خاصیتی‌ست که به عنوان [[کاردینال (نظریه مجموعه‌ها)|کاردینالیتی]] شناخته می‌شود؛ که به صورت غیررسمی، اندازه یک مجموعه است. در مثال‌های بالا، [[کاردینالیتی]] مجموعه&#x20;''A'' برابر با ۴ است، در حالی که کاردینالیتی هر کدام از مجموعه‌های ''B'' و ''C، ''برابر با ۳ است. یک مجموعه نامتناهی، مجموعه‌ای با یک تعداد نامتناهی عنصر است، در حالی که یک مجموعه متناهی، یک مجموعه با تعدادی متناهی عنصر است. مثال‌های فوق، نمونه‌هایی از مجموعه‌های متناهی هستند. مثالی از یک مجموعه نامتناهی، مجموعه [[عدد طبیعی|اعداد صحیح مثبت]] =&#x20;{ &#x2E;&#x2E;&#x2E;&#x2C; &#x6F4;,&#x20;۴,&#x20;۲, &#x6F1; } است.

== نمونه ==
با استفاده از مجموعه‌های تعریف شده در بالا، یعنی {{رچ}} ''A'' = {۱, ۲, ۳, ۴ }, ''B'' = {۱, ۲, {۳, ۴{{چر}} و { قرمز، سبز، آبی } = ''C'':
* ۲ ∈ ''A''
* {۳٬۴} ∈ ''B''
* ۳٬۴ ∉ ''B''
* {۳٬۴} عضوی از ''B ''است.
* زرد ∉ ''C''
* کاردینالیتی {{رچ}}''D''&#x20;=&#x20;{ &#x6F2;,&#x20;۴,&#x20;&#x20;۸,&#x20;۱۰,&#x20;۱۲&#x20;} {{چر}} متناهیست و برابر با ۵ است.
* کاردینالیتی از {{رچ}}''P''&#x20;=&#x20;{&#x20;۲,&#x20;۳,&#x20;۵,&#x20;۷,&#x20;۱۱,&#x20;۱۳,&#x20;...} {{چر}} ([[عدد اول|اعداد اول]]) بی‌نهایت است&#x20;(این نکته توسط [[اقلیدس]] ثابت شده بود).

== منابع ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}

== برای مطالعه بیشتر ==
{{چپ‌چین}}
* {{Citation|last=Halmos|first=Paul R.|author-link=Paul R. Halmos|origyear=1960|year=1974|title=Naive Set Theory|publisher=Springer-Verlag|location=NY|edition=Hardcover|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|isbn=0-387-90092-6}} - "Naive" means that it is not fully axiomatized, not that it is silly or easy (Halmos's treatment is neither).
* {{Citation|last=Jech|first=Thomas|author-link=Thomas Jech|year=2002|title=Stanford Encyclopedia of Philosophy|chapter=Set Theory|url=http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/}}
* {{Citation|last=Suppes|first=Patrick|author-link=Patrick Suppes|origyear=1960|year=1972|title=Axiomatic Set Theory|publisher=Dover Publications, Inc.|location=NY|isbn=0-486-61630-4}} - Both the notion of set (a collection of members), membership or element-hood, the axiom of extension, the axiom of separation, and the union axiom (Suppes calls it the sum axiom) are needed for a more thorough understanding of "set element".
{{پایان چپ‌چین}}

== پیوند به بیرون ==
{{چپ‌چین}}
* [[Eric W. Weisstein|Weisstein, Eric W.]] [http://mathworld.wolfram.com/Element.html "Element"]. ''[[MathWorld]]''.
{{پایان چپ‌چین}}
{{منطق ریاضی}}
{{نظریه مجموعه‌ها}}

[[رده:مفاهیم پایه در نظریه مجموعه‌ها]]